滿分：150分 時間：120分鐘
命題：高三數(shù)學(xué)備課組 審題：高三數(shù)學(xué)備課組
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)為（ ）
A. 7B. 8C. 15D. 16
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則等于（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知向量，且，則等于（ ）
A. 5B. C. D.
4. 若，，則（ ）
A B. C. D.
5. 如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為（ ）

A. B. C. D.
6. 已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分又不必要條件
7. 已知函數(shù)和函數(shù)的圖象相交于三點，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ）
A. 為奇函數(shù)B. 若，則
C 若，則D. 若，則
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. “雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻.某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）近似服從正態(tài)分布.已知時，有，，.下列說法正確的是（ ）
A. 該地水稻的平均株高約為B. 該地水稻株高的方差約為100
C. 該地株高超過的水稻約占68.27％D. 該地株高低于的水稻約占99.87％
10 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時，有三個零點
B. 當(dāng)時，是的極大值點
C. 存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D. 存在a，使得點為曲線的對稱中心
11. 把一個三階魔方看成是棱長為1的正方體，若頂層旋轉(zhuǎn)（為銳角），記表面積增加量為，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 圖象關(guān)于直線對稱
C. 的最大值為D. 的最大值為
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______．
13. 若雙曲線（）的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為______.
14. 在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)為樣本空間，若事件兩兩互斥，，則對任意的事件，有．若甲盒中有2個白球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有個白球、3個紅球、2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且．
（1）求角A；
（2）求的取值范圍．
16. 已知橢圓的右頂點為，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線與橢圓交于另一點，若，求直線的方程．
17. 如圖，在三棱錐中，底面是正三角形，，側(cè)面底面分別為的中點．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
18. 已知函數(shù).
（1）若恒成立，求的最小值；
（2）求證：；
（3）已知恒成立，求的取值范圍．
19. 若數(shù)列的各項均為正數(shù)，對任意，有，則稱數(shù)列為“對數(shù)凹性”數(shù)列．
（1）已知數(shù)列1，3，2，4和數(shù)列1，2，4，3，2，判斷它們是否為“對數(shù)凹性”數(shù)列，并說明理由；
（2）若函數(shù)有三個零點，其中．
證明：數(shù)列為“對數(shù)凹性”數(shù)列；
（3）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，，記的前n項和為，，對任意三個不相等正整數(shù)p，q，r，存在常數(shù)t，使得．
證明：數(shù)列為“對數(shù)凹性”數(shù)列．

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