一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．以下有關(guān)不等式的性質(zhì),描述正確的是( )
A.若,則
B.若,則
C.若,則
D.若,,,,則,
3．已知向量,,若與平行,則( )
A.B.C.D.
4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則( )
A.180B.200C.220D.240
5．已知,,若p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6．已知關(guān)于x的函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù),若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.,
C.若,,
D.的值域?yàn)?br>10．已知函數(shù),則( )
A.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
B.是的極小值點(diǎn)
C.是的對(duì)稱中心
D.當(dāng)時(shí),
11．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),其前n項(xiàng)和滿足,則( )
A.B.為遞減數(shù)列C.為等比數(shù)列D.存在大于的項(xiàng)
三、填空題
12．已知正三角形的邊長(zhǎng)為2,O為中點(diǎn),P為邊上任意一點(diǎn),則________.
13．設(shè),當(dāng)時(shí),,則________.
14．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,,為偶函數(shù),且,則________,________.
四、解答題
15．已知中的三個(gè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.
（1）求A;
（2）若A的角平分線交于D,,求面積的最小值.
16．某企業(yè)計(jì)劃引入新的生產(chǎn)線生產(chǎn)某設(shè)備,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),銷售量（單位:臺(tái)）與每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)x（單位:元,）滿足:（a,b為常數(shù)）.當(dāng)每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)為36元時(shí),銷售量為360臺(tái);當(dāng)每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)為100元時(shí),銷售量為200臺(tái).
（1）求函數(shù)的表達(dá)式;
（2）當(dāng)x為多少時(shí),總利潤(rùn)（單位:元）取得最大值,并求出該最大值.
17．在數(shù)列中,,其前n項(xiàng)和為,且（且）.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)數(shù)列滿足,其前n項(xiàng)和為,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
（2）當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
（3）若函數(shù)存在正零點(diǎn),求a的取值范圍.
19．已知數(shù)列,從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、…第項(xiàng),順次排列構(gòu)成數(shù)列,其中,,則稱新數(shù)列為的長(zhǎng)度為m的子列.規(guī)定:數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長(zhǎng)度為1的子列.
（1）寫出2,8,4,7,5,6,9的三個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列;
（2）若數(shù)列滿足,,其子列長(zhǎng)度,且的每一子列的所有項(xiàng)的和都不相同,求的最大值;
（3）若數(shù)列為等差數(shù)列,公差為d,,數(shù)列是等比數(shù)列,公比為q,當(dāng)為何值時(shí),數(shù)列為等比數(shù)列.
參考答案
1．答案：D
解析：由,得,解得,所以
由,所以,所以,
所以.
故選:D.
2．答案：B
解析：A.當(dāng)時(shí),,選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
B.由得,故,選項(xiàng)B正確.
C.,
由得,,,所以,故,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
D.令,,滿足,,,,結(jié)論不正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選:B.
3．答案：A
解析：由,可得,,
若若與平行可知,
解得.
故選:A
4．答案：C
解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為d,
由,可得;
解得,
因此.
故選:C
5．答案：A
解析：由可得,解之得或,
設(shè),對(duì)應(yīng),
,其解集對(duì)應(yīng),
則p是q的充分不必要條件等價(jià)于A是B的真子集,所以.
故選:A
6．答案：D
解析：令,
則,,在上單調(diào)遞減,
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,t在單調(diào)遞減,
,則,
故選:D
7．答案：C
解析：由,可得,
當(dāng)時(shí),,
因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根,
所以,解得,
所以的取值范圍是.
故選:C.
8．答案：B
解析：因?yàn)橛腥齻€(gè)不同零點(diǎn),所以有三個(gè)不同實(shí)根,
所以,的圖象有三個(gè)交點(diǎn),
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出,的圖象,
當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),
代入坐標(biāo)可得,解得;
當(dāng)與的圖象相切時(shí),
設(shè)切點(diǎn)為,因?yàn)榇藭r(shí),所以,
所以切線方程為,即,
所以,可得;
結(jié)合圖象可知,若的圖象有三個(gè)交點(diǎn),則,
故選:B.
9．答案：BC
解析：A選項(xiàng):因?yàn)?故不滿足“一正”,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B選項(xiàng):因?yàn)?所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以B選擇正確;
C選項(xiàng):,,所以,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以C選項(xiàng)正確;
D選項(xiàng):因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),但無(wú)解,所以,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:BC.
10．答案：ABD
解析：由,解得或,所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),故A正確;
由,得,
令,解得或,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以是的極小值點(diǎn),故B正確;
由函數(shù)的對(duì)稱軸為,此時(shí)的對(duì)稱中心是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn),
所以是的對(duì)稱中心,故C不正確;
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,
若,可得,所以,故D正確.
故選:ABD.
11．答案：ABD
解析：對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),由題意可得,因?yàn)?所以,,
當(dāng)時(shí),由可得,整理可得,
因?yàn)?解得,A對(duì);
對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),由可得,
上述兩個(gè)等式作差可得,
因?yàn)?即,
所以,數(shù)列為遞減數(shù)列,B對(duì);
對(duì)于C選項(xiàng),若數(shù)列為等比數(shù)列,則,
因?yàn)?,,則,
設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則,解得,不合乎題意,
所以,數(shù)列不是等比數(shù)列,C錯(cuò);
對(duì)于D選項(xiàng),假設(shè)對(duì)任意的,,
則,
此時(shí),,與假設(shè)矛盾,假設(shè)不成立,D對(duì).
故選:ABD.
12．答案：3
解析：因?yàn)槿切问钦切?O為中點(diǎn),
所以,所以,又正三角形的邊長(zhǎng)為2,所以,
所以.
故答案為:3.
13．答案：
解析：,
由,所以,所以,
因?yàn)?又,所以,
所以.
故答案為:.
14．答案：1;
解析：由得,,,
,故是周期為4的函數(shù).
為偶函數(shù),,,
令,得,
令,得.
在中,令,得,
.
令,得,故,
令,得,故.
由函數(shù)的周期性得,
.
故答案為:1;.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)?所以由正弦定理得,
又因?yàn)?所以,
即,又,所以;
（2）,即,
化簡(jiǎn)得,
所以,
所以所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,
所以,所以面積的最小值為.
16．答案：（1）
（2）當(dāng)x為100元時(shí),總利潤(rùn)取得最大值為20000元.
解析：（1）由題意知,
得
故.
（2）設(shè)總利潤(rùn),
由（1）得
當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),有最大值10000.
當(dāng)時(shí),,,
令,得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),有最大值20000.
當(dāng)時(shí),.
答:當(dāng)x為100元時(shí),總利潤(rùn)取得最大值為20000元.
17．答案：（1）
（2）.
解析：（1）因?yàn)?代入,
整理得,
所以,,…,,
以上個(gè)式子相乘得,
.
當(dāng)時(shí),,符合上式,所以.
（2）.
所以,①
,②
①②得,
,
所以.
由得:,
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
所以,即的取值范圍是.
18．答案：（1）
（2）單增區(qū)間是,無(wú)單減區(qū)間;
（3）.
解析：（1）由題知,,
于是,
所以切線的斜率,
于是切線方程為,即
（2）由已知可得的定義域?yàn)?
且,
因此當(dāng)時(shí),,從而,
所以的單增區(qū)間是,無(wú)單減區(qū)間;
（3）由（2）知,,
令,,
當(dāng)時(shí),.
①當(dāng)時(shí),可知,在內(nèi)單調(diào)遞增,
又,故當(dāng)時(shí),,所以不存在正零點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),,又,
,
所以存在滿足,
所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.
令,則當(dāng)時(shí),,
故在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,
從而當(dāng)時(shí),,即,
所以,
又因?yàn)?所以,因此,,使得
即此時(shí)存在正零點(diǎn);
③當(dāng)時(shí),,,
從而為減函數(shù).
又,所以當(dāng)時(shí),.
故時(shí),恒成立,又,故當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)不存在正零點(diǎn);
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
19．答案：（1）2,4,7,9;2,4,5,6;2,4,5,9;
（2）
（3）
解析：（1）根據(jù)題意可知,從所有數(shù)字中任意取4個(gè)并按照從小到大的順序排列即可得出符合題意的遞增子列;
可取2,4,7,9;2,4,5,6;2,4,5,9;2,4,6,9;2,5,6,9;4,5,6,9中任意三個(gè);
（2）因?yàn)殚L(zhǎng)度,且的每一子列的所有項(xiàng)的和都不相同,
由可知,
為使的值最大,所以盡量使,,,的取值最小即可,
從而的最小值為2,的最小值為5,取,,
因?yàn)?則的最小值為8,取;
若,,不符合題意;
若,因?yàn)?,,,;
,,,;
,以上數(shù)值均不相同.所以最小值為14,取.
當(dāng),,,均取最小值時(shí),則,,,均取到對(duì)應(yīng)的最大值,
,
所以的最大值為.
（3）由數(shù)列為等比數(shù)列,得,,
又?jǐn)?shù)列的公差為d,,
所以,
化簡(jiǎn)整理得,
又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列,所以.
因?yàn)?所以,
于是,又,所以,即.
此時(shí),,于是,即數(shù)列為等比數(shù)列,
綜上可知,當(dāng)時(shí),數(shù)列為等比數(shù)列.

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