數(shù)學(xué)
第一部分 選擇題（共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，集合，，則（ ）
A、B.C.D.
2.不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
3.函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)，則的定義域?yàn)椋? ）
A.B.C.D.
4.使“”成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A.B.C.D.
5.命題：，，則命題的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
6.已知函數(shù)為上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值6，最小值2，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.定義在上的函數(shù)若滿足：①對(duì)任意，都有；②對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若，則的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.若，則下列不等式恒成立的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A.函數(shù)有最大值
B.
C.
D.的解集為
11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，當(dāng)時(shí)，都有；③，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.若，則
C.，使得對(duì)，恒成立
D.若，則
第二部分 非選擇題（共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，則______.
13.已知，，且，則______.
14.函數(shù)，，若，使成立，則的取值范圍是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）設(shè)集合，.
（1）若且，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
16.（15分）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求的解析式；
（2）判斷并證明的單調(diào)性；
17.（15分）
（1）小萌和小新在討論一道題：“已知正數(shù)，滿足，求的最小值.”
小萌認(rèn)為：因?yàn)榍?，所以，所以的最小值?2.
你認(rèn)為小萌的解法是否正確，如果錯(cuò)誤，請(qǐng)給出正確解答過程。并說說從中你學(xué)到了什么？（應(yīng)用不等式時(shí)要注意什么？）
（2）請(qǐng)幫助小萌和小新同學(xué)完成下面的問題.已知且，求的最小值.
18.（17分）已知函數(shù)，滿足.
（1）求，值；
（2）在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求的解析式.
19.（17分）對(duì)于一個(gè)四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個(gè)不相交的二元子集和，滿足，則稱這個(gè)四元整數(shù)集為“有趣的”.
（1）寫出集合的一個(gè)“有趣的”四元子集：
（2）證明：集合不能劃分成兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集：
（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)，集合不能劃分成個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集.
遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中考試
高一年級(jí)試題（答案）
一、單項(xiàng)選擇題
1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.B 7.D 8.C
二、多項(xiàng)選擇題
9.AB 10.ABD 11.BC
三、填空題
12.47 13.1或 14.
四、解答題
15題
（1）因?yàn)?，且，所以?br>解得，，
綜上所述，的取值范圍為.
（2）由題意，需分為和兩種情形進(jìn)行討論：
當(dāng)時(shí)，，解得，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得?br>或無解；
綜上所述，的取值范圍為.
16題
（1）由題函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，解得，
又由，得，解得，
所以，
（2）在區(qū)間上為增函數(shù).
證明如下：
設(shè)，則，
由，
得，即，，，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
17題
（1）不正確.
因?yàn)?，所?
又，均為正數(shù)，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).
綜上，的最小值為16.
多次連用基本不等式后，一定要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件
（2）方法一：因?yàn)?，所?br>所以.
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即，時(shí)取等號(hào).
綜上，的最小值為.
方法二：
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
18題
（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足，
則，解得.
所以
（2）若在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，
則在上恒成立，即在上恒成立，
因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，
可知在上單調(diào)遞減，
則，可得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）因?yàn)槭菍?duì)稱軸為，開口向上的二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
則；
當(dāng)，即時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可知；
綜上所述：.
19題
（1）；
（2）假設(shè)可以劃分，
∵，∴和一定是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，
∴，，，中至多兩個(gè)偶數(shù).
則對(duì)于的一種符合要求的劃分和，
每個(gè)四元子集中均有兩個(gè)偶數(shù).
若兩個(gè)集合分別為和，
則或49，不存在，使得符合要求：
若兩個(gè)集合分別為和，
則或13，不存在，使得符合要求：
若兩個(gè)集合分別為和，
則或25，不存在，使得符合要求；
綜上所述，不能劃分為兩個(gè)不相交的“有趣的”四元子集，
（3）假設(shè)可以劃分為個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集，，…，，.
∵每個(gè)子集中至多兩個(gè)偶數(shù)，又1，2，…，中恰有個(gè)偶數(shù)，
∴每個(gè)子集中均有兩個(gè)偶數(shù)，
∴對(duì)于，可設(shè)，其中，是偶數(shù)，，為奇數(shù)，
再由奇偶性，只能是.
∵，
且，.
∴，矛
盾.
∴不能劃分為個(gè)兩兩不相交的“有趣的”四元子集.

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