注意事項(xiàng)：
1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.
2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上.
3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.命題“，”的否定為（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A.B.C.D.
4.下列各組函數(shù)中是同一個函數(shù)的是（ ）
A.與B.與
C.與D.與
5.已知，則的最小值為（ ）
A.2B.4C.6D.8
6.已知函數(shù)與在同一坐標(biāo)系下的大致圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（ ）
A.B.C.D.
7.已知是定義在上的偶函數(shù)，，且對，都有，則不等式的解集為（ ）
A.B.
C.D.
8.若集合的三個子集A、B、C滿足，則稱為集合的一組“親密子集”.已知集合，則的所有“親密子集”的組數(shù)為（ ）
A.9B.12C.15D.18
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，下列命題正確的有（ ）
A.若，則B.若，則
C.若，則D.若，則
10.已知函數(shù)，則（ ）
A.在上單調(diào)遞減B.的值域?yàn)?br>C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，若存在非零常數(shù)，使得對任意，，都有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“衰減函數(shù)”.下列說法正確的有（ ）
A.函數(shù)是上的“衰減函數(shù)”
B.若函數(shù)是上的“衰減函數(shù)”，則的最大值為1
C.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若是上的“衰減函數(shù)”，則的最大值為
D.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若是上的“衰減函數(shù)”，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為________.
13.若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
14.已知函數(shù)在上的最大值為5，則的值為________；令，，若用（且）將區(qū)間分成4個小區(qū)間，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為________.（本題第一空2分，第二空3分）
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）設(shè)集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16.（15分）已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
17.（15分）已知某工廠生產(chǎn)一種電子元件，每年需投入固定成本5萬元，當(dāng)年產(chǎn)量為（單位：萬件）時，需額外投入可變成本（單位：萬元）.根據(jù)市場調(diào)研，每個元件售價為7元；在年產(chǎn)量不超過8萬件時，；在年產(chǎn)量超過8萬件時，.假設(shè)該元件的年銷量等于年產(chǎn)量.
（注：年利潤年銷售收入固定成本可變成本）
（1）求年利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)為何值時，年利潤最大？最大年利潤是多少？
18.（17分）若定義在上的函數(shù)滿足.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）用定義法證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).利用上述結(jié)論，求函數(shù)圖象的對稱中心.（注：）
19.（17分）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍Χx域內(nèi)任意x，y都有.
（1）設(shè)，證明：函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）若滿足：當(dāng)時，.
（i）求不等式的解集；
（ii）若，使得對，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷
高一數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：
1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.D
二、選擇題
9.ACD 10.BD 11.ACD
三、填空題
12.0 13. 14.1，5
四、解答題
15.解：（1）由得，，所以.
當(dāng)時，，，
所以或.
（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，
令，得，因?yàn)椋獾茫?br>所以.所以，且，解得.
16.解：（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
若函數(shù)為上的增函數(shù)，只需解得.
（2）當(dāng)時，函數(shù)，對稱軸為.
所以，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以；
當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以
綜上，當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為.
17.解：（1）當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以
（2）當(dāng)時，，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以，；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”.
因?yàn)?，?dāng)該電子元件的年產(chǎn)量為6萬件時，最大年利潤為13萬元.
18.解：（1）因?yàn)?，?br>將上式中的用替代，得，②
②①得：，所以
（2）證明：任取且，
則
因?yàn)椋?，，，?br>所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（3）設(shè)函數(shù)圖象的對稱中心為，則函數(shù)為奇函數(shù)，，
因?yàn)椋胝淼?，對任意恒成?
所以，且，解得，.
所以，函數(shù)圖象的對稱中心為.
19.解：（1）由，
得，
令，得，所以.
令，得，所以
令，得
又的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以是上的偶函數(shù).
（2）由（1）知，.且，
，
因?yàn)?，?dāng)時，，所以，
又，所以，.
所以，在上單調(diào)遞減.
（i）因?yàn)椋?br>所以，即
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，且，所以，
又，解得或.
所以，不等式的解集為.
（ii）由，得，
即，對恒成立，所以.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，所以.
所以，使得成立，即成立.
令，，則或.
即，解得或；由，解得或.
所以或，即的取值范圍是.

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