滿分：150分 時(shí)間：120分鐘 命題：高三數(shù)學(xué)備課組 審題：高三數(shù)學(xué)備課組
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.對(duì)于集合A，B，定義集合，已知集合，F(xiàn)={0,3,4,5}，則（ ）
A.{-1,0,2,3,4,5}B.{0,2,3,4,5}C.{-1,2,6}D.{-1,0,2,3,4}
2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（ ）
A.B.C.D.
3.若命題p：，，則命題p的否定為（ ）
A.，B.，
C.，D.，
4.已知直線和直線，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5.函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A.B.
C.D.
6.已知數(shù)列，中，，，，，若，則m=（ ）
A.4B.5C.6D.7
7.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時(shí)間t分鐘后的溫度T滿足，h稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度.若，現(xiàn)有一杯80℃的熱水降至75℃大約用時(shí)1分鐘，那么水溫從75℃降至45℃，大約還需要（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A.11分鐘B.10分鐘C.9分鐘D.8分鐘
8.已知函數(shù)，，若，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9，若，下列說法正確的是（ ）
A.若，則B.若，則
C.若，，則 D.若，則
10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（ ）
A.
B.在上單調(diào)遞減
C.的表達(dá)式可以寫成
D.若關(guān)于x的方程在上有且只有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則
11.如圖，正方體透明容器ABCD-A1B1C1D1的棱長為8，E，F(xiàn)，G，M分別為AA1，AD，CC1，A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱C1D1上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A.B1C⊥BN
B.向量在向量上的投影向量為
C.將容器的一個(gè)頂點(diǎn)放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，再向容器中注水，則注水過程中，容器內(nèi)水面的最大面積為
D.向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個(gè)
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則________.
13.已知橢圓C：，過左焦點(diǎn)F作直線l與圓M：相切于點(diǎn)E，與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為P，且，則橢圓離心率為________.
14.編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球，有放回地取三次，每次取一個(gè)，記m表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記n表示三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則m與n之差的絕對(duì)值不超過0.2的概率是________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（本小題13分）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，.
（1）求B；
（2）若，求△ABC的面積S取值范圍.
16.（本小題15分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.
（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
17.（本小題15分）如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC的中點(diǎn).
（1）證明：BC⊥DA；
（2）點(diǎn)F滿足，求平面ABD與平面ABF所成角的正弦值.
18.（本小題17分）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)F；
直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若過原點(diǎn)的直線m與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，求四邊形ACBD面積的最大值.
19.（本小題17分）n維向量是平面向量和空間向量的推廣，對(duì)n維向量，記，設(shè)集合.
（1）求，；
（2）（?。┣笾性氐膫€(gè)數(shù)；
（ⅱ）記，求使得成立的最大正整數(shù)n.
明德中學(xué)2025屆高三11月階段檢測(cè)（答案）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
8.【答案】B【詳解】∵，，，
∴，
令，，∴在R上單調(diào)遞增，
∴，即，∴，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，
∴，故選：B.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
11.解：由正方體性質(zhì)知：B1C⊥BC1，B1C⊥DC1且都在面ABC1D1內(nèi)，所以B1C⊥面ABC1D1，面ABC1D1，則B1C⊥BN，A對(duì)；
由題意EM//AB1且，若O是B1C，BC1交點(diǎn)，連接OG，
所以O(shè)G//BC//AF，，故AFGO為平行四邊形，則AO//FG且AO=FG，
所以EM，F(xiàn)G所成角，即為AB1，AO所成角，
由題設(shè)，易知，，，
在△AOB1中，即AB1，AO夾角為，
所以EM，F(xiàn)G夾角為，故向量在向量上的投影向量為
，B錯(cuò)；
令放在桌面上的項(xiàng)點(diǎn)為A，若AC1⊥桌面時(shí)正方體的各棱所在的直線與桌面所成的角都相等，
此時(shí)要使容器內(nèi)水的面積最大，即垂直于AC1的平面截正方體的截面積最大，
根據(jù)正方體的對(duì)稱性，僅當(dāng)截面過A1A1，BB1，BC，CD，DD1，A1D1中點(diǎn)時(shí)截面積最大，
此時(shí)，截面是邊長為的正六邊形，故最大面積為，C對(duì)；
由題意，第一層小球?yàn)?×8=64個(gè)，第二層小球?yàn)?×7=49，且奇數(shù)層均為64個(gè)，偶數(shù)層均為49，而第一層與第二層中任意四個(gè)相鄰球的球心構(gòu)成一個(gè)棱長為1的正四棱錐，故高為，假設(shè)共有n層小球，則總高度為，且n為正整數(shù)，
令，則，而，故小球總共有10層，由上，相鄰的兩層小球共有113個(gè)，所以正方體一共可以放113×5=565個(gè)小球，D錯(cuò).故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.170 13. 14.
14.解：因?yàn)榉呕氐某槿⌒∏?，所以基本事件總?shù)為，
設(shè)抽取的前兩個(gè)球的號(hào)碼為a，b，第三個(gè)球的號(hào)碼為c，
根據(jù)題意有，，則，
整理得，即，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為，，，3種情況；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為，，，，，，，，，9種情況；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為，，，，，，，，，9種情況；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為，，，3種情況；
綜上得，滿足條件的共有3+9+3+9=24，所以滿足條件的概率為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（本小題13分）
【答案】（1） （2）
解：（1）由，
由正弦定理，可得，
因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，所以，所以，
得，
因?yàn)?，所以，所?6分
（2）∵，故，
∴，
所以
，
因?yàn)?，所以?br>∴，∴，∴，
故△ABC的面積S的取值范圍為.13分
16.（本小題15分）
【答案】（1） （2）
解：（1）求導(dǎo)得，
令，則，∴，
∴，∴，
∴，即：.5分
（2）方法一，，
①當(dāng)時(shí)，左邊右邊，不等式顯然成立.
②當(dāng)時(shí)，
令，
當(dāng)時(shí)，，，∴，在上單調(diào)遞減
∴，∴.
③當(dāng)時(shí)，
令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
∴，∴
綜上：m的取值范圍為.15分
法二，令，∴，
令，所以恒成立，∴在上遞增.
①若，即對(duì)，
∴在單調(diào)遞減，∴，∴，
與矛盾，∴無解，舍去.
②若，即，
，，∴在上遞增
∴，∴.
故.
③若即：時(shí)，
使得，，即：
∴，
即：，
∵，∴，∴，∴，
∴，故綜上.
17.（本小題15分）
【答案】（1）證明見解析（2）
解：（1）連接AE，DE，
因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，DB=DC，所以DE⊥BC①，
因?yàn)镈A=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD與△ABD均為等邊三角形，
∴AC=AB，從而AE⊥BC②，
由①②，，AE，平面ADE，所以BC⊥平面ADE，
而平面ADE，所以BC⊥DA.6分
（2）不妨設(shè)，
∵BD⊥CD，∴BC=2，DE=1，
則，即AC⊥AB，則AE=1，
∴，∴AE⊥DE，
又∵AE⊥BC，，平面BCD
∴AE⊥平面BCD，
以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED，EB，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
可得，，，，
設(shè)平面ABD與平面ABF的一個(gè)法向量分別為，，
平面ABD與平面ABF所成角為，而，，
因?yàn)?，所以，即有?br>可得，取，所以；
又，取，所以；
所以，從而，
所以平面ABD與平面ABF所成角的正弦值為.15分
18.（本小題17分）
【答案】（1） （2）
解：點(diǎn)在橢圓上，即，
解得，，所以橢圓的方程為.4分
（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，
聯(lián)立可得則①
②，③
以AB為直徑的圓過原點(diǎn)即
化簡(jiǎn)可得，代入②③兩式，
整理得即
將④式代入①式，得恒成立則
設(shè)線段AB中點(diǎn)為M，由，由觀察可知，
，
又由，則C點(diǎn)坐標(biāo)為，
化簡(jiǎn)可得，代回橢圓方程可得即
即，
另外，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，AB方程為，直線CD過AB中點(diǎn)，即為x軸，
易得，，
綜上，四邊形ACBD面積的最大值為.17分
19.（本小題17分）
【答案】（1），
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解：（1）∵，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)所時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴.4分
（2）（?。┰O(shè)中元素的個(gè)數(shù)為，
∵，，
∴為偶數(shù)時(shí)，，且，
∴
，
∴中的元素個(gè)數(shù)為.9分
（ⅱ）①當(dāng)時(shí)，
；
②當(dāng)時(shí)，
；
③當(dāng)時(shí)，
；
……；
要使得成立，其必要條件是當(dāng)時(shí)，
，
令，則，
∴數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，
∴的解為；
當(dāng)時(shí)，，即充分性成立；
∴使得成立的最大正整數(shù).17分題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
A
A
B
B
B
題號(hào)
9
10
11
答案
BD
ABD
AC

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