數(shù) 學(xué)
命題人：沈陽市第五十六中學(xué) 王璇 評審題人：康平縣高級中學(xué) 何慶超
考試時(shí)間：120分鐘 試卷總分：150分
注意事項(xiàng)：
1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息。
2.請將答案正確填寫在答題卡上。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為、，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A.B.C.D.
3.若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（ ）
A.充要條件B.既不充分也不必要條件
C.充分不必要條件D.必要不充分條件
4.設(shè)等差數(shù)列中，，使函數(shù)在時(shí)取得極值0，則的值是（ ）
A.2或B.2C.D.
5.在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面上的一動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的長度為（ ）
A.16B.C.D.
6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點(diǎn)為
，與軸的交點(diǎn)為，最高點(diǎn)，且滿足.若將的圖象向左平移1個(gè)單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（ ）
A.B.0C.D.
7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A.0B.16C.22D.32
8.已知，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（ ）
A.4B.C.8D.
二、多選題：本大題共3小題，每題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分。
9.下列說法，正確的有（ ）.
A.已知，，則向量在向量上的投影向量是
B.函數(shù)，向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù).
C.已知，則
D.在中，若，則為等腰三角形
10.下列說法正確的是（ ）.
A.函數(shù)在區(qū)間的最小值為
B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C.已知函數(shù)，若時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
11.在邊長為4的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A.與所成角的余弦值為
B.三棱錐外接球表面積為
C.當(dāng)在線段上運(yùn)動時(shí)，的最小值為6
D.若為正方體表面上的一個(gè)動點(diǎn)，、分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為
第Ⅱ卷
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則______.
13.已知一個(gè)正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為______.
14.已知梯形中，，，，，，點(diǎn)、在線段上移動，且，則的最小值為______.
三、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（13分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.
16.（15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17.（15分）已知函數(shù).
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，若對于任意兩個(gè)自變量的值，都有，求實(shí)數(shù)的范圍.
18.（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
19.（17分）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.
（1）求曲線在處的曲率的平方；
（2）求正弦曲線曲率的平方的最大值.
（3）正弦曲線，若，判斷在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并寫出證明過程.
2024-2025學(xué)年度上學(xué)期沈陽市重點(diǎn)高中聯(lián)合體期中考試
高三數(shù)學(xué)
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C
二、多選題：本大題共3小題，每題6分，共18分。
9.ACD 10.ABD 11.AC
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12.5000 13. 14.2
三、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（13分）
【詳解】（1）由及正弦定理得，……2分
故，……4分
在中，，，所以，
可得，而，故即……6分
（2）由正弦定理的得，，
因?yàn)椋瑒t，……8分
所以，……10分
因?yàn)闉殇J角三角形，則，，，故，
所以周長的取值范圍……13分
16.（15分）
當(dāng)時(shí)，，解得.……2分
因①，
當(dāng)時(shí)，②
①-②得，，即，……4分
則，即，，又.……6分
所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.，即，……8分
（2）由（1）可得：……10分
令……13分
所以……15分
17.（15分）
【詳解】（1）由，得
，……2分
所以，所以，……3分
所以，所以，……4分
所以曲線在處的切線方程為，即.……6分
（2）由（1）可得，
，……7分
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，……9分
所以的最小值.
又，，所以，
從而的最大值，……11分
所以設(shè)，
則，
由，知，所以單調(diào)遞增，……13分
因?yàn)?，?br>所以的取值范圍為
所以的范圍為……15分
18.（17分）
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，
，，……2分
，，，，
四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，平面.……5分
（2），，，，，……6分
平面平面，平面平面，平面，
平面，……8分
又，平面，，而，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖：則，，，，
為棱的中點(diǎn)，
，
（i），，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，，，……11分
平面的一個(gè)法向量為，
，
根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為……13分
（ii）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是，
設(shè)，，
則，，
由（2）知平面的一個(gè)法向量為，
，……15分
點(diǎn)到平面的距離是
，.……17分
19.（17分）
解：（1）因?yàn)?，所以，，…?分
所以，……3分
（2）由，，則，
，令，則，故，……5分
設(shè)，則，在時(shí)，遞減，
所以，最大值為1.……8分
（3）因?yàn)?，?br>則.……9分
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞減.所以.
所以在上無零點(diǎn).……11分
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，，
所以存在，使.……12分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.……13分
所以.設(shè)，，
，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.……14分
所以.
所以，得.
所以。所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).……16分
所以在有2個(gè)零點(diǎn).綜上所述，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2……17分

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