（全卷滿分150分 考試用時(shí)120分鐘）
一?單項(xiàng)選擇題
1.設(shè)集合則（ ）
A. B. C. D.
2.下列說法不正確的是（ ）
A.命題，則命題的否定：
B.若集合中只有一個(gè)元素，則
C.若，則
D.已知集合，且，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為8
3.下列比較大小的式子中，正確的有（ ）個(gè)
①；②；③
A.0 B.1 C.2 D.3
4.冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（ ）
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.無法判斷
5.在下圖中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像只可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.為響應(yīng)國家退耕還林的號(hào)召，某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了，如果按照此規(guī)律，設(shè)2024年的耕地面積為m，則2029年的耕地面積為（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A.
B.關(guān)于的方程有13個(gè)不同的解
C.在上單調(diào)遞增
D.當(dāng)時(shí)，恒成立
二?多項(xiàng)選擇題
9.下列說法正確的是（ ）
A.若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?br>B.函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)
C.函數(shù)的最小值為6
D.“”是“關(guān)于的方程有一正根和一負(fù)根”的充要條件
10.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（ ）
A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)
C.的值域是 D.的值域是
11.已知函數(shù)的定義域均為，且，若的圖象關(guān)于直線對稱，則以下說法正確的是（ ）
A.為奇函數(shù) B.
C. D.
三?填空題
12.已知，計(jì)算：__________.
13.已知定義在上的函數(shù)滿足對，都有，若，則不等式的解集為__________.
14.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
四?解答題
15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?br>（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；
（2）設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16.已知函數(shù)
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求的最小值.
17.荊州中學(xué)坐落于歷史文化名城荊州，發(fā)軔于東漢馬融絳帳講學(xué)，歷經(jīng)明清龍山書院?貢院，弦歌不輟，薪火相傳，文脈不絕.其近代教育始于1903年清政府創(chuàng)辦的荊州府中學(xué)堂，臨近121周年校慶，學(xué)校計(jì)劃對校史館進(jìn)行修繕.現(xiàn)要在校史館閣樓屋頂上開一窗戶，設(shè)其一邊長（單位：）為.
（1）已知閣樓屋頂為高，底邊長的銳角三角形，若開一個(gè)內(nèi)接矩形窗戶（陰影部分）（如圖所示）.
（i）要使窗戶面積不小于2平方米，求x的取值范圍；
（ii）規(guī)定：公共室內(nèi)場所的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于，若閣樓的窗戶面積與地板面積的總和為16.5平方米，則當(dāng)邊長x為多少米時(shí)窗戶面積最小？最小值是多少平方米？
（2）一般認(rèn)為，在公共室內(nèi)場所的窗戶面積必須小于地板面積的規(guī)定下，窗戶面積與地板面積的比值越大，采光效果越好，若同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，采光效果是變好了還是變壞了？試從數(shù)學(xué)角度說明理由.
18.已知函數(shù).
（1）若，求在區(qū)間上的值域；
（2）若方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19.若存在常數(shù)使得函數(shù)與在給定區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)都有，則稱是與的隔離直線函數(shù).已知函數(shù).
（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，與是否存在隔離直線函數(shù)？若存在，請求出隔離直線函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由.
參考答案
三?填空題
12. 13. 14.
四?解答題
15.（1）由題意得不等式的解集為：
當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，則由解集為可得，解得：，
綜上可得：；
（2）由是的必要不充分條件可得：是的真子集，
當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)有，解得：；
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上可得的取值范圍是.
16.（1）不等式即為，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，
綜上可知：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
（2）方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
即有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根
故，解得，
所以
令，則，故
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，
故的最小值為6.
17.（1）（i）設(shè)矩形的另一邊長為，由三角形相似得且，所以，又矩形窗戶面積，解得，
故的取值范圍為.
（ii）設(shè)地板面積為，解不等式組，
所以，即，解得，
故窗戶面積最小為，
令，可得，解得或.
故當(dāng)為米或米時(shí)，窗戶面積最小，為平方米.
（2）設(shè)分別表示原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），
由題意得：，則.
因?yàn)椋?，即?br>所以窗戶和地板同時(shí)增加相等的面積，采光條件變好了.
18.（1）當(dāng)時(shí)，，
令，因?yàn)?，所以?br>所以可得一個(gè)二次函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
當(dāng)時(shí)，有最大值，所以.
所以時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?
（2）由（1）知當(dāng)令，
則，即有實(shí)數(shù)根，此時(shí)實(shí)數(shù)根大于零，
所以可得，解得：.
所以方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）由題意得，
若對任意的，總存在，使得，可得，
由函數(shù)可得當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，
所以由復(fù)合函數(shù)定義可得函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，
由（2）知當(dāng)令，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)均單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，
所以.
19.（1）任取，不妨設(shè)，
則
，
由，則，
故，即，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，與存在隔離直線函數(shù)；
令，即，
即，即，
即，解得或，
由于，故舍去；
當(dāng)時(shí)，，即有公共點(diǎn)，
設(shè)與存在隔離直線函數(shù)，
則點(diǎn)在隔離直線函數(shù)上，則，即，則；
若當(dāng)時(shí)有，即，
則在上恒成立，即，
由于，故此時(shí)只有時(shí)上式才成立，則，
下面證明，令，
即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即為與的隔離直線函數(shù).題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
A
B
D
D
C
AD
ACD
BCD

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