（考試時間：上午7：30-9：00）
說明：本試卷為閉卷筆答，答題時間90分鐘，滿分100分.
一、單項選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.直線的傾斜角為（ ）
A.B.C.D.
2.圓的圓心坐標為（ ）
A.B.C.D.
3.過點和的橢圓的標準方程為（ ）
A.B.C.D.
4.已知，，且，則（ ）
A.B.C.D.
5.已知直線經(jīng)過點，且平行于直線，則直線的方程為（ ）
A.B.C.D.
6.已知直線與圓相交于，兩點，則的最小值是（ ）
A.1B.2C.D.
7.已知橢圓的左、右焦點分別是，，若橢圓上存在點使得，則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
8.在如圖所示的試驗裝置中，正方形框ABEF的邊長是2，矩形框ABCD中，它們所在的平面互相垂直.活動彈子，分別在線段AC和BF上移動，則MN的長的最小值為（ ）
A.B.C.D.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知橢圓，則下列說法正確的是（ ）
A.是橢圓的一個頂點B.是橢圓的一個焦點
C.橢圓的離心率D.橢圓的短軸長為
10.已知正四棱錐中，，是PB的中點，是底面ABCD的中心，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.直線DE與AP所成角的余弦值為
C.直線DE與平面ABCD所成角的余弦值為
D.點到直線DE的距離為
11.已知點是圓上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A.的最小值為
B.的最小值為
C.的最大值為
D.的最大值為
三、填空題（本題共3小題，每小題3分，共9分）
12.直線在軸上的截距為______.
13.已知圓經(jīng)過直線與圓的公共點和點，則圓的一般方程為______.
14.已知點是橢圓的左焦點，為上一點，，則的最小值是______.
四、解答題（本題共5小題，共49分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分8分）
已知的三個頂點，，.
（1）求邊AB上的中線所在直線的一般式方程；
（2）求邊AB上的高所在直線的斜截式方程.
16.（本小題滿分8分）如圖，四面體OABC各棱的棱長都是，是的中點，在上，且，記，，.
（1）用向量，，表示向量；
（2）求OE的長.
17.（本小題滿分10分）
已知圓與圓.
（1）若圓與圓相內(nèi)切，求的值；
（2）在（1）的條件下，直線被圓截得的弦長為，求實數(shù)的值.
18.（本小題滿分10分）
如圖、四棱錐的底面ABCD是菱形，，.
（1）求證：平面平面ABCD；
（2）求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值.
19.（本小題滿分13分）
橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，如圖1所示，在十字形滑槽上各有一個活動滑標，，有一根旋桿將兩個滑標連成一體，為旋桿上的一點且在，兩點之間.當滑標在滑槽內(nèi)作往復運動時，滑標在滑槽GH內(nèi)隨之運動，放置于處的筆尖便可畫出橢圓，即動點的軌跡為橢圓.如圖2所示.設EF與GH交于點，以EF所在的直線為軸，以GH所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，記，.
（1）若，，求橢圓的方程；
（2）證明：動點的軌跡為橢圓；
（3）若，過作兩條互相垂直的射線分別交橢圓于點、，求證：點到直線PQ距離為定值.
2024～2025學年第一學期高二年級期中學業(yè)診斷數(shù)學試題
參考答案及評分建議
一.單項選擇題：DABCADBC
二.多項選擇題：9.BCD10.ACD11.ABD
三.填空題：12.113.14.
四.解答題：15.解：（1）設是邊AB的中點，則，…2分
邊AB上的中線CD的一般式方程為；……4分
（2），，，邊AB上的高所在直線的斜率，…6分邊AB上的高所在直線的斜截式方程為.……8分
16.（1）解：連接OD，則；……4分
（2）由（1）得，
，.……8分
17.解：（1），，，……2分
，，，，……4分
圓與圓相內(nèi)切，，，；……5分
（2）由（1）得，圓的方程為，，，……7分
故圓心到直線的距離，.……10分
18.（1）證明：設是AD的中點，連結OP，OB，
四邊形ABCD是菱形，，，
，，
，平面ABCD，
平面平面ABCD；
（2）由（1）得，，，以為原點，OA，OB，OP所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，，
設是平面PAB的一個法向量，
則令，則，……6分
設是平面PCD的一個法向量，
則令，則，……8分
，平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值為.……10分
19.解：（1）由題意可設橢圓的方程，
則，，
橢圓的方程為；…3分
（2）解法一：設，，，
由題意得，，，，，
整理得，
當時，動點的軌跡是以為半長軸長、為半短軸長的橢圓；
當時，動點的軌跡是以為半長軸長、為半短軸長的橢圓.……8分
解法二：設，，由題意得，，
則，即，
當時，動點的軌跡是以為半長軸長、為半短軸長的橢圓；
當時，動點的軌跡是以為半長軸長、為半短軸長的橢圓.……8分
（3）由題意可得橢圓的方程，
當直線PQ的斜率不存在時，設其方程為，則，
點到直線PQ距離為；……9分
當直線PQ的斜率存在時，設其方程為，，，
由得，
，，
，即，……12分
點到直線PQ距離為，
綜上所述，點到直線PQ距離為定值.……13分
題號
一
二
三
四
總分
得分

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