A．B．
C．D．
2．（2023秋?婁星區(qū)期末）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
3．（2024春?太康縣期末）下面各組線段中，能組成三角形的是（ ）
A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14
4．（2022秋?天橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，若∠BAC＝110°，則∠PAQ的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（2024春?連州市期末）三條公路將A、B、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個公園，要使公園到三個村莊的距離相等，那么這個公園應建的位置是△ABC的（ ）
A．三條高線的交點
B．三邊垂直平分線的交點
C．三條角平分線的交點
D．三條中線的交點
6．（2023秋?綏陽縣期末）如圖，衣架框內(nèi)部可以近似看成一個等腰三角形，記為等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中點，∠ABC＝30°，則AD的長為（ ）
A．11cmB．12cmC．13cmD．14cm
7．（2022秋?鶴壁期末）將幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，例如，由圖1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．將圖2所示的卡片若干張進行拼圖，可以將二次三項式a2+3ab+2b2分解因式為（ ）
A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）
C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）
8．（2023秋?廉江市期末）如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結論中正確的個數(shù)（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1個B．2個C．3個D．4個
二．填空題（共8小題）
9．（2022秋?如皋市校級期末）點M（3，﹣4）關于x軸的對稱點的坐標是 ．
10．（2023秋?集賢縣期末）直播課期間，劉老師買了一個手機支架，如圖所示，手機支架利用了三角形的 ．
11．（2023秋?龍山區(qū)期末）分解因式：a2+5a＝ ．
12．（2023秋?柳州期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧交AC于點C，E，再分別以點C與點E為圓心，大于CE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接BF交AC于點D，若∠A＝40°，則∠EBD是 ．
13．（2023秋?長沙期末）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，若AB＝5，AC＝3，DF＝1，則△ABC的面積為 ．
14．（2024春?榆陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD＝3，AB＝12，則△AOB的面積是 ．
15．（2023秋?東城區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是線段AB上一個動點，以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE．若F是DE的中點，當CF取最小值時，△BDE的周長為 ．
16．（2023秋?旌陽區(qū)期末）為了慶祝神舟十五號的成功發(fā)射，學校組織了一次小制作展示活動，小明計劃制作一個如圖所示的簡易模型，已知該模型滿足△ABD≌△ACE，點B和點C是對應頂點，若AB＝8cm，AD＝3cm，則DC＝ cm．
三．解答題（共7小題）
17．（2024春?高碑店市期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：
（1）∠BAE的度數(shù)；
（2）∠DAE的度數(shù)．
18．（2024春?中寧縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作∠A的角平分線AP，交BC于點D．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并標明字母）
（2）若AB＝3，BC＝4，求BD的長及△ACD的面積．
19．（2024春?玉溪期末）如圖，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求證：△ABC≌△ADE．
20．（2024春?西安期末）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）當∠A＝80°時，求∠EDC的度數(shù)；
（2）求證：CF＝FG+CE．
21．（2024春?商水縣期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務：
任務：（1）將凹四邊形的內(nèi)角和為360°的證明過程補充完整．
（2）如圖3，在凹四邊形ABCD中，求證：∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D．
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度數(shù)．
22．（2023秋?臨潁縣期末）實踐與探索
如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．
（1）上述操作能驗證的等式是 ；（請選擇正確的一個）
A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）
（2）請應用這個公式完成下列各題：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝ ．
②計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
23．（2023秋?佛山期末）已知∠AOB＝90°，直線CD與OA交于點C，與OB交于點D，點C，D均不與點O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如圖1，當∠OCD＝40°時，求∠CED的度數(shù)；
（2）如圖2，延長CE與BO交于點F，過E作射線EG與CD交于點G，且滿足∠CFO﹣∠GED＝45°．求證：GE∥DO；
（3）如圖3，過點C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分線所在直線，與射線CE交于點N，與CM交于點M．在△CMN中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的3倍，請直接寫出∠CDE的度數(shù)．
期末真題重組卷-2024-2025學年數(shù)學八年級上冊人教版
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．（2023秋?通河縣期末）下面四幅作品分別代表“立春”、芒種”、“白露”、“大雪”四個節(jié)氣，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形
B、不是軸對稱圖形
C、不是軸對稱圖形
D、是軸對稱圖形；
故選：D．
2．（2023秋?婁星區(qū)期末）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中，
，
∴△ODC≌△O′C′D′（SSS），
∴∠AOB＝∠A′O′B′．
故選：A．
3．（2024春?太康縣期末）下面各組線段中，能組成三角形的是（ ）
A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14
【解答】解：A、∵5+6＝11，∴不能組成三角形，故A選項錯誤；
B、∵8+8＝16，∴不能組成三角形，故B選項錯誤；
C、∵5+4＜10，∴不能組成三角形，故C選項錯誤；
D、∵6+9＞14，∴能組成三角形，故D選項正確．
故選：D．
4．（2022秋?天橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，若∠BAC＝110°，則∠PAQ的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故選：A．
5．（2024春?連州市期末）三條公路將A、B、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個公園，要使公園到三個村莊的距離相等，那么這個公園應建的位置是△ABC的（ ）
A．三條高線的交點
B．三邊垂直平分線的交點
C．三條角平分線的交點
D．三條中線的交點
【解答】解：∵線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，
∴這個公園應建的位置是△ABC的三邊垂直平分線的交點上．
故選：B．
6．（2023秋?綏陽縣期末）如圖，衣架框內(nèi)部可以近似看成一個等腰三角形，記為等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中點，∠ABC＝30°，則AD的長為（ ）
A．11cmB．12cmC．13cmD．14cm
【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AD＝AB＝13（cm），
故選：C．
7．（2022秋?鶴壁期末）將幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，例如，由圖1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．將圖2所示的卡片若干張進行拼圖，可以將二次三項式a2+3ab+2b2分解因式為（ ）
A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）
C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）
【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），
故選：C．
8．（2023秋?廉江市期末）如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結論中正確的個數(shù)（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：①過點P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴點P在∠ACF的角平分線上，故①正確；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正確；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正確，
故選：D．
二．填空題（共8小題）
9．（2022秋?如皋市校級期末）點M（3，﹣4）關于x軸的對稱點的坐標是 （3，4） ．
【解答】解：點M（3，﹣4）關于x軸的對稱點M′的坐標是（3，4）．
故答案為：（3，4）．
10．（2023秋?集賢縣期末）直播課期間，劉老師買了一個手機支架，如圖所示，手機支架利用了三角形的 穩(wěn)定性 ．
【解答】解：手機支架利用了三角形的穩(wěn)定性，
故答案為：穩(wěn)定性．
11．（2023秋?龍山區(qū)期末）分解因式：a2+5a＝ a（a+5） ．
【解答】解：∵a2+5a公有因式為a，
∴原式＝a（a+5），
故答案為：a（a+5）．
12．（2023秋?柳州期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧交AC于點C，E，再分別以點C與點E為圓心，大于CE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接BF交AC于點D，若∠A＝40°，則∠EBD是 20° ．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
由題意可知，BC＝BE，
∴∠BEC＝∠ACB＝70°，
∴∠CBE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠EBD＝∠CBE＝20°．
故答案為：20°．
13．（2023秋?長沙期末）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，若AB＝5，AC＝3，DF＝1，則△ABC的面積為 4 ．
【解答】解：∵AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，
∴DE＝DF＝1，
∵AB＝5，AC＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝AB?DE+AC?DF
＝×5×1+×3×1
＝+
＝4．
故答案為：4．
14．（2024春?榆陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD＝3，AB＝12，則△AOB的面積是 18 ．
【解答】解：如圖，過點O作OE⊥AB于點E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OE＝OD＝3，
∴△AOB的面積＝，
故答案為：18．
15．（2023秋?東城區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是線段AB上一個動點，以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE．若F是DE的中點，當CF取最小值時，△BDE的周長為 18 ．
【解答】解：連接BF，過點C作CH⊥BF．交BF的延長線于H，
∵△BDE是等邊三角形，點F是DE的中點，
∴∠ABF＝30°，
∴點F在射線BF上運動，
當點F與點H重合時，CF最小，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12，
∵∠ABF＝30°，
∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°，
∴△ACD'是等邊三角形，
∴AD'＝AC＝6，
∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6，
∴△BDE的周長為：18，
故答案為：18．
16．（2023秋?旌陽區(qū)期末）為了慶祝神舟十五號的成功發(fā)射，學校組織了一次小制作展示活動，小明計劃制作一個如圖所示的簡易模型，已知該模型滿足△ABD≌△ACE，點B和點C是對應頂點，若AB＝8cm，AD＝3cm，則DC＝ 5 cm．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AC＝AB＝8cm，
∵AD＝3cm，
∴CD＝AC﹣AD＝5（cm）．
故答案為：5．
三．解答題（共7小題）
17．（2024春?高碑店市期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：
（1）∠BAE的度數(shù)；
（2）∠DAE的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣70°﹣30°
＝80°．
∵AE平分∠BAC，
∴．
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B
＝90°﹣70°
＝20°．
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD
＝40°﹣20°
＝20°．
18．（2024春?中寧縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作∠A的角平分線AP，交BC于點D．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并標明字母）
（2）若AB＝3，BC＝4，求BD的長及△ACD的面積．
【解答】解：（1）如圖，AP即為所求；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴點D到AC的距離＝BD的長
設BD＝x，
∴＝，
解得x＝，
∴BD＝，
∴S△ACD＝＝．
19．（2024春?玉溪期末）如圖，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求證：△ABC≌△ADE．
【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
20．（2024春?西安期末）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）當∠A＝80°時，求∠EDC的度數(shù)；
（2）求證：CF＝FG+CE．
【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；
方法二：如圖，在BC上取點M，使CM＝CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△CDE和△CDM中，
，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，
∵GD＝DE，
∴GD＝MD，
∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，
∴∠AEB＝∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，
∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，
∴∠EDM＝100°，
∴∠EDC＝50°；
（2）證明：∵∠A＝2∠BDF，
∴∠BDM＝2∠BDF，
∴∠FDM＝∠BDF，
在△DGF和△DMF中，
，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF＝MF，
∴CF＝CM+FM＝CE+GF．
∴CF＝FG+CE．
21．（2024春?商水縣期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務：
任務：（1）將凹四邊形的內(nèi)角和為360°的證明過程補充完整．
（2）如圖3，在凹四邊形ABCD中，求證：∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D．
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵∠DAC+∠D+∠ACD＝180°，
∵凹四邊形的內(nèi)角和＝∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD，
∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD＝360°，
∴∠BAD+∠B+∠α+∠D＝360°，
∴凹四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°．
（2）∵∠BAD+∠B+∠α+∠D＝360°，
∴∠BAD+∠B+∠D＝360°﹣∠α．
∵∠α+∠BCD＝360°，
∴∠BCD＝360°﹣∠α，
∴∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D．
（3）由（2）可知，∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
∵∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，
∴150°＝70°+28°+∠D，
∴∠D＝150°﹣70°﹣28°＝52°．
22．（2023秋?臨潁縣期末）實踐與探索
如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．
（1）上述操作能驗證的等式是 A ；（請選擇正確的一個）
A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）
（2）請應用這個公式完成下列各題：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝ 4 ．
②計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，
圖2中的陰影部分是長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案為：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案為：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
23．（2023秋?佛山期末）已知∠AOB＝90°，直線CD與OA交于點C，與OB交于點D，點C，D均不與點O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如圖1，當∠OCD＝40°時，求∠CED的度數(shù)；
（2）如圖2，延長CE與BO交于點F，過E作射線EG與CD交于點G，且滿足∠CFO﹣∠GED＝45°．求證：GE∥DO；
（3）如圖3，過點C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分線所在直線，與射線CE交于點N，與CM交于點M．在△CMN中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的3倍，請直接寫出∠CDE的度數(shù)．
【解答】（1）解：∵∠OCD＝40°，∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝50°，
∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，
∴∠DCE＝∠OCE＝∠DCO，∠CDE＝∠ODE＝∠CDO，
∴∠DCE＝20°，∠CDE＝25°，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝135°；
（2）證明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，
∴∠DCE＝∠OCE＝∠DCO，∠CDE＝∠ODE＝∠CDO，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE
＝180°﹣（∠DCO+∠CDO）
＝180°﹣（180°﹣∠O）
＝180°﹣90°+∠O
＝90°+45°
＝135°．
∵∠CED＝∠CFD+∠EDF，∠CFD＝180°﹣∠CFO，
∴∠CED＝180°﹣∠CFO+∠EDF，
∵∠CFO﹣∠GED＝45°，
∴∠CFO＝∠GED+45°，
∴∠CED＝180°﹣（∠GED+45°）+∠EDF，
∴135°＝∠180°﹣∠GED﹣45°+∠EDF，
∴∠GED＝∠EDF，
∴GE∥DO；
（3）解：①當∠MCN＝3∠N時，
∵CM⊥CN，
∴∠MCN＝90°，
∴∠N＝∠MCN＝30°，
∴∠M＝60°．
∵∠COD＝90°，
∴∠DON＝45°，
∴∠COM＝45°．
∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝75°．
∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝15°．
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO＝2∠NCO＝30°，
∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝60°，
∵DE平分∠CDO，
∴∠CDE＝∠CDO＝30°；
②當∠M＝3∠N時，
∵CM⊥CN，
∴∠MCN＝90°，
∴∠M+∠N＝90°，
∴∠N＝22.5°，∠M＝67.5°，
∵∠COD＝90°，
∴∠DON＝45°，
∴∠COM＝45°．
∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝67.5°．
∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝22.5°．
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO＝2∠NCO＝45°，
∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝45°，
∵DE平分∠CDO，
∴∠CDE＝∠CDO＝22.5°．
綜上，在△CMN中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的3倍，∠CDE的度數(shù)為30°或22.5°．
我們把如圖1所示的四邊形稱為凸四邊形，它的內(nèi)角和為360°，把如圖2所示的五邊形稱為凸五邊形，它的內(nèi)角和為540°．我們把如圖3所示的四邊形稱為凹四邊形，它的內(nèi)角和是360°嗎？答案是肯定的．它的證明方法和證明凸四邊形的內(nèi)角和為360°的方法相同．證明方法如下：如圖3，連接AC．∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，…，
我們把如圖1所示的四邊形稱為凸四邊形，它的內(nèi)角和為360°，把如圖2所示的五邊形稱為凸五邊形，它的內(nèi)角和為540°．我們把如圖3所示的四邊形稱為凹四邊形，它的內(nèi)角和是360°嗎？答案是肯定的．它的證明方法和證明凸四邊形的內(nèi)角和為360°的方法相同．證明方法如下：如圖3，連接AC．∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，…，

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