（考試時(shí)間：上午7:30－9:00）
說明：本試卷為閉卷筆答，答題時(shí)間90分鐘，滿分100分.
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.已知集合，，則
A.B.C.D.
2.已知，則下列結(jié)論正確的是
A.B.C.D.
3.函數(shù)的定義域是
A.B.C.D.
4.“”是“”的
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5.函數(shù)（，且的圖象必經(jīng)過的定點(diǎn)是
A.B.C.D.
5.已知不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A.B.C.D.
6.已知函數(shù)，且，則
A.－1B.1C.－2D.2
7.已知，且滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
A.B.是增函數(shù)
C.是偶函數(shù)D.不等式的解集為
10.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是
A.B.是函數(shù)的最大值
C.當(dāng)時(shí)，D.不等式的解集是
11.已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，，則下列結(jié)論正確的是
A.B.若，則
C.是增函數(shù)D.
三、填空題（本題共3小題，每小題3分，共9分）
12.命題“，”的否定是________
13.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍________.
14.對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“◎”：，設(shè)函數(shù)，.若函數(shù)的圖象與軸恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
四、解答題（本題共5小題，共49分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15.計(jì)算下列各式的值（每小題4分，共8分）
（1）；
（2）.
16.（本小題滿分8分）已知全集，，，.
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17.（本小題滿分10分）已知函數(shù).
（1）判斷并證明的奇偶性；
（2）根據(jù)定義證明：在上單調(diào)遞增.
18.（本小題滿分10分）
實(shí)行垃圾分類，保護(hù)生態(tài)環(huán)境，促進(jìn)資源再利用。某企業(yè)新建了一座垃圾回收工廠，在2021年年初用98萬元購進(jìn)一套垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并投入生產(chǎn)。該設(shè)備可為企業(yè)每年創(chuàng)收50萬元，已知該設(shè)備使用年的維修保養(yǎng)總費(fèi)用為萬元，相應(yīng)的盈利總額（純利潤(rùn)）為萬元.
（1）寫出與之間的函數(shù)解析式，并求從哪年（2021年為第一年）開始，該設(shè)備開始盈利（盈利總額為正）；
（2）使用若干年后，對(duì)設(shè)備的處理方案有以下兩種：
方案一，當(dāng)年平均盈利額（年平均盈利額盈利總額使用年限）達(dá)到最大值時(shí)，以30萬元價(jià)格賣掉該設(shè)備；
方案二，當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬元價(jià)格賣掉該設(shè)備
自設(shè)備投入到賣掉處理，從總利潤(rùn)和效益上看，該企業(yè)應(yīng)選用哪種方案處理？請(qǐng)說明你的理由.
19.（本小題滿分13分）
若函數(shù)對(duì)于定義域的某個(gè)或某些區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)，滿足，則稱函數(shù)為上的“局部奇函數(shù)”；滿足，則稱函數(shù)為上的“局部偶函數(shù)”.已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（1）若為上的“局部奇函數(shù)”，求不等式的解集；
（2）已知函數(shù)是上的“局部奇函數(shù)”，也是上的“局部偶函數(shù)”.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）對(duì)于上的任意實(shí)數(shù)，，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2024－2025學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一.單項(xiàng)選擇題：B C D B A B D A
二.多項(xiàng)填空題：9.BD 10.AD 11.AD
三.填空題：
12.， 13. 14.
四.解答題：
15.解：（1）；…………4分
（2）.…………8分
16.解：（1），
；…………4分
（2）由（1）得，
， ，
實(shí)數(shù)的取值范圍為.…………8分
17.（1）是上的奇函數(shù).…………1分
證明：由題意得的定義域?yàn)?，，都有?br>，是上的奇函數(shù).…………5分
（2）證明：，，且，
則，…………8分
，，，，，
，，在上單調(diào)遞增，…………10分
18.解：（1）由題意得，，…………2分
令，則，，
故從2023年開始，該設(shè)備開始盈利；…………5分
（2）方案一：年平均盈利額，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，
故到2027年，該設(shè)備的年平均盈利額達(dá)到最大值，
此時(shí)賣掉此設(shè)備后，該企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)為；…………7分
方案二：盈利總額，
當(dāng)時(shí)，取最大值，故到2030年，該設(shè)備的盈利總額達(dá)到最大值102，
此時(shí)賣掉此設(shè)備后，該企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)為；…………9分
因?yàn)閮煞N方案企業(yè)獲得的總利潤(rùn)相同，而方案一用時(shí)較短，故應(yīng)選用方案一.…………10分
19.解：（1）由題意得，恒成立，即恒成立，整理可得恒成立，，，
在上單調(diào)遞增，且，
不等式的解集為.…………4分
（2）①由（1）可得當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；…………5分
由題意得，恒成立，即恒成立，
整理可得恒成立，，，
在上單調(diào)遞增，在上值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?br>綜上所述，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?…………9分
②由題意得當(dāng)時(shí)，則，即，，
當(dāng)時(shí)，顯然成立；
當(dāng)時(shí)，則，即，；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.…………13分
注：以上各題其它解法請(qǐng)酌情賦分.題號(hào)
一
二
三
四
總分
得分

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