A．B．C．D．
2．（2023秋?湘潭期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+3y﹣5＝0B．x2+＝1
C．x2﹣1＝0D．a(chǎn)x2+bx+c＝0
3．（2024春?甌海區(qū)期末）用配方法解方程x2﹣2x＝1時(shí)，配方后所得的方程（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
4．（2023秋?寧津縣期末）如圖，以量角器的直徑AB為斜邊畫直角三角形ABC，量角器上點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是100°，則∠BCD的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
5．（2023秋?阿榮旗期末）某中學(xué)有一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形空地，該中學(xué)計(jì)劃在這塊空地上劃出三分之二的區(qū)域種花，設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為x m，則可列方程為（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
6．（2023秋?懷仁市期末）如圖，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作弧交AB于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，若OA＝4，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋?越秀區(qū)期末）如圖，PA、PB、分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．40°B．140°C．70°D．80°
8．（2023秋?昭通期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），則下列結(jié)論中，不正確的是（ ）
A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．a(chǎn)b＜0D．a(chǎn)﹣b+c＜0
二．填空題（共8小題）
9．（2023秋?建鄴區(qū)期末）如圖，一塊飛鏢游戲板由除顏色外都相同的9個(gè)小正方形構(gòu)成．假設(shè)飛鏢擊中每1塊小正方形是等可能的（擊中小正方形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次）．任意投擲飛鏢一次，擊中黑色區(qū)域的概率是 ．
10．（2023秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，則旋轉(zhuǎn)角為 °．
11．（2023秋?海門區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'BC'，連接AA'，則AA'的長(zhǎng)為 ．
12．（2023秋?濰城區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有兩個(gè)實(shí)根x1、x2，則x1x2＝ ．
13．（2023秋?新吳區(qū)期末）定義：如果兩個(gè)一元二次方程分別有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)公共根，那么稱這兩個(gè)方程互為“聯(lián)根方程”．已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互為聯(lián)根方程，那么a的值為 ．
14．（2023秋?船山區(qū)期末）對(duì)于實(shí)數(shù)p，q，我們用符號(hào)min{p，q}表示p，q兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，則x＝ ．
15．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期末）廊橋是我國(guó)古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+10，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點(diǎn)E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是 米．
16．（2023秋?豐臺(tái)區(qū)期末）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為劣弧上的點(diǎn)．過點(diǎn)C的切線分別交PA，PB于點(diǎn)M，N．若PA＝8，則△PMN的周長(zhǎng)為 ．
三．解答題（共9小題）
17．（2023秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
18．（2023秋?南京期末）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點(diǎn)．
（1）連接OC，求證：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，，求⊙O的半徑．
19．（2023秋?潮州期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)42°，得到AE，連接DE，BD，CE．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度數(shù)．
20．（2023秋?冠縣期末）某服裝店在銷售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)為每件50元，銷售價(jià)為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求銷售價(jià)在每件90元的基礎(chǔ)上，每件降價(jià)多少元時(shí)，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到較多的實(shí)惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請(qǐng)說明理由．
21．（2023秋?百色期末）“筒車”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，據(jù)史料記載，它發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的一項(xiàng)偉大創(chuàng)造．
如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方圓上部分一點(diǎn)距離水面的最大距離）．
（1）求該圓的半徑；
（2）若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面上漲的高度為多少米？
22．（2023秋?奇臺(tái)縣校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，且CD＝AC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC＝4，CE＝2，求半徑的長(zhǎng)．
23．（2022秋?渠縣期末）為喜迎中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)的召開，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽．團(tuán)委隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本，把成績(jī)按達(dá)標(biāo)，良好，優(yōu)秀，優(yōu)異四個(gè)等級(jí)分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的學(xué)生數(shù)是 人，圓心角β＝ 度；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）已知該中學(xué)共有1500名學(xué)生，估計(jì)此次競(jìng)賽該校獲優(yōu)異等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為多少？
（4）若在這次競(jìng)賽中有A、B、C、D四人成績(jī)均為滿分，現(xiàn)從中抽取2人代表學(xué)校參加區(qū)級(jí)比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到A、C兩人同時(shí)參賽的概率．
24．（2023秋?嘉興期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3交y軸于點(diǎn)A，且過點(diǎn)B（﹣1，2），C（3，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求m的值；
（3）若P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且S△ABC＝2S△ACP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
25．（2021秋?疏附縣期末）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（﹣2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求△APC面積的最大值．
期末真題重組卷-2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)人教版
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．（2024春?衡陽(yáng)期末）中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，如圖四幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖象，也不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
B選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖象，不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
C選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖象，不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
D選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖象，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
故選：D．
2．（2023秋?湘潭期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+3y﹣5＝0B．x2+＝1
C．x2﹣1＝0D．a(chǎn)x2+bx+c＝0
【解答】解：A、該方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、該方程是分式方程，不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；
D、當(dāng)a＝0時(shí)，該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)不是2，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
3．（2024春?甌海區(qū)期末）用配方法解方程x2﹣2x＝1時(shí)，配方后所得的方程（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
【解答】解：∵x2﹣2x＝1，
∴（x﹣1）2＝2，
故選：D．
4．（2023秋?寧津縣期末）如圖，以量角器的直徑AB為斜邊畫直角三角形ABC，量角器上點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是100°，則∠BCD的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OD，如圖所示：
∵以量角器的直徑AB為斜邊畫直角三角形ABC，
∴A、C、B、D四點(diǎn)共圓，
∵量角器上點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是100°，
∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BCD＝∠BOD＝40°，
故選：B．
5．（2023秋?阿榮旗期末）某中學(xué)有一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形空地，該中學(xué)計(jì)劃在這塊空地上劃出三分之二的區(qū)域種花，設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為x m，則可列方程為（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30
【解答】解：設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，
故選：B．
6．（2023秋?懷仁市期末）如圖，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作弧交AB于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，若OA＝4，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：連接OC，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4，
∴AB＝2OA＝8，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴，
∴OC為△AOB的中線，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴陰影部分的面積為．
故選：A．
7．（2023秋?越秀區(qū)期末）如圖，PA、PB、分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．40°B．140°C．70°D．80°
【解答】解：∵PA是圓的切線．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故選：C．
8．（2023秋?昭通期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），則下列結(jié)論中，不正確的是（ ）
A．AB＝4B．b2﹣4ac＞0C．a(chǎn)b＜0D．a(chǎn)﹣b+c＜0
【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以選項(xiàng)A正確，不合題意；
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以選項(xiàng)B正確，不合題意；
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴ab＞0，所以選項(xiàng)C不正確，符合題意；
∵x＝﹣1時(shí)，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以D正確，不合題意．
故選：C．
二．填空題（共8小題）
9．（2023秋?建鄴區(qū)期末）如圖，一塊飛鏢游戲板由除顏色外都相同的9個(gè)小正方形構(gòu)成．假設(shè)飛鏢擊中每1塊小正方形是等可能的（擊中小正方形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次）．任意投擲飛鏢一次，擊中黑色區(qū)域的概率是 ．
【解答】解：∵共有9種小正方形，其中黑色正方形的有3個(gè)，
∴小剛?cè)我馔稊S飛鏢一次，剛好擊中黑色區(qū)域的概率是＝，
故答案為：．
10．（2023秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，則旋轉(zhuǎn)角為 60 °．
【解答】解：∵∠B＝60°，將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，
∴∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C，
∴△A′B′C是等邊三角形，
∴∠B′A′C＝60°，
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°．
故答案為：60．
11．（2023秋?海門區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'BC'，連接AA'，則AA'的長(zhǎng)為 5 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'BC'，
∴BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°，
∴AA′＝＝5．
故答案為：5．
12．（2023秋?濰城區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有兩個(gè)實(shí)根x1、x2，則x1x2＝ 3 ．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有兩個(gè)實(shí)根x1、x2，
∴x1x2＝3．
故答案為：3．
13．（2023秋?新吳區(qū)期末）定義：如果兩個(gè)一元二次方程分別有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)公共根，那么稱這兩個(gè)方程互為“聯(lián)根方程”．已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互為聯(lián)根方程，那么a的值為 ﹣2 ．
【解答】解：∵x2﹣（2+a）x+2a＝0，
∴（x﹣2）（x﹣a）＝0，
解得：x1＝2，x2＝a．
∵關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互為聯(lián)根方程，
∴x＝2或x＝a關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的根．
將x＝2代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：4（a﹣1）﹣2a2﹣a+2＝0，
整理得：2a2﹣3a+2＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴此時(shí)該方程無實(shí)數(shù)根，即x＝2不是關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的解；
將x＝a代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：（a﹣1）a2﹣a3﹣a+2＝0，
整理得：a2+a﹣2＝0，
解得：a1＝﹣2，a2＝1，
又∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣2，
∴a的值為﹣2．
故答案為：﹣2．
14．（2023秋?船山區(qū)期末）對(duì)于實(shí)數(shù)p，q，我們用符號(hào)min{p，q}表示p，q兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，則x＝ ﹣1或2 ．
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
①當(dāng)（x﹣1）2＝x2時(shí)，不可能得出最小值為1；
②當(dāng)（x﹣1）2＞x2時(shí)，x2＝1，x＝1或x＝﹣1則若x＝1，則（x﹣1）2＝0，不符合題意；
若x＝﹣1，符合題目意思．
∴x＝﹣1；
③當(dāng)（x﹣1）2＜x2時(shí)，則（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1；
∴當(dāng)x﹣1＝1時(shí)，x＝2，
當(dāng)x﹣1＝﹣1時(shí)，x＝0（不合題意舍去），
故答案為：﹣1或2．
15．（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期末）廊橋是我國(guó)古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+10，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點(diǎn)E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是 8 米．
【解答】解：令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，
解得：x＝±4，
∴則EF＝4﹣（﹣4）＝8（米）．
16．（2023秋?豐臺(tái)區(qū)期末）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為劣弧上的點(diǎn)．過點(diǎn)C的切線分別交PA，PB于點(diǎn)M，N．若PA＝8，則△PMN的周長(zhǎng)為 16 ．
【解答】解：∵PA，PB，MN是⊙O的切線，PA＝8，
∴MA＝MC，NC＝NB，PA＝PB＝8，
∴△PMN的周長(zhǎng)＝PM+MC+NC+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝16．
故答案為：16．
三．解答題（共9小題）
17．（2023秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
【解答】解：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
（x﹣3）（5x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或5x﹣3＝0，
解得x1＝3，．
18．（2023秋?南京期末）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點(diǎn)．
（1）連接OC，求證：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：連接OA，OB，OC，
∵由C是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴OC垂直平分AB；
（2）解：由（1）知，OC垂直平分AB，
∵AB＝8，，
∴AD＝AB＝4，
∴CD＝＝＝2，
設(shè)⊙O的半徑為r，
則OD＝r﹣2，OA＝r，
在Rt△AOD中，
AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5．
19．（2023秋?潮州期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)42°，得到AE，連接DE，BD，CE．
（1）求證：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)42°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵∠BAC＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAE＝DAE＝21°，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝21°．
20．（2023秋?冠縣期末）某服裝店在銷售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)為每件50元，銷售價(jià)為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求銷售價(jià)在每件90元的基礎(chǔ)上，每件降價(jià)多少元時(shí)，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到較多的實(shí)惠？
（2）要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)每件降價(jià)x元，則每件盈利（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依題意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要使顧客得到較多的實(shí)惠，
∴x＝20．
答：每件應(yīng)降價(jià)20元．
（2）每天不可能盈利2000元，理由如下：
設(shè)每件降價(jià)y元，則每件盈利（90﹣y﹣50）元，平均每天可售出（20+2y）件，
依題意得：（90﹣y﹣50）（20+2y）＝2000，
整理得：y2﹣30y+600＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0，
∴原方程無實(shí)數(shù)根，
即每天不可能盈利2000元．
21．（2023秋?百色期末）“筒車”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，據(jù)史料記載，它發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的一項(xiàng)偉大創(chuàng)造．
如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方圓上部分一點(diǎn)距離水面的最大距離）．
（1）求該圓的半徑；
（2）若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面上漲的高度為多少米？
【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O以點(diǎn)D，由題意可知，CD＝1m，AB＝6m，
∴OC⊥AB，AB＝6m，
∴AC＝BC＝AB＝3m，
設(shè)圓的半徑為r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m，
在 Rt△AOC中，
OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2，
解得r＝5，
即該圓的半徑為5m；
（2）設(shè)水面升到如圖EF的位置，則EF∥AB，OD與EF相交于點(diǎn)G，
∵OD⊥EF，
∴EG＝FG＝EF＝m，
連接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m，
∴OG＝＝3m，
∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m），
即水面上漲的高度為 1 米．
22．（2023秋?奇臺(tái)縣校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，且CD＝AC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC＝4，CE＝2，求半徑的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：∵CD＝AC，
∴CD＝4，
設(shè)半徑為x，則OC＝x+2，
在直角三角形ODC中，
OC2＝OD2+CD2，即（x+2）2＝x2+42，
∴x＝3．
∴半徑的長(zhǎng)為3．
23．（2022秋?渠縣期末）為喜迎中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)的召開，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽．團(tuán)委隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本，把成績(jī)按達(dá)標(biāo)，良好，優(yōu)秀，優(yōu)異四個(gè)等級(jí)分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的學(xué)生數(shù)是 50 人，圓心角β＝ 144 度；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）已知該中學(xué)共有1500名學(xué)生，估計(jì)此次競(jìng)賽該校獲優(yōu)異等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為多少？
（4）若在這次競(jìng)賽中有A、B、C、D四人成績(jī)均為滿分，現(xiàn)從中抽取2人代表學(xué)校參加區(qū)級(jí)比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到A、C兩人同時(shí)參賽的概率．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生數(shù)為10÷20%＝50（人）；
圓心角β的度數(shù)為360°×＝144°；
故答案為：50；144；
（2）優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)為50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖為：
（3）1500×＝600（人），
所以估計(jì)此次競(jìng)賽該校獲優(yōu)異等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為600人；
（4）畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到A、C兩人的結(jié)果數(shù)為2，
所以恰好抽到A、C兩人同時(shí)參賽的概率＝＝．
24．（2023秋?嘉興期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3交y軸于點(diǎn)A，且過點(diǎn)B（﹣1，2），C（3，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求m的值；
（3）若P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且S△ABC＝2S△ACP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把B（﹣1，2），C（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
則，
解得，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+x+3；
（2）∵y＝﹣x2+x+3，
∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝，
令B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，
∴B′（2，2），
∴BB′＝3，
∵拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位經(jīng)過點(diǎn)B，
∴m＝3；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+n，
把A（0，3），C（3，0）代入y＝kx+n得：，
解得，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
過點(diǎn)B作BD⊥y軸交AC于點(diǎn)D，如圖：
則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，
把y＝2代入y＝﹣x+3得，﹣x+3＝2，
解得x＝1，
∴D（1，2），
∴BD＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×1?BD+×2?BD＝1+2＝3，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸交AC于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+x+3），則E（x，﹣x+3），
∴PE＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x，
∵S△ABC＝2S△ACP＝3，
∴S△ACP＝，
∵S△ACP＝×3?PE＝．
∴PE＝1，
令﹣x2+x＝1，
解得x＝1或2，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣++3＝3；
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣×4+×2+3＝2，
∴P（1，3）或（2，2）．
25．（2021秋?疏附縣期末）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（﹣2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求△APC面積的最大值．
【解答】解：（1）由拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（1，0），C（﹣2，3），得，
解得，
故拋物線為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）設(shè)直線為y＝kx+n過點(diǎn)A（1，0），C（﹣2，3），則，
解得，
故直線AC為y＝﹣x+1；
（2）如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，
設(shè)Q（x，﹣x+1），則P（x，﹣x2﹣2x+3），
∴PQ＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2，
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ?AG＝（﹣x2﹣x+2）×3＝﹣（x+）2+，
∴△APC面積的最大值為．

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