注意事項(xiàng)：
1.本試題共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理：試題不回收.
第I卷（選擇題共58分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集與并集，可得答案.
【詳解】，故.
故選：D.
2. 已知，則的虛部為（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及共軛復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，可得答案.
【詳解】，虛部為4.
故選：B.
3. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間利用整體代換解不等式可得結(jié)果.
【詳解】由可得：.
故選：C.
4. 已知向量，若，則（ ）
A. B. 5C. D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，解得參數(shù)，根據(jù)模長公式，可得答案.
【詳解】由得，解得，由，則.
故選：A.
5. 雙曲線的右焦點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得雙曲線方程為，則圓心到漸近線的距離，化簡后可求出離心率.
【詳解】根據(jù)題意得：圓心，半徑為，雙曲線漸近線方程為，即，
以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與雙曲線的漸近線相切，且，
圓心到漸近線的距離，即，
，
則雙曲線的離心率，
故選：B
6. 如圖，是邊長為的正三角形.曲線是分別以為圓心，為半徑畫的圓弧，稱曲線為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈，然后又以為圓心，為半徑畫弧，，如此下去，畫到第10圈，則所得螺旋線的總長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)弧長公式分別求出的長度，從而可知此數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差，項(xiàng)數(shù)為30的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】根據(jù)弧長公式可知的長度分別為：，
所以此數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差，項(xiàng)數(shù)為30的等差數(shù)列，
則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得：
該數(shù)列前30項(xiàng)的和為，
故選：B.
7. 交流電的瞬時(shí)值隨時(shí)間周期性變化，正負(fù)號表示電流方向的交替變化.電流強(qiáng)度（安）隨時(shí)間（秒）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)秒時(shí)，電流強(qiáng)度是（ ）
A. 安B. 5安C. 安D. 安
【答案】D
【解析】
【分析】通過函數(shù)的圖象求出，然后利用周期公式求出，將點(diǎn)代入表達(dá)式，即可求出的值，得到函數(shù)解析式，代入秒，即可求出電流強(qiáng)度.
【詳解】由圖象得，電流的最大值和最小值分別為10和，可得.
由周期得，
再將點(diǎn)代入，得，
所以.
因?yàn)?，所以時(shí)， 所以.
將代入得.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，則的最小值為（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)與零的大小關(guān)系，化簡不等式，可得參數(shù)的關(guān)系式，通過函數(shù)思想，可得答案.
【詳解】法1：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，，
因此當(dāng)時(shí)，取得最小值.
法2：因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此與函數(shù)符號相同，
原不等式等價(jià)于上恒成立，
因此，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)直線上，
因此.
法3：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，零點(diǎn)為0，
又因?yàn)閱握{(diào)遞增，零點(diǎn)為，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
法4：設(shè)，則恒成立，
因?yàn)?，所以為函?shù)的極小值點(diǎn)，因此，
又，所以，
當(dāng)時(shí)，，
由解法1知，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，滿足題意.
因此，下同解法1.
法5：設(shè)，則恒成立，
因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的極小值點(diǎn)，
因此，又，所以，
由解法1知在上單調(diào)遞增，且，因此，下同解法1.
故選：D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有三個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)2分，有兩個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)3分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 的周長為16B. 的最小值為
C. 的面積的最大值為12D. 存在點(diǎn)，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】求出橢圓的長短半軸長及半焦距，再結(jié)合橢圓的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，
對于A，，則，故A正確；
對于B，當(dāng)點(diǎn)在橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，得，故B錯(cuò)誤；
對于C，設(shè)的頂點(diǎn)，則的面積，
所以面積的最大值，故C正確；
對于D，由已知，，設(shè)存在點(diǎn)，使得，
則，即，
又，則，代入，
得，此方程無實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 角C為鈍角B.
C. D. 的最小值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】由同角的三角函數(shù)關(guān)系和降冪公式可得A正確；由余弦定理結(jié)合A的結(jié)果可得B正確；由同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合余弦定理可得C正確；由兩角和的正切展開式再結(jié)合基本不等式可得D正確；
【詳解】對于A，∵，
∴，即，
∴，又，∴一定為鈍角，故選項(xiàng)A正確；
對于B，由余弦定理知，，化簡得，故選項(xiàng)B正確；
對于C，∵，
∴，故選項(xiàng)C正確；
對于D，∵，
∴，
∵為鈍角，則，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)取得最大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 已知函數(shù)，對定義域內(nèi)任意，都有，則正實(shí)數(shù)的取值可能是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，化為，求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)正負(fù)情況可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可解題.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以可化為，
即；令，
則有對于定義域內(nèi)任意，都有，
所以在上單調(diào)遞減，所以在上，；
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以，即?br>令，，當(dāng)時(shí)，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
可化為，，因?yàn)樗裕?br>由，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)在上的單調(diào)性以及的正負(fù)情況，
有：若，則在上恒成立，所以，
即在上恒成立；令，則，
，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減，
所以時(shí)，取得最大值，，所以；
因?yàn)椋?，均滿足題意，不合題意，所以ACD正確，B錯(cuò)誤.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：隱蔽性指對同構(gòu)，需要補(bǔ)因式，如：，兩邊同乘以，化為，即.
第II卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 乙巳蛇年，古城榆林燃動(dòng)全國秧歌熱潮，國內(nèi)外共39支隊(duì)伍匯聚榆林，舞動(dòng)非遺年味.現(xiàn)有4名國際友人，每人從俄羅斯、保加利亞、榆林市直教育系統(tǒng)的三支秧歌隊(duì)中選擇觀看一支，則不同的觀看方式有__________.（用數(shù)字作答）
【答案】81
【解析】
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.
【詳解】4名國際友人，每人有三種選擇，所以種.
故答案為：81.
13. 如圖所示，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊作一個(gè)平行于棱的平面，記平面分三棱臺兩部分的體積為（三棱柱），兩部分，那么______.
【答案】3：4
【解析】
【分析】
設(shè)三棱臺的高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，計(jì)算體積得到答案.
【詳解】設(shè)三棱臺高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，
，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了三棱臺的體積問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
14. 若把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，則曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為__________.
【答案】4
【解析】
【分析】解法1：根據(jù)曲線的對稱性，利用兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；解法2：根據(jù)曲線的對稱性，利用參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
【詳解】解法1：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為4.
解法2：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為4.
故答案為：.
15. 某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：
（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望；
（2）利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測廣告支出為10萬元時(shí)的銷售額．
附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．
【答案】（1）X的分布列見解析，期望
（2）；預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時(shí)的銷售額為87萬元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進(jìn)而可求解期望，
（2）利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.
【小問1詳解】
從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有C，D，E這3家超市，
則隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3
，，，
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望．
【小問2詳解】
，，
，
．
關(guān)于線性回歸方程為；
在中，取，得．
預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時(shí)的銷售額為87萬元．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.
（2）利用裂項(xiàng)相消求和求解即可.
【小問1詳解】
依題可得：，
即：，
解得，
所以.
【小問2詳解】
證明：設(shè)，
則，
所以，
17. 如圖1，已知為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，.把沿向上折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，使得平面平面，如圖2所示.
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
（3）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，再由勾股定理所得線線垂直，根據(jù)線面垂直判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)面面角的向量公式，可得答案；
（3）由題意中線面的位置關(guān)系，根據(jù)線面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，可得答案.
【小問1詳解】
證明：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.
因?yàn)闉榈冗吶切?，所?
又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?br>所以平面.因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)椋?，所?
因?yàn)槠矫妫云矫?
又因?yàn)槠矫?，所?
【小問2詳解】
由（1）知平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面平面，所以平面.
設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，所以?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，
可得.
設(shè)平面的法向量，則，即，
取，則平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面的法向量，則，即，
取，則平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)椋?br>所以平面與平面夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
由（1）知平面，平面，所以，
，而，故的取值范圍為.
18. 已知平面上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在與之間.
（i）證明：線段垂直于軸；
（ii）記的面積為的面積為，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）由題意可得動(dòng)點(diǎn)軌跡為拋物線，由焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，可得答案；
（2）（i）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由設(shè)出的點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出直線的斜率，研究其關(guān)系，可得答案；（ii）由點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出三角形的面積，整理函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得最值，可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)，由于動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離相等，
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.
設(shè)此拋物線的方程是，則，故曲線的方程是.
【小問2詳解】
（i）因?yàn)橹本€的斜率不為0，故設(shè)的方程為，
聯(lián)立可得：，，
則，
.
故，故直線與直線關(guān)于軸對稱，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以線段垂直于軸
（ii）由（i）可知，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在與之間，所以，
，
則，
令，則，
令，則，解得；
令，解得.
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，所以的取值范圍為.
19. 帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的，用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，其中和分別是和次多項(xiàng)式，且滿足.其中為的導(dǎo)數(shù).已知在處的階帕德近似為.
（1）求實(shí)數(shù)的值，利用的階帕德近似估計(jì)的近似值（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1），0.182
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意分別對兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，建立方程組，可得答案；
（2）整理不等式，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）利用兩邊取對數(shù)整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最值，利用（2）的結(jié)論，可得答案.
【小問1詳解】
，
因?yàn)?，所以，解得?br>.
【小問2詳解】
解法1：設(shè)，
則在上恒成立.若，則顯然成立；
若，
設(shè)，
，當(dāng)時(shí)，，
因此，即在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br>所以存在唯一的，使得，
當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，
時(shí)，，與已知矛盾，舍去.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
解法2：設(shè)，
則在上恒成立.因?yàn)?，?br>所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，時(shí)，恒成立.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問3詳解】
證明：要證時(shí)，，即證，
設(shè)，則，令得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
因此，
因此只需證，即證.
設(shè)，
則在上單調(diào)遞增，
，即，
令，則，因此原不等式成立.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，二是函數(shù)的零點(diǎn)，不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理.
超市
A
B
C
D
E
廣告支出x
2
4
5
6
8
銷售額y
30
40
60
60
70
1
2
3

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2025屆陜西省榆林市高三高考模擬第三次模擬檢測-數(shù)學(xué)試題+答案：

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