方法必備08 幾何綜合題“不一樣的旋轉(zhuǎn)，不一樣的特征” -【知識清單】最新中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點一覽表

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2、學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會搶得分點。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點不懂、一點不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將實際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)。
5、學(xué)會運用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
方法必備08 幾何綜合題“不一樣的旋轉(zhuǎn)，不一樣的特征”
題型一：旋轉(zhuǎn)之全等特性
題型二：旋轉(zhuǎn)之相似特性
題型三：旋轉(zhuǎn)之隱圓本性
題型一：旋轉(zhuǎn)之全等特性
旋轉(zhuǎn)是全等變換之一，其本質(zhì)特點即為旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，利用全等性質(zhì)解決有關(guān)線段與角的計算問題，
1．（2023?無錫）如圖，四邊形中，，，，，為射線上的動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．設(shè)，的面積為．
（1）當(dāng)時，求的長；
（2）當(dāng)時，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（3）求的最小值．
【分析】（1）過點作交于，連接，可得四邊形是菱形，則是等邊三角形，由得，則是的中點，可得，證明，可得，即可求解；
（2）連接，作，可表示出，從而得出，可證得，從而得出，可得出，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（3）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，可證得△，從而得出，可得出，，從而得出，從而，故當(dāng)點在處時，最小，從而，從而得出的最小值為：．
【解答】解：（1）如圖1，
作，交于，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
是等邊三角形，，
，，
，，
，
，
；
（2）（方法一）如圖2，
連接，以為圓心，長為半徑畫弧交的延長線于，作，交的延長線于，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（方法二）如圖3，
連接，作，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
（3）（方法一），如圖4，
由（2）知：，
點在與過點且與成的直線上運動，
作于，作于，作交于，作于，當(dāng)點在處時，最小，
，，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
的最小值為：，
（方法二）如圖5，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，
，
，
，，
△，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)點在處時，最小，
，
的最小值為：．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
2．（2023?鄱陽縣二模）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，點在等邊的邊上，連接，將繞點旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)后點的對應(yīng)點為點，得到，連接，判斷的形狀，并說明理由；
【類比遷移】（2）如圖2，是等邊三角形，點在外，，，求面積的最小值；
【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，是等腰直角三角形，若于點，，，直接寫出的長．
【分析】是等邊三角形，，，得出，，，可證是等邊三角形；
（2）如圖1，延長到點，使，是等邊三角形，，，，根據(jù)等量代換，，，
當(dāng)時，最小，此時面積最小，進(jìn)而求解；
（3）的長為或，
如圖2，延長至點，使，是等腰直角三角形，根據(jù)等量代換，，，是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解，如圖3，在上取一點，使，同理可得．
【解答】解：（1）是等邊三角形，
理由：是等邊三角形，
，
依題意可知，，
，，
，
是等邊三角形；
（2）如圖1，延長到點，使，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
當(dāng)時，最小，此時面積最小，
，
此時面積為：
面積的最小值為：；
（3）的長為或，
如圖2，延長至點，使，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
．
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
如圖3，在上取一點，使，
同理可得，
綜上所述，的長為或．
【點評】本題考查等邊三角形，等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)和最值等綜合問題，解題的關(guān)鍵是對問題的分類討論．
3．（2023?高新區(qū)校級四模）如圖，在中，，，為線段上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，作射線．
（1）求證：，并求的度數(shù)；
（2）若為中點，連接，連接并延長，交射線于點．當(dāng)，時，
①求的長；
②直接寫出的長．
【分析】（1）利用證明，得，即可解決問題；
（2）①利用勾股定理求出的長，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答案；
②利用等角對等邊說明點為的中點，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答案．
【解答】（1）證明：，
，
又，，
．
又，，
，
，
，
．
（2）①在中，，，
，
又為中點，
則．
②在中，為的中點，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?甘孜州）如圖，在中，，點在邊上，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．
（1）求證：；
（2）若時，求的長；
（3）點在上運動時，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）由即可證明；
（2）證明，得到，在 中，；
（3）證明，即可求解．
【解答】（1）證明：由題意，可知，，．
．
即．
在和中，
；
（2）解：在中，，
，，
．
，
，，
．
，
在 中，；
（3）解：存在，理由：
由（2）可知，，
當(dāng)最小時，有 的值最小，此時．
為等腰直角三角形，
，
．
即 的最小值為18．
【點評】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，有一定的綜合性，難度適中．
5．（2023?攀枝花）如圖1，在中，，沿方向向左平移得到，、對應(yīng)點分別是、．點是線段上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至線段，使得，連接．
（1）當(dāng)點與點重合時，求的長；
（2）如圖2，連接、．在點的運動過程中：
①和是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；
②當(dāng)?shù)拈L為多少時，能構(gòu)成等腰三角形？
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形、四邊形是平行四邊形，再由已知推導(dǎo)出是的平分線，由等腰三角形的性質(zhì)可得，過點作交于點，求出，再由，所以；
（2）①證明，則；
②過點作交于，由等積法可得，求出，分三種情況討論：當(dāng)時，；當(dāng)點與點重合時，，此時，當(dāng)時，，在中，，可得；當(dāng)時，，過點作交于，所以，能求出，，則；當(dāng)時，，當(dāng)點在上時，，此時點與點重合，此時．
【解答】（1）當(dāng)點與點重合時，，
由平移可知，，，
四邊形、四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，
，
是的平分線，
，
，
如圖1，過點作交于點，
，
，
，
，
；
（2）①，理由如下：
如圖2，，，，
，
；
②如圖2，過點作交于，
由①可知，
，
當(dāng)時，
，
，
，
，
當(dāng)點與點重合時，，此時，
當(dāng)時，，在中，，
；
當(dāng)時，，
，
，
過點作交于，
，
，，
，
，
，
，
；
當(dāng)時，
，
，
，
，
當(dāng)點在上時，，此時點與點重合，
；
綜上所述：的長為14或11或8或0．
【點評】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?重慶）如圖，在等邊中，于點，為線段上一動點（不與，重合），連接，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，連接交于點，連接，，與所在直線交于點，求證：；
（3）如圖3，連接交于點，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，即可得證；
（2）過點作，交點的延長線于點，連接，，證明四邊形是平行四邊形，即可得證；
（3）如圖所示，延長，交于點，由（2）可知是等邊三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得出是等邊三角形，由（2）可得，得出四邊形是平行四邊形，則，進(jìn)而得出，則，當(dāng)取得最小值時，即時，取得最小值，即可求解．
【解答】（1）證明：為等邊三角形，
，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
；
（2）證明：如圖所示，過點作，交點的延長線于點，連接，，
是等邊三角形，
，
，
，
垂直平分，
，
又，
，，
，
在的垂直平分線上，
，
在的垂直平分線上，
垂直平分，
，，
，
又，，
是等邊三角形，
，
，
，
又，，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
；
解法二：連接，證明，可得結(jié)論．
（3）解：依題意，如圖所示，延長，交于點，
由（2）可知是等邊三角形，
，
將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，
，，
，
是等邊三角形，
，
由（2）可得，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
由（2）可知是的中點，則，
，
，
折疊，
，
，
又，
，
當(dāng)取得最小值時，即時，取得最小值，此時如圖所示，
，
，
．
解法二：由兩次翻折，推得，則，
由，推出的最小值，只需要求出的最小值，
當(dāng)時，的值最小，最小值為1，
的最小值為．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?永川區(qū)一模）在中，，，點為邊上一動點，連接，將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．
（1）如圖1，，點恰好為中點，與交于點，若，求的長度；
（2）如圖2，與交于點，連接，在延長線上有一點，，求證：；
（3）如圖3，與交于點，且平分，點為線段上一點，點為線段上一點，連接，，點為延長線上一點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，在，運動過程中，當(dāng)取得最小值，且時，請直接寫出的值．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即可求解；
（2）由“”可證，可得，，由“”可得，可得，可得結(jié)論；
（3）先證明當(dāng)點，點，點三點共線，且時，有最小 值，再證明點，點，點三點共線，由等腰直角三角形和折疊的性質(zhì)可求解．
【解答】（1）解：，，
，
，，
，
點為中點，
，
，
將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，
；
（2）證明：如圖2，過點作交于點，
，，
，，
，
，，
，，
，
將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：如圖3，在上截取，連接，
平分，
，
又，
，
，
，
當(dāng)點，點，點三點共線，且時，有最小值，
如圖4，
，，
，
折疊，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
點，點，點三點共線，
折疊，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?鄒城市校級二模）和是等腰直角三角形，，，．
【觀察猜想】當(dāng)和按如圖1所示的位置擺放，連接、，延長交于點，猜想線段和有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
【探究證明】如圖2，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，線段和線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，，，，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，求的長．
【分析】【觀察猜想】根據(jù)推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)求出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
【探究證明】根據(jù)推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)求出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
【拓展應(yīng)用】在的左側(cè)以為直角頂點作等腰直角，連接，則，，，可得，由勾股定理可得，，由旋轉(zhuǎn)得，，由【探究證明】知，即可得的長．
【解答】解：【觀察猜想】，，
證明：在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
；
【探究證明】線段和線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系仍然成立，
證明：，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
；
【拓展應(yīng)用】如圖，在的左側(cè)以為直角頂點作等腰直角，連接，
，，，
，
，
，
，
將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至，
，，
由【探究證明】知，
．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明是本題的關(guān)鍵．
9．（2023?隨州）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點，，，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）
當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，
如圖1，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，
由，，可知為 等邊 三角形，故，又，故，
由 可知，當(dāng)，，，在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的點為該三角形的“費馬點”，
且有 ；
已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為 點．
（2）如圖4，在中，三個內(nèi)角均小于，且，，，已知點為的“費馬點”，求的值；
（3）如圖5，設(shè)村莊，，的連線構(gòu)成一個三角形，且已知，，．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站沿直線向，，三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站到村莊，，的鋪設(shè)成本分別為元，元，元，選取合適的的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為 元．（結(jié)果用含的式子表示）
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點之間線段最短進(jìn)行推理分析后即可得出結(jié)論，然后填空即可；
（2）根據(jù)（1）的方法將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，即可得出可知當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，最小值為，再根據(jù)可證明，根據(jù)勾股定理即可求出；
（3）根據(jù)總鋪設(shè)成本，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，得到等腰直角△，推出，即可得出當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為的長，然后根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出即可．
【解答】解：（1），，
為等邊三角形，
，，
又，
，
根據(jù)兩點之間線段最短可知，當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，最小值為，
此時的點為該三角形的“費馬點”，
，，
，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，
△，
，
，
，
，
，，
，，
三個頂點中頂點到另外兩個頂點的距離和最小，
又已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點，
該三角形的“費馬點”為點．
故答案為：等邊；兩點之間線段最短；；；
（2）如圖4，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，
由（1）可知當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，最小值為，
，
，
又，
，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，
，
即的最小值為5；
（3）總鋪設(shè)成本，
當(dāng)最小時，總鋪設(shè)成本最低，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，
，
，
當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，
即取最小值為，
過點作于，
，，
，
，
，
，
，
即的最小值為，
總鋪設(shè)成本為：總鋪設(shè)成本（元．
故答案為：．
【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短以及等邊三角形的性質(zhì)，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
10．（2023?貴州）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，，過點作射線，垂足為，點在上．
（1）【動手操作】
如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為 135 度；
（2）【問題探究】
根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）【拓展延伸】
如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，由，，得，而，即得；
（2）過作交于，證明是等腰直角三角形，得，，即可證，故；
（3）當(dāng)在線段上時，過作交于，結(jié)合（2）可得；當(dāng)在線段的延長線上時，過作交于，證明是等腰直角三角形，可得，，，，即可證，，根據(jù)，即得．
【解答】解：（1）畫出圖形如下：
，，
，
，
，
；
故答案為：135；
（2），理由如下：
過作交于，如圖：
，
是等腰直角三角形，
，，
，即，，
，
，
，
；
（3）當(dāng)在線段上時，過作交于，如圖：
由（2）可知，，，
，
，
，
；
當(dāng)在線段的延長線上時，過作交于，如圖：
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
綜上所述，當(dāng)在線段上時，；當(dāng)在線段的延長線上時，．
【點評】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
11．（2023?遼寧）是等邊三角形，點是射線上的一點（不與點，重合），連接，在的左側(cè)作等邊三角形，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，交于點．
（1）如圖1，當(dāng)點為中點時，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)，時，請直接寫出的長．
【分析】（1）可證得，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（2）連接，可證明，從而，，進(jìn)而得出，從而得出，從而，結(jié)合得出四邊形是平行四邊形，從而得出；
（3）分為兩種情形：當(dāng)點在的延長線上時，作于，可得出，，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點在上時，作于，可得出，，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【解答】解：（1）是等邊三角形，點是的中點，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
；
（2）如圖1，
仍然成立，理由如下：
連接，
和是等邊三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
；
（3）如圖2，
當(dāng)點在的延長線上時，
作于，
，
，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
如圖3，
當(dāng)點在上時，
作于，
由上知：，，
，
，
，
綜上所述：或．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”等模型．
12．（2023?遼寧）在中，，，點為的中點，點在直線上（不與點，重合），連接，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點作直線，過點作，垂足為點，直線交直線于點．
（1）如圖1，當(dāng)點與點重合時，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點在線段上時，求證：；
（3）連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時，請直接寫出的值．
【分析】（1）連接，由，，得，根據(jù)線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，有，，可得，從而，，知是等腰直角三角形，，故；
（2）由，，為的中點，得，，證明，得，根據(jù)，即得；
（3）由，設(shè)，則，分兩種情況：當(dāng)在線段上時，延長交于，由，得，而四邊形是矩形，有，，根據(jù)勾股定理可得，故，，即得；當(dāng)在射線上時，延長交于，同理可得．
【解答】（1）解：，理由如下：
連接，如圖：
，，
，
線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，
，，
，
，
，，
直線，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）證明：如圖，
，，為的中點，
，，
，
，
直線，直線，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由，設(shè)，則，
當(dāng)在線段上時，延長交于，如圖：
由（2）知，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
當(dāng)在射線上時，延長交于，如圖：
同理可得，
，
，
，
，，為的中點，
，
，
，
，
，
，
；
綜上所述，的值為或．
【點評】本題考查等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)問題，涉及三角形全等的判定于性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
題型二：旋轉(zhuǎn)之相似特性
將一個幾何圖形繞著它的一個頂點作旋轉(zhuǎn)相似變換時，一定會出現(xiàn)新的相似．利用新的相似圖形的性質(zhì)解決有關(guān)線段與角的計算問題，這是行之有效的常用方法．
13．（2023?錦州）【問題情境】如圖，在中，，，點在邊上．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段（旋轉(zhuǎn)角小于，連接，，以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．
【嘗試探究】
（1）如圖1，當(dāng)時，易知；
如圖2，當(dāng)時，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）如圖3，寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含的三角函數(shù)表示），并說明理由；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖4，當(dāng)且點，，三點共線時．若，，請直接寫出的長．
【分析】（1）可證明，從而，進(jìn)而得出結(jié)果；
（2）過點作于點，可推出，進(jìn)而證得，從而；
（3）作于點，過點作，交延長線于點，設(shè)，則，由得，從而，，進(jìn)而表示出，．，在中，由勾股定理列出方程，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【解答】解：（1）當(dāng)時，和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）如圖1，
，理由如下：
過點作于點，
，
，，
同理可得：，
，
，
，
，
，
；
（3）方法一
如圖2，
作于點，過點作，交延長線于點，
，
，
線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，．
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
由（2）得：，
方法二
如圖3，
作交延長線于點，過點作于點，
過點作于點，
，
，
線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，
，
，
，，
，
，
，
是以為底邊的等腰三角形，，
，
，
，，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．
14．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖1，在中，，，，點，為邊，的中點，連接，將△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)時， 2 ，，所在直線相交所成的較小夾角的度數(shù)為 ；
（2）將△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）在△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，
①請直接寫出的最大值；
②當(dāng)，，三點共線時，請直接寫出線段的長．
【分析】（1）先求出，，再求出，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出，得出，，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)點落在的延長線上時，的面積最大，利用三角形面積公式求解即可；
②分兩種情況：先畫出圖形，利用勾股定理求出，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）在中，，
，
，
，
是的中點，是的中點，
，，
，
，
，所在直線相交所成的較小夾角為，
故答案為2，；
（2）（1）中結(jié)論仍然成立，證明：延長，相交于點，如圖2，
由旋轉(zhuǎn)知，，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
；
（3）①由題意，，，，
當(dāng)點落在的延長線上時，的面積最大，最大值；
②在圖1中，在△中，，當(dāng)點在的延長線上時，如圖3，
，，三點共線，
，
在△中，，
；
當(dāng)點在線段上時，如圖4，
同①的方法得，，
，
即線段的長為或．
【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
題型三：旋轉(zhuǎn)之隱圓本性
旋轉(zhuǎn)的核心是旋轉(zhuǎn)中心，圖形上任意一點繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)就會形成弧——隱圓， 由此，將隱形圓展現(xiàn)出來，就能解決與之相關(guān)的路徑長問題和圍成的面積等計算問題，也可以解決與之相關(guān)的最值問題．
15．（2023?廣元）如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．
（1）若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若，，，求的長；
（3）如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時的值．
【分析】（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）求出，延長交于點，在 中，由直角三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而求得的長，根據(jù) 的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求出案．
（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，，同（1）可得，求出的長，進(jìn)而得出在以為圓心，為半徑的圓上運動，當(dāng)點，， 三點共線時，的值最大，進(jìn)而求得，，根據(jù)得出，過點作于點，由直角三角形的性質(zhì)分別求得，，然后求出，最后根據(jù)正切的定義即可得出答案．
【解答】解：（1）在中，，在中，，，
，，，
，，
，
，
，
故答案為：；
（2）在，，，，
，，
延長交于點，如圖所示，
，，
，
由（1）可得，
，
，
在中，，
，
，
，
即；
（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，，
同（1）可得，
，
，
，
在中，，，
在以為圓心，為半徑的圓上運動，
當(dāng)點，，三點共線時，的值最大，此時如圖所示，則，
在中，，
，，
，
，
，
，
過點作于點，
，，
，
，
，
中，．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?岳陽）如圖1，在中，，點，分別為邊，的中點，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是 ，與的位置關(guān)系是 ．
特例研討：（2）如圖2，若，，先將繞點順時針旋轉(zhuǎn)為銳角），得到，當(dāng)點，，在同一直線上時，與相交于點，連接．
①求的度數(shù)；
②求的長．
深入探究：（3）若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點，，在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1），點，分別為邊，的中點，則是的中位線，即可得出結(jié)論；
（2）特例研討：①連接，，，證明是等邊三角形，是等邊三角形，得出；
②連接，證明，則，設(shè)，則，在中，，，則，在中，，勾股定理求得，則；
（3）當(dāng)點，，在同一直線上時，且點在上時，設(shè)，則，得出，則．，， 在同一個圓上，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理得出，表示與，即可求解；當(dāng)在上時，可得，，，在同一個圓上，設(shè)，則，設(shè)，則，則，表示 與，即可求解．
【解答】解：（1），點，分別為邊，的中點，
是的中位線，
，；
故答案為：，；
（2）特例研討：①如圖所示，連接，，，
是的中位線，
，
，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)為銳角），得到，
，；，
點，，在同一直線上，
，
在中，是斜邊的中點，
，
，
是等邊三角形，
，即旋轉(zhuǎn)角，
，，
是等邊三角形，
又，，
，
，
，
；
（2）如圖所示，連接，
，，
，，
，，
，
，
設(shè)，則，
在中，，則，
在中，，
，
解得： 或 （舍去），
；
（3）如圖所示，當(dāng)點，，在同一直線上時，且點在上時，
，
，設(shè)，則，
是的中位線，
，
，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，
，
，
點，，在同一直線上，
，
，
，，，在同一個圓上，
，
，
，
，
如圖所示，當(dāng)在上時，
，，
，，，在同一個圓上，設(shè)，則，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，設(shè)，則，則，
，
，，
，
，
，
，
綜上所述，或．
【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位 線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌 以上知識是解題的關(guān)鍵．
17．（2023?安徽）在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)至位置，點在直線外，連接，．
（1）如圖1，求的大小；
（2）已知點和邊上的點滿足，．
如圖2，連接，求證：；
如圖3，連接，若，，求的值．
【分析】（1）證，得，，再由三角形內(nèi)角和定理得即可；
（2）證四邊形是平行四邊形，得，再證四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得平行四邊形是菱形，則，然后證、、、四點共圓，由圓周角定理得，即可得出結(jié)論；
過點作于點，由勾股定理得，再由菱形的性質(zhì)得，進(jìn)而由銳角三角函數(shù)定義得，則，，然后由銳角三角函數(shù)定義即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：是的中點，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，，
，
，
即的大小為；
（2）證明：，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
平行四邊形是菱形，
，
又，
、、、四點共圓，
，
，
；
解：如圖3，過點作于點，
則，
在中，由勾股定理得：，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
，
即的值為．
【點評】本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點共圓，圓周角定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識，本題綜合性強，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
18．（2023?巴中）綜合與實踐．
（1）提出問題．如圖1，在和中，，且，，連接，連接交的延長線于點．
①的度數(shù)是 ．
② ．
（2）類比探究．如圖2，在和中，，且，，連接、并延長交于點．
①的度數(shù)是 ；
② ．
（3）問題解決．如圖3，在等邊中，于點，點在線段上（不與重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將繞著點在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，為的中點，為的中點．
①說明為等腰三角形．
②求的度數(shù)．
【分析】（1）（2）從圖形可辯知，這個是手拉手全等或相似模型，按模型的相關(guān)結(jié)論解題．
（3）稍有變化，受前兩問的啟發(fā)，連接、完成手拉手的構(gòu)造，再結(jié)合三角形中位線知識解題．
【解答】解：（1）①，
，
．
又，，
．
，
，
，
，
即：，
．
故的度數(shù)是．
②由①得，
．
故．
（2）①，，
，
又，
，
，．
，
．
，
，
．
故 的度數(shù)是．
②由①得：．
，
，且，
，
．
．
（3）①解：連接、，延長交于點，交于點．
在等邊中，又于點，
為的中點，
又為的中點，為的中點，
、分別是、的中位線，
，．
，
．
．
在和中，
，
．
．
．
為等腰三角形．
②，
，
由（1）（2）規(guī)律可知：，
，
又，，
．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)．方法靈活多變，需要較強的構(gòu)造能力．
19．（2023?湖北）【問題呈現(xiàn)】
和都是直角三角形，，，，連接，，探究，的位置關(guān)系．
【問題探究】
（1）如圖1，當(dāng)時，直接寫出，的位置關(guān)系： ．
（2）如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）當(dāng)，，時，將繞點旋轉(zhuǎn)，使，，三點恰好在同一直線上，求的長．
【分析】（1）由“”可證，可得，由余角的性質(zhì)可證；
（2）通過證明，可得，由余角的性質(zhì)可證；
（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如圖1，延長交于點，交于，
當(dāng)時，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：
如圖2，延長交于點，交于，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
（3）如圖3，當(dāng)點在線段上時，連接，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
當(dāng)點在線段上時，連接，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
綜上所述：或．
【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?盤錦）如圖，四邊形是正方形，點在上，點在的延長線上，，連接，，點在的延長線上，，點在線段上，且，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，使得，交于點．
（1）線段與線段的關(guān)系是 垂直且相等 ．
（2）若，，求的長．
（3）求證：．
【分析】（1）證明，從而，，進(jìn)而；
（2）可證得，從而，進(jìn)而，從而得出；
（3）延長至，使，作，交于，設(shè)，可推出，從而得出，可證得，從而得出．
【解答】（1）解：四邊形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
故答案為：垂直且相等；
（2）解：，，
，
，
線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，
，
，
；
（3）證明：如圖，
延長至，使，作，交于，
，
，
，
，，
設(shè)，
，，
，
，
，
，
，，，
，
．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．
21．（2024?鞍山模擬）問題提出
已知是等邊三角形，將等邊三角形，，三點按逆時針排列）繞頂點旋轉(zhuǎn)，且平移線段使點與頂點重合，得到線段，連接，，．
觀察發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，當(dāng)點在線段上，猜想的形狀 等邊三角形 ；
探究遷移
（2）如圖2，當(dāng)點不在線段上，（1）中猜想的結(jié)論是否依然成立，請說明理由；
拓展應(yīng)用
（3）若，，在繞著點旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時，求線段的長．
【分析】（1）由，是等邊三角形，可得，，故是等邊三角形；
（2）延長交于，由，是等邊三角形，得，，，而平移線段使點與頂點重合，得到線段，有，，故，，從而，即得，知，，即可得是等邊三角形；
（3）設(shè)直線交于，分兩種情況：①當(dāng)在下方時，求出，由勾股定理可得，設(shè)，，可得，解得（負(fù)值已舍去），，故；當(dāng)在上方時，同理可得．
【解答】解：（1）點在線段上時，
，是等邊三角形，
，，
是等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；
（2）當(dāng)點不在線段上，（1）中的結(jié)論依然成立，理由如下：
延長交于，如圖：
，是等邊三角形，
，，，
平移線段使點與頂點重合，得到線段，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
，
是等邊三角形；
（3）設(shè)直線交于，分兩種情況：
①當(dāng)在下方時，如圖：
由（2）可知是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
平移線段使點與頂點重合，得到線段，
，
而，
，
；
設(shè)，，
，，
，
，
①②得：，
③，
把③代入①得：，
解得（負(fù)值已舍去），
，
，
，
；
當(dāng)在上方時，如圖：
同理可得，
，
設(shè)，，
，，
，
解得（負(fù)值已舍去），
；
綜上所述，的值為或．
【點評】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
22．（2024?宜昌模擬）在中，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角小于，點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，交于點，延長交于點．
（1）如圖1，求證：；
（2）當(dāng)時，
①如圖2，若，，求線段的長；
②如圖3，連接，，延長交于點，判斷是否為線段的中點，并說明理由．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，根據(jù)證明，即可證明；
（2）①連接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得，推出，據(jù)此求解即可；
②連接，延長和交于點，證明，得到，，利用，得到，，進(jìn)而證得，推導(dǎo)出，即是線段的中點．
【解答】（1）證明：連接，如圖1，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，
，
，
；
（2）解：①連接，如圖2，
，，，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
；
②是線段的中點．理由如下：
連接，延長和交于點，如圖3，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即是線段的中點．
【點評】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線解決問題是解答本題的關(guān)鍵．
23．（2023?紅花崗區(qū)校級一模）【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1所示，和均為正三角形，、、三點共線．猜想線段、之間的數(shù)量關(guān)系為 ； ；
【類比探究】
（2）如圖2所示，和均為等腰直角三角形，，，，、、三點共線，線段、交于點．此時，線段、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？請寫出證明過程并求出的度數(shù)；
【拓展延伸】
（3）如圖3所示，在中，，，，為的中位線，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)所在直線經(jīng)過點時，請直接寫出的長．
【分析】（1）證，得，，進(jìn)而判斷出的度數(shù)為即可；
（2）證，得，，則，再求出，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別求出的長即可．
【解答】解：（1）和均為等邊三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
點，，在同一直線上，
，
，
，
綜上所述，的度數(shù)為，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是，
故答案為：，60；
（2）結(jié)論：，，理由如下：
和均為等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）分兩種情況：
①如圖4，
，，，
，
，
為的中位線（如圖3中），
，，，，
，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，
，，
，
，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去）
；
②如圖5，同①得：，
則，，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
；
綜上所述，的長為或．
【點評】本題考查幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
24．（2023?黃山一模）如圖，過等邊的頂點作的垂線，點為上一點（不與點重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．
（1）求證：；
（2）連接并延長交直線于點．若，
①試猜想和的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②若，求的長．
【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)可得，，由旋轉(zhuǎn)得，，則，則，；
（2）①連接，旋轉(zhuǎn)得，，則是等邊三角形，，，是垂直平分線，即可得到；
②由（1）得，，．，求得，在，，，，，則，，，．
【解答】（1）證明：在等邊中，，，
由旋轉(zhuǎn)可得，，，
，
，
即，
，
；
（2）猜想：①．
證明：連接，如圖：
由旋轉(zhuǎn)可得，，，
是等邊三角形，
，
．
是垂直平分線，
點在上，
；
②由（1）得，
，．
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
．
，
．
，
．
【點評】此題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．