浙江省杭州市保俶塔實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．y＝2x﹣3C．y＝x2﹣3D．
2．（3分）盒子里有10個(gè)球，它們只有顏色不同，其中紅球有6個(gè)，黃球有3個(gè)，黑球有1個(gè)．小軍從中任意摸一個(gè)球，下面說法正確的是（）
A．一定是紅球
B．摸出紅球的可能性最大
C．不可能是黑球
D．摸出黃球的可能性最小
3．（3分）已知⊙O與點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，如果⊙O的半徑為5，線段OP的長為3，則下列說法正確的是（）
A．點(diǎn)P在⊙O上
B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)
C．點(diǎn)P在⊙O外
D．無法判斷點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系
4．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，則∠CAD＝（）
A．30°B．40°C．50°D．90°
5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E在BC的延長線上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，則∠DCE的度數(shù)是（）
A．100°B．105°C．110°D．120°
6．（3分）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c的圖象不經(jīng)過的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
7．（3分）在下列函數(shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（）
A．y＝（x＞0）B．y＝x2﹣4x+5（x≥0）
C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）D．y＝﹣3x+7
8．（3分）已知，如圖，點(diǎn)C，D在⊙O上，直徑AB＝6cm，弦AC，BD相交于點(diǎn)E，若CE＝BC，則陰影部分面積為（）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
9．（3分）如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點(diǎn)D在劣弧AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)E，設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則以下關(guān)系式成立的是（）
A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°
10．（3分）已知二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是實(shí)數(shù)），設(shè)該函數(shù)最小值為k，下列說法正確的是（）
A．若2＜a＜3，2＜b＜3，則k＜0
B．若2＜a＜3，2＜b＜3，則0＜k＜1
C．若2＜a＜3，3＜b＜4，則k＜﹣3
D．若2＜a＜3，3＜b＜4，則k＞﹣3
二.填空題（每題3分，共18分）
11．（3分）從，0，3這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)為無理數(shù)的概率是．
12．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足如表：
根據(jù)表格內(nèi)容，則m的值為．
13．（3分）如圖所示，AD為⊙O的直徑，點(diǎn)B、C在圓上，∠B＝60°，則∠CAD＝．
14．（3分）一個(gè)袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們除顏色外，其他都相同．現(xiàn)將n個(gè)綠球（與紅、黃球除顏色外，其他都相同）放入袋中搖均勻，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述的過程，共摸了500次，其中60次摸到紅球．則估計(jì)n的值為．
15．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+a+1（a為常數(shù)，且a＜0）的圖象經(jīng)過P（x1，y1）、Q（3，y2），當(dāng)y1＞y2時(shí)，則x1的取值范圍為．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊在AB的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)I在DE上，以EF為直徑的圓交直線AB于點(diǎn)M，N．若I為DE的中點(diǎn)，AB＝5，則MN＝．
三.解答題（本大題共8題，共72分）
17．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；
（2）請你判斷點(diǎn)P（﹣2，3）是否在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上？
18．（8分）在一個(gè)不透明的盒子中，裝有3個(gè)分別寫有數(shù)字3，﹣5，7的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，攪拌均勻后，先從盒子里隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字后放回盒子，攪拌均勻后再隨機(jī)取出1個(gè)小球，再記下小球上的數(shù)字．
（1）用列表法或樹狀圖法中的一種方法，寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）求兩次取出的小球上數(shù)字的和是正數(shù)的概率．
19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC的外接圓的半徑為；
（2）將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1BC1，請?jiān)趫D中畫出△A1BC1；
（3）在（2）的條件下，求出點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長．
20．（8分）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點(diǎn)E．連接AB、OB、BC．
（1）求證：∠CBO＝∠ABD；
（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的長．
21．（8分）某農(nóng)場計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為x m（如圖），養(yǎng)殖場的總面積為ym2．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？
22．（10分）如圖1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D．
（1）若∠ECB＝120°，
①求所對圓心角的度數(shù)；
②連結(jié)DB，DA，求證：△ABD是等邊三角形．
（2）如圖2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面積．
23．（10分）設(shè)二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），求函數(shù)y的表達(dá)式及其圖象的對稱軸．
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)y的圖象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，且．求證：y1﹣y2＞0．
（3）若函數(shù)y的表達(dá)式可以寫成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范圍．
24．（12分）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，G是上一點(diǎn)，AG，DC的延長線交于點(diǎn)F，作AH⊥DG于點(diǎn)H．
（1）求證：∠FGC＝∠AGD；
（2）若∠GDC＝30°，GC平分∠DGF，請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形并求出的值；
（3）猜想線段DH，HG，CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
2024-2025學(xué)年浙江省杭州市保俶塔實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）
A．B．y＝2x﹣3C．y＝x2﹣3D．
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，由此判斷即可．
【解答】解：A、不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
D、不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
2．（3分）盒子里有10個(gè)球，它們只有顏色不同，其中紅球有6個(gè)，黃球有3個(gè)，黑球有1個(gè)．小軍從中任意摸一個(gè)球，下面說法正確的是（）
A．一定是紅球
B．摸出紅球的可能性最大
C．不可能是黑球
D．摸出黃球的可能性最小
【分析】根據(jù)題意列出樹狀圖求出各種顏色求得概率，逐個(gè)判斷即可得到答案．
【解答】解：由題意可得，
摸出紅球的概率為，摸出黃球的概率為：，摸出黑球的概率為：，
故選：B．
3．（3分）已知⊙O與點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，如果⊙O的半徑為5，線段OP的長為3，則下列說法正確的是（）
A．點(diǎn)P在⊙O上
B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)
C．點(diǎn)P在⊙O外
D．無法判斷點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系
【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解答即可．
【解答】解：∵⊙O與點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，⊙O的半徑為5，線段OP的長為3，5＞3，
∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．
故選：B．
4．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，則∠CAD＝（）
A．30°B．40°C．50°D．90°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAE＝90°，結(jié)合∠DAE＝50°，求得∠CAD．
【解答】解：將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，
∴∠CAE＝90°，
∵∠DAE＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
故選：B．
5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E在BC的延長線上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，則∠DCE的度數(shù)是（）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【分析】設(shè)∠A＝4x，則∠B＝∠D＝3x，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠D＝4：3：3，
∴設(shè)∠A＝4x，則∠B＝∠D＝3x．
∵∠B+∠D＝180°，即6x＝180°，解得x＝30°，
∴∠A＝120°，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝120°．
故選：D．
6．（3分）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c的圖象不經(jīng)過的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)圖像可以知道，進(jìn)而得出b、c的正負(fù)，求出一次函數(shù)經(jīng)過的象限，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：根據(jù)圖像可得：
，
∴b＞0，c＞0，
故y＝bx+c經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，
故選：D．
7．（3分）在下列函數(shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（）
A．y＝（x＞0）B．y＝x2﹣4x+5（x≥0）
C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）D．y＝﹣3x+7
【分析】根據(jù)各函數(shù)的增減性依次進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、y＝（x＞0）中，k＝2＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，
即當(dāng)x1＞x2時(shí)，必有y1＜y2，
此時(shí)＜0，
故A選項(xiàng)不成立；
B、∵y＝x2﹣4x﹣1的對稱軸為直線x＝2，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞2時(shí)y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，當(dāng)x1＞x2時(shí)，必有y1＜y2，
此時(shí)＜0，
故B選項(xiàng)不成立；
C、∵y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）的對稱軸為直線x＝3，
∴當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，當(dāng)x1＞x2時(shí)，必有y1＞y2，
此時(shí)＞0，
故C選項(xiàng)成立；
D、∵y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0，
∴y隨x的增大而減小，即當(dāng)x1＞x2時(shí)，必有y1＜y2，
此時(shí)＜0，
故D選項(xiàng)不成立；
故選：C．
8．（3分）已知，如圖，點(diǎn)C，D在⊙O上，直徑AB＝6cm，弦AC，BD相交于點(diǎn)E，若CE＝BC，則陰影部分面積為（）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
【分析】連接OD、OC，根據(jù)CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，進(jìn)而得出∠DOC＝90°，根據(jù)S陰影＝S扇形﹣S△ODC即可求得．
【解答】解：連接OD、OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝90°，
∴S陰影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．
故選：A．
9．（3分）如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點(diǎn)D在劣弧AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)E，設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則以下關(guān)系式成立的是（）
A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°
【分析】根據(jù)垂直定義可得∠COA＝∠AOB＝90°，從而可得∠COD＝90°﹣β，再利用對頂角相等可得∠OEB＝∠AED＝α，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠B＝90°﹣α，最后利用圓周角定理可得∠COD＝2∠B，從而可得90°﹣β＝2（90°﹣α），進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠COA＝∠AOB＝90°，
∵∠AOD＝β，
∴∠COD＝∠COA﹣∠AOD＝90°﹣β，
∵∠AED＝α，
∴∠OEB＝∠AED＝α，
∴∠B＝90°﹣∠OEB＝90°﹣α，
∵∠COD＝2∠B，
∴90°﹣β＝2（90°﹣α），
∴90°﹣β＝180°﹣2α，
∴2α﹣β＝90°，
故選：B．
10．（3分）已知二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是實(shí)數(shù)），設(shè)該函數(shù)最小值為k，下列說法正確的是（）
A．若2＜a＜3，2＜b＜3，則k＜0
B．若2＜a＜3，2＜b＜3，則0＜k＜1
C．若2＜a＜3，3＜b＜4，則k＜﹣3
D．若2＜a＜3，3＜b＜4，則k＞﹣3
【分析】利用拋物線解析式求得對稱軸，即可求得函數(shù)的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，然后根據(jù)a、b的取值，判斷|a﹣b|的值，從而判斷k的大?。?br>【解答】解：∵二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）的圖象向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是實(shí)數(shù)），
由二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是實(shí)數(shù)，且a≠b）可知對稱軸為直線x＝，
∴二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是實(shí)數(shù)）的對稱軸為直線x＝，
∴函數(shù)的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，
若2＜a＜3，2＜b＜3，則|a﹣b|＜1，
所以0＜k＜1，
若2＜a＜3，3＜b＜4，則|a﹣b|＜2，
所以﹣3＜k＜1，
故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤．
故選：B．
二.填空題（每題3分，共18分）
11．（3分）從，0，3這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)為無理數(shù)的概率是．
【分析】先確定無理數(shù)的個(gè)數(shù)，再由概率公式求解即可．
【解答】解：∵，0，3這三個(gè)數(shù)中，是無理數(shù)，
∴這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)為無理數(shù)的概率是，
故答案為：．
12．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足如表：
根據(jù)表格內(nèi)容，則m的值為 0 ．
【分析】由當(dāng)x＝﹣2和x＝0時(shí)，y值均為3，可得出拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，結(jié)合＝﹣1，可得出當(dāng)x＝1時(shí)y的值與當(dāng)x＝﹣3時(shí)y的值，此題得解．
【解答】解：∵當(dāng)x＝﹣2和x＝0時(shí)，y值均為3，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣1，
又∵＝﹣1，且當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝0，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝m＝0．
故答案為：0．
13．（3分）如圖所示，AD為⊙O的直徑，點(diǎn)B、C在圓上，∠B＝60°，則∠CAD＝ 30° ．
【分析】連接BD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ABD＝90°，繼而求出∠CBD的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求出∠CAD的度數(shù)．
【解答】解：如圖，連接BD，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAD＝∠CBD＝30°，
故答案為：30°．
14．（3分）一個(gè)袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們除顏色外，其他都相同．現(xiàn)將n個(gè)綠球（與紅、黃球除顏色外，其他都相同）放入袋中搖均勻，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述的過程，共摸了500次，其中60次摸到紅球．則估計(jì)n的值為 20 ．
【分析】根據(jù)已知可估計(jì)出模到紅球的概率，再利用概率公式計(jì)算即可．
【解答】解：根據(jù)已知可估計(jì)出模到紅球的概率為＝，
所以＝，解得n＝20，
故估計(jì)n的值為20．
故答案為：20．
15．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+a+1（a為常數(shù)，且a＜0）的圖象經(jīng)過P（x1，y1）、Q（3，y2），當(dāng)y1＞y2時(shí)，則x1的取值范圍為 ﹣7＜x1＜3 ．
【分析】根據(jù)y1＞y2及y＝ax2+4ax+a+1（a為常數(shù)，且a＜0）得到關(guān)于x1的不等式，進(jìn)一步得到關(guān)于x1的不等式組，解不等式組可得答案．
【解答】解：∵y1＞y2，
∴+4ax1+a+1＞9a+12a+a+1，
∴+4ax1﹣21a＞0，
∴a（x1+7）（x1﹣3）＞0，
∵a＜0，
∴（x1+7）（x1﹣3）＜0，
∴或，
∴﹣7＜x1＜3．
故答案為：﹣7＜x1＜3．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊在AB的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)I在DE上，以EF為直徑的圓交直線AB于點(diǎn)M，N．若I為DE的中點(diǎn)，AB＝5，則MN＝．
【分析】連接EC，F(xiàn)C，證明點(diǎn)E，C，F(xiàn)在同一條直線上，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線MN的垂線，垂足為R，T，設(shè)EF的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OK⊥MN于K，連接OM，證明△ABC和△AIE全等得BC＝IE，再根據(jù)點(diǎn)I為DE的中點(diǎn)得AC＝2BC，由此可得BC＝，AC＝2BC＝，進(jìn)而得EC＝，F(xiàn)C＝，則EF＝EC+FC＝，由此得OM＝，證明△ABC∽△EAR得AR＝4，同理可證△ABC∽△BFT得FT＝1，證明OK為梯形EFTR的中位線，則OK＝（ER+FT）＝，然后在Rt△OMK中由勾股定理求出MK＝，進(jìn)而可得MN的長．
【解答】解：連接EC，F(xiàn)C，
∵四邊形ACDE和四邊形BCGF均為正方形，
∴AC＝AE＝ED，∠ACE＝45°，∠CAE＝∠AED＝90°，BC＝BF，∠BCF＝45°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCF＝180°，
∴點(diǎn)E，C，F(xiàn)在同一條直線上，
過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線MN的垂線，垂足為R，T，設(shè)EF的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OK⊥MN于K，連接OM，如圖所示：
∵四邊形ABHI和四邊形BCGF均是正方形，
∴∠IAC＝90°，AB＝AI，∠CBF＝90°，BC＝BF，
∴∠BAC+∠CAI＝90°，
又∵∠IAE+∠CAI＝90°，
∴∠BAC＝∠IAE，
在△ABC和△AIE中，
，
∴△ABC≌△AIE（SAS），
∴BC＝IE，
∵點(diǎn)I為DE的中點(diǎn)，
∴ID＝IE，
∴AE＝ED＝2IE，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（2BC）2+BC2＝52，
∴BC＝，AC＝2BC＝，
在Rt△ACE中，AC＝AE＝，
由勾股定理得：EC＝＝，
在Rt△BFC中，BC＝BF＝，
由勾股定理得：FC＝＝，
∴EF＝EC+FC＝＝，
∵EF為⊙O的直徑，
∴OE＝OF＝OM＝，
∵∠CAE＝90°，ER⊥MN，
∴∠BAC+∠EAR＝90°，∠AER+∠EAR＝90°，
∴∠BAC＝∠AER，
又∵∠ACB＝∠R＝90°，
∴△ABC∽△EAR，
∴AC：ER＝AB：AE，
即：ER＝5：，
∴AR＝4，
同理可證：△ABC∽△BFT，
∴BC：FT＝AB：BF，
即：FT＝5：，
∴FT＝1，
∵ER⊥MN，F(xiàn)T⊥MN，OK⊥MN，點(diǎn)O為EF的中點(diǎn)，
∴OK為梯形EFTR的中位線，
∴OK＝（ER+FT）＝×（4+1）＝，
在Rt△OMK中，OM＝，OK＝，
由勾股定理得：MK＝＝，
∵點(diǎn)O為⊙O的圓心，OK⊥MN，
∴MN＝2MK＝．
故答案為：．
三.解答題（本大題共8題，共72分）
17．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；
（2）請你判斷點(diǎn)P（﹣2，3）是否在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上？
【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組求出a，b，得到此二次函數(shù)的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函數(shù)解析式計(jì)算，判斷即可．
【解答】解：（1）由題意得，，
解得，，
則二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴點(diǎn)P（﹣2，3）在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．
18．（8分）在一個(gè)不透明的盒子中，裝有3個(gè)分別寫有數(shù)字3，﹣5，7的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，攪拌均勻后，先從盒子里隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字后放回盒子，攪拌均勻后再隨機(jī)取出1個(gè)小球，再記下小球上的數(shù)字．
（1）用列表法或樹狀圖法中的一種方法，寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）求兩次取出的小球上數(shù)字的和是正數(shù)的概率．
【分析】（1）根據(jù)題意先畫出樹狀圖，得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；
（2）根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意畫圖如下：
所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有（3，3），（3，﹣5），（3，7），（﹣5，3）（﹣5，﹣5），（﹣5，7），（7，3），（7，﹣5），（7，7）共有9種；
（2）∵共有9種情況，兩次取出的小球上數(shù)字的和是正數(shù)有4種情況，
∴兩次取出小球上的數(shù)字相同的概率為．
19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）△ABC的外接圓的半徑為；
（2）將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1BC1，請?jiān)趫D中畫出△A1BC1；
（3）在（2）的條件下，求出點(diǎn)C經(jīng)過的路徑長．
【分析】（1）先利用勾股定理計(jì)算出BC，然后直角三角形的外切圓的半徑為BC的一半求解；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出A，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，C1即可；
（3）利用弧長公式計(jì)算弧長即可．
【解答】解：（1）AB＝2，AC＝3，BC＝＝，
所以△ABC的外接圓的半徑＝；
故答案為：；
（2）旋轉(zhuǎn)之后，如圖所示：
（3）CC1弧長L＝
＝π．
20．（8分）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點(diǎn)E．連接AB、OB、BC．
（1）求證：∠CBO＝∠ABD；
（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的長．
【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE；
（2）先根據(jù)垂徑定理得到BE＝DE，再計(jì)算出OB＝5，OE＝3，則利用勾股定理可計(jì)算出BE，從而得到BD的長．
【解答】（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
即∠ABD+∠CBD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABE；
（2）解：∵AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∵AE＝2，CE＝8，
∴AC＝10，
∴OB＝5，OE＝3，
在Rt△OBE中，BE＝＝4，
∴BD＝2BE＝8．
21．（8分）某農(nóng)場計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為x m（如圖），養(yǎng)殖場的總面積為ym2．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？
【分析】（1）根據(jù)題意可得，矩形養(yǎng)殖場的長為3x m，矩形養(yǎng)殖場的寬為（24﹣3x） m＝（8﹣x） m，從而養(yǎng)殖場的總面積為y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x，再結(jié)合墻的長度為10，可得0＜3x≤10，進(jìn)而可得自變量x的取值范圍；
（2）依據(jù)題意，由y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，從而當(dāng)x＜4時(shí)，y隨x的增大而增大，又0＜x≤，進(jìn)而由二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷得解．
【解答】解：（1）由題意，∵較小矩形的寬為x m，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，
∴較大矩形的寬為2x m．
∴矩形養(yǎng)殖場的長為3x m，矩形養(yǎng)殖場的寬為（24﹣3x） m＝（8﹣x） m．
∴養(yǎng)殖場的總面積為y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x．
∵墻的長度為10，
∴0＜3x≤10，
∴0＜x≤．
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x2+24x（0＜x≤）．
（2）由題意，∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∴當(dāng)x＜4時(shí)，y隨x的增大而增大．
又∵0＜x≤，
∴當(dāng)x＝時(shí)，y取最大值，最大值為：﹣3（﹣4）2+48＝．
答：當(dāng)x為時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為．
22．（10分）如圖1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D．
（1）若∠ECB＝120°，
①求所對圓心角的度數(shù)；
②連結(jié)DB，DA，求證：△ABD是等邊三角形．
（2）如圖2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面積．
【分析】（1）①利用鄰補(bǔ)角的意義和角平分線的定義解答即可；
②利用圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定定理解答即可；
（2）連接DO并延長交AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，利用圓周角定理，同圓的半徑相等的性質(zhì)得到△OAB為等腰直角三角形，可求OA＝OB＝；利用等腰三角形的判定定理和垂徑定理得到DH⊥AB，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得OH，再利用三角形的面積公式解答即可．
【解答】（1）①解：∵∠ECB＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝60°．
∴所對圓心角的度數(shù)＝2∠ACB＝120°；
②證明：∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，
∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB＝120°＝60°．
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠DAB＝60°，
∵∠ECD為圓內(nèi)接四邊形CABD的外角，
∴∠ABD＝∠ECD＝60°，
∵∠ADB＝ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠DAB＝∠ABD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形；
（2）解：連接DO并延長交AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，如圖，
則∠AOB＝2∠ADB＝2×45°＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝AB＝，
∴OD＝OA＝．
∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，
∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB，
∵∠ECD為圓內(nèi)接四邊形CABD的外角，
∴∠ABD＝∠ECD．
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴DA＝DB，
∴．
∴DH⊥AB．
∴AH＝DH＝1，
∴OH＝AB＝1，
∴DH＝OD+OH＝1．
∴△ABD的面積＝AB?DH＝2×（）＝．
23．（10分）設(shè)二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），求函數(shù)y的表達(dá)式及其圖象的對稱軸．
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)y的圖象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，且．求證：y1﹣y2＞0．
（3）若函數(shù)y的表達(dá)式可以寫成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，即可得到結(jié)論；
（2）在（1）的條件下，二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x+3，于是得到y(tǒng)1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4），由，得到﹣＜x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x2＜﹣＜0，于是得到結(jié)論；
（3）化簡y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m），求得b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1，當(dāng)m＝0時(shí)，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1，當(dāng)m＝2時(shí)，b+c＝m2﹣m﹣1＝1，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）解：由題意，二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過（1，0），（3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析y＝x2﹣4x+3，
∴拋物線對稱軸是直線x＝＝2；
（2）解：由題意，得y＝（x﹣h）2﹣3＝x2﹣2h+h2﹣3，
又∵y＝x2+bx+c，
∴b＝﹣2h，c＝h2﹣3
∴b+c＝h2﹣2h﹣3＝（h﹣1）2﹣4，
∴當(dāng)h＝1時(shí)，b+c的最小值是﹣4；
（2）證明：在（1）的條件下，二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x+3，
∴y1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4），
∵，
∴﹣＜x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x2＜﹣＜0，
∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，
即y1﹣y2＞0；
（3）解：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m），
∵b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1，
∴當(dāng)m＝0時(shí)，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1，
當(dāng)m＝2時(shí)，b+c＝m2﹣m﹣1＝1，
∴b+c的取值范圍為﹣＜a+b＜1．
24．（12分）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，G是上一點(diǎn)，AG，DC的延長線交于點(diǎn)F，作AH⊥DG于點(diǎn)H．
（1）求證：∠FGC＝∠AGD；
（2）若∠GDC＝30°，GC平分∠DGF，請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形并求出的值；
（3）猜想線段DH，HG，CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）連接AD，AC，利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（2）利用角平分線的定義，平角的定義得到∠AGD＝∠DGC＝∠FGC＝60°，則∠GDC+∠DGC＝30°+60°＝90°，DG為圓的直徑，GC⊥DF；利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到DG＝FG，∠GDC＝∠F＝30°，設(shè)⊙O的半徑為r，則DG＝FG＝2r，OA＝r，利用等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)分別求得△CGF和△AGH的底和高，再利用三角形的面積公式解答即可．
【解答】（1）證明：連接AD，AC，如圖，
∵四邊形ADCG為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠FGC＝∠ADC．
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠AGD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：由題意補(bǔ)全圖形如下：
∵GC平分∠DGF，
∴∠DGC＝∠FGC，
由（1）知：∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠DGC＝∠FGC＝60°，
∵∠GDC＝30°，
∴∠GDC+∠DGC＝30°+60°＝90°，
∴∠DCG＝90°，
∴DG為圓的直徑，GC⊥DF，
∴∠DCG＝∠FCG＝90°．
在△DCG和△FCG中，
，
∴△DCG≌△FCG（ASA），
∴DG＝FG，∠GDC＝∠F＝30°．
設(shè)⊙O的半徑為r，則DG＝FG＝2r，OA＝r，
∴GC＝FG＝r，
∴FC＝＝r．
∵CD⊥AB，∠GDC＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOG＝DOB＝60°，
∵OA＝OG，
∴△OAG為等邊三角形，
∵AH⊥OG，
∴OH＝GH＝OG＝r，
∴AH＝r，
∴＝＝＝4；
（3）解：線段DH，HG，CG之間的數(shù)量關(guān)系為DH＝HG+CG．理由：
在DG的延長線上截取GM＝GC，連接AD，AG，AM，如圖，
∵∠AGM＝∠DGF，∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGM＝∠DGC+∠FGC＝∠DGC+∠AGD＝∠AGC．
在△AGC和△AGM中，
，
∴△AGC≌△AGM（SAS），
∴AC＝AM．
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴，
∴AD＝AC，
∴AD＝AM，
∵AH⊥DG，
∴DH＝HM，
∴DH＝HG+GM＝HG+GC．x
?
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
3
4
3
m
…
x
?
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
3
4
3
m
…

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多