命題：新昌中學 趙洋 審題：富陽中學 李小平 桐鄉(xiāng)高級中學 李亮
考生須知：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準考證號并核對條形碼信息；
3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結束后，只需上交答題卷；
4.參加聯(lián)批學校的學生可關注“啟望教育”公眾號查詢個人成績分析.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 從兩位數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則它平方的個位數(shù)字為1的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函數(shù)，，且，則函數(shù)可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知雙曲線：，過點的直線與雙曲線交于，兩點.若點為線段的中點，則直線的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 設空間兩個單位向量，與向量的夾角都等于，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函數(shù)，，則方程的實根個數(shù)是（ ）
A. 2B. .3C. 4D. 5
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.
9. 若直線：與直線：平行，則實數(shù)可能（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 下列從總體中抽得樣本是簡單隨機抽樣的是（ ）
A. 總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機整數(shù).若或，則舍棄，重新抽取
B. 總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機整數(shù)，除以75的余數(shù)作為抽中的編號.若余數(shù)為0，則抽中75
C. 總體編號為6001～6879，在1～879之間產(chǎn)生隨機整數(shù)，把作為抽中的編號
D. 總體編號為1～712，用軟件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的編號
11. 已知橢圓：，直線：，（ ）
A. 若直線與橢圓有公共點，則
B. 若，則橢圓上的點到直線的最小距離為
C. 若直線與橢圓交于兩點，則線段的長度可能為6
D. 若直線與橢圓交于兩點，則線段的中點在直線上
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知雙曲線：，則雙曲線的離心率是______.
13. 已知圓：，直線，若直線與圓相切，則______.
14. 在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則四面體的外接球的表面積為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記的內角，，的對邊分別為，，，已知，
（1）求；
（2）過點作交于點，是的中點，連接.若，求的長度.
16. 已知點與點關于直線：對稱，圓：（），圓的半徑為，且圓與圓交于，兩點.
（1）求的取值范圍；
（2）當時，求的面積.
17 如圖，四棱錐中，底面，，，，.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
18. 已知圓：，點，點是圓A上任意一點.線段的垂直平分線和半徑相交于點，與圓A交于，兩點，則當點在圓A上運動時，
（1）求點的軌跡方程；
（2）證明：直線是點軌跡切線；
（3）求面積的最大值.
19. 如圖，，，垂足分別為，，異面直線，所成角為，，點，點分別是直線，上的動點，且，設線段的中點為.

（1）求異面直線與所成的角；
（2）求的取值范圍；
（3）求四面體的體積的最大值.2024學年第一學期浙江省9+1高中聯(lián)盟高二年級期中考試
數(shù)學
命題：新昌中學 趙洋 審題：富陽中學 李小平 桐鄉(xiāng)高級中學 李亮
考生須知：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準考證號并核對條形碼信息；
3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結束后，只需上交答題卷；
4.參加聯(lián)批學校的學生可關注“啟望教育”公眾號查詢個人成績分析.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別解指數(shù)不等式和二次不等式得到集合，再由集合交集的定義得到結果.
【詳解】解，∴，則，
解，∴，則，
∴.
故選：B
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算求解.
【詳解】由，則，
可得.
故選：C.
3. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由向量垂直得到向量數(shù)量積為0，建立方程，解得的值.
【詳解】∵，∴，∴.
故選：A.
4. 從兩位數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則它的平方的個位數(shù)字為1的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意找出個位數(shù)字為1或9的總個數(shù)除以兩位數(shù)的總個數(shù)即可得出結果.
【詳解】兩位數(shù)的平方個位數(shù)字為1的數(shù)字需滿足個位數(shù)字為1或9，這樣的兩位數(shù)字共個；
兩位數(shù)共有個，
所以它的平方的個位數(shù)字為1的概率是.
故選：D.
5. 已知函數(shù)，，且，則函數(shù)可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可先得到和，再代入得到，由選項解析式代入化簡，得到結論.
【詳解】由題意得：，
∵，∴，
∴，
若，則，舍去；
若，則，舍去；
若，則，成立；
若，則，舍去.
故選：C.
6. 已知雙曲線：，過點的直線與雙曲線交于，兩點.若點為線段的中點，則直線的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】運用點差法，設，代入雙曲線方程，作差變形，由是線段AB的中點，求得直線的斜率，再用點斜式可得直線方程.
【詳解】設，代入雙曲線方程，
可得，作差，
因為點為線段的中點，所以
所以，即，
所以直線的方程是，即，
經(jīng)檢驗，直線滿足題意.
故選：A.
7. 設空間兩個單位向量，與向量的夾角都等于，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】我們先根據(jù)已知條件求出的值，再利用向量夾角公式求出.
【詳解】已知向量是單位向量，則，即，
因為向量與的夾角為，根據(jù)向量夾角公式可得：
，即，
聯(lián)立方程，將代入可得：
，解得，
當時，；當時，，
因為向量是單位向量，則，即，
又因為向量與的夾角為，根據(jù)向量夾角公式可得：
，即，
聯(lián)立方程，將代入可得：
，解得，
當時，；當時，，
根據(jù)向量夾角公式，，
當時，；當時，，
所以.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，，則方程的實根個數(shù)是（ ）
A. 2B. .3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】作出函數(shù)的草圖，數(shù)形結合，分析兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)，可得方程實根的個數(shù).
【詳解】如圖：
函數(shù)在上單調遞增，且，.
在上，因為，
，，
所以方程在上有1解；
又，所以是方程的1解；
又，，
所以方程在上有1解；
當時，由圖可知，恒成立，
所以1,+∞上，方程無解.
所以方程實根的個數(shù)為：3.
故選：B
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.
9. 若直線：與直線：平行，則實數(shù)可能為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】兩直線平行的條件：對于直線和直線，若兩直線平行，則，且或者.我們先根據(jù)求出可能的值，再檢驗是否滿足后面的條件.
【詳解】對于直線和直線.
由可得：,解得或者.
當時：直線，直線.
此時，兩直線平行.
當時：直線，直線.
此時，兩直線平行.
故選：BC.
10. 下列從總體中抽得的樣本是簡單隨機抽樣的是（ ）
A. 總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機整數(shù).若或，則舍棄，重新抽取
B. 總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機整數(shù)，除以75的余數(shù)作為抽中的編號.若余數(shù)為0，則抽中75
C. 總體編號為6001～6879，在1～879之間產(chǎn)生隨機整數(shù)，把作為抽中的編號
D. 總體編號為1～712，用軟件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的編號
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)抽中的可能性是否相等依次判斷每個選項得到答案.
【詳解】對于A：總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機整數(shù).若或，則舍棄，重新抽取，
則編號為1~75可能被抽中，被抽中的可能性相同，故A正確；
對于B：總體編號為1～75，在0～99之間產(chǎn)生隨機整數(shù)，除以75的余數(shù)作為抽中的編號.若余數(shù)為0，
則抽中75.因為1~24，75號與25~74號抽中的可能性不同，所以不是簡單隨機抽樣，故B錯誤；
總體編號為6001~6879，在1~879范圍內產(chǎn)生一個隨機整數(shù)，把作為抽中的編號.
每個編號抽中的可能性相同，所以是簡單隨機抽樣，故C正確；
由R軟件的簡單統(tǒng)計功能，“sample（1:712，50，replace＝F”）表示在區(qū)間內隨機產(chǎn)生50個不重復隨機整數(shù)，
故每個編號抽中的可能性相同，故D正確
故選：ACD
11. 已知橢圓：，直線：，（ ）
A. 若直線與橢圓有公共點，則
B. 若，則橢圓上的點到直線的最小距離為
C. 若直線與橢圓交于兩點，則線段的長度可能為6
D. 若直線與橢圓交于兩點，則線段的中點在直線上
【答案】ABD
【解析】
【分析】可設橢圓上的點為，結合三角函數(shù)有界性分析判斷AB；對于C：結合橢圓性質分析判斷；對于D：利用點差法分析判斷.
【詳解】由橢圓方程可知：，且焦點在x軸上，設橢圓上的點為.
對于選項A：若直線與橢圓有公共點，則存在點在直線上，
則，可得，故A正確；
對于選項B：若，則直線：，
可得點到直線距離為
，
所以橢圓上的點到直線的最小距離為，故B正確；
對于選項C：橢圓的最長弦長為長軸長，
但直線不可能與y軸重合，所以，故C錯誤；
對于選項D：設Ax1,y1,Bx2,y2，線段的中點為Mx,y，
則，，
因為在橢圓上，則，
兩式相減可得，整理可得，
即，可得，則，
可知點Mx,y在直線上，即線段的中點在直線上，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知雙曲線：，則雙曲線的離心率是______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用雙曲線方程求出實半軸長、半焦距，進而求出離心率.
【詳解】雙曲線：的實半軸長，虛半軸長，
則半焦距，所以雙曲線的離心率.
故答案為：
13. 已知圓：，直線，若直線與圓相切，則______.
【答案】9或
【解析】
【分析】由圓心到直線的距離等于半徑可得．
【詳解】由得圓心，半徑，
因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
由點到直線的距離得，解得，故或.
故答案為：9或
14. 在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則四面體的外接球的表面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】以為坐標原點，，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，根據(jù)，，，到球心距離等于半徑，求出半徑，得到四面體的外接球的表面積
【詳解】以為坐標原點，，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖
設四面體的外接球的球心為，半徑為.
因為，，，，
所以解得，，
故四面體的外接球的表面積為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記的內角，，的對邊分別為，，，已知，
（1）求；
（2）過點作交于點，是的中點，連接.若，求的長度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解即可；
（2）解直角三角形得出，再由中線的向量形式平方即可得解.
【小問1詳解】
由題意可知，，
由，故，
故，又，
所以，.
【小問2詳解】
如圖，，
由（1）可知，，則，，
故，
因為 ，
所以，
所以，即的長度為.
16. 已知點與點關于直線：對稱，圓：（），圓的半徑為，且圓與圓交于，兩點.
（1）求的取值范圍；
（2）當時，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出點關于直線的對稱點為，得到圓方程，再利用兩圓位置關系得到關于的不等式組，解之即可得解；
（2）先求出當時圓的圓心與半徑，從而分析得是以為頂點的等腰三角形，進而利用三角形面積公式即可得解.
【小問1詳解】
設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
故圓為，
因為圓與圓交于，兩點，
所以，
解得.
【小問2詳解】
當時，圓：，：，
故是以為頂點的等腰三角形，
由（1）可知，，
所以邊上的高為，
所以的面積為.
17. 如圖，四棱錐中，底面，，，，.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形為矩形.再得到，運用線面平行判定可解.
（2）求出兩個面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.
【小問1詳解】
因為平面，平面ABCD ，所以，，
由，，得；
在中，，所以為正三角形，
過作的垂線，垂足為，，有，，
所以四邊形為矩形.
故，平面.平面，所以平面.
【小問2詳解】
以為原點，，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A0,0,0，，，，.
設平面，的法向量分別為m=x,y,z，n=a,b,c.
，，，
，得，解得；
，得，解得；
設平面與平面的夾角大小為，
則.
故平面與平面的夾角的余弦值為.
18. 已知圓：，點，點是圓A上任意一點.線段的垂直平分線和半徑相交于點，與圓A交于，兩點，則當點在圓A上運動時，
（1）求點的軌跡方程；
（2）證明：直線是點軌跡的切線；
（3）求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設得到，結合橢圓定義寫出軌跡方程即可.
（2）設求出直線l的方程，然后與橢圓聯(lián)立消元，通過判別式等于零得方程有兩個相等的根即可，
（3）根據(jù)面積公式列出關于的表達式，然后根據(jù)的有界性求出最值即可
【小問1詳解】
由線段的垂直平分線的性質可知，，
故，
所以點在以點A，為焦點的橢圓上，
其中橢圓的長軸長為8，焦距為AB=4，短軸長，
故點的軌跡方程為：.
【小問2詳解】
設，
則有：，
將代入橢圓：消去整理得
，
故，
即
所以，直線是點軌跡的切線；.
【小問3詳解】
由（2）可知，點到直線的距離為
，
點A到直線距離為
，
故線段，
所以的面積為
，
當且僅當時，等號成立，
所以當時，的面積的最大值為.
19. 如圖，，，垂足分別為，，異面直線，所成角為，，點，點分別是直線，上的動點，且，設線段的中點為.

（1）求異面直線與所成角；
（2）求的取值范圍；
（3）求四面體的體積的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）過點作的平行線，過點作的平行線交于點，可得是異面直線與所成的角，再根據(jù)幾何關系求解即可；
（2）思路一：建立空間直角坐標系，求出點的軌跡，進而可得的取值范圍；
思路二：由空間向量的線性運算可得，進而可得范圍.
（3）先求得，思路一：設，，根據(jù)基本不等式求得，范圍，進而可得最大值.
思路二：直接根據(jù)結合基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
如圖，過點作的平行線，過點作的平行線交于點，

則有是異面直線與所成的角或其補角.
因為，，
所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
因為，，
所以，所以，，
所以異面直線與所成的角為.
【小問2詳解】
如圖，過的中點分別作，的平行線，，
以為坐標原點，的外角平分線、內角平分線分別為軸，軸，
過點并且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系.

由題意可知，，設,，
則，，
從而，且.
所以.
思路一：因為，，，
所以，，
所以，即.
所以點的軌跡是橢圓（長軸長為6，短軸長為2），其軌跡方程為.
點，所以.
思路二：設在，上的投影分別為，則且，
則、分別為平行四邊形的兩條對角線，則為中點.
故，
可得
，
因為，則，所以.
【小問3詳解】
由題意異面直線，所成角為，則到平面的距離，
故，

思路一：不妨設，，
則，
故，
從而，此時.
思路二：因為，
故，
從而，此時，.

相關試卷

2025浙江省金磚聯(lián)盟高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題含解析：

這是一份2025浙江省金磚聯(lián)盟高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題含解析，文件包含浙江省金磚聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題含解析docx、浙江省金磚聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題無答案docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共27頁， 歡迎下載使用。

2024浙江省91高中聯(lián)盟高三下學期3月高考模擬卷數(shù)學PDF版含解析：

這是一份2024浙江省91高中聯(lián)盟高三下學期3月高考模擬卷數(shù)學PDF版含解析，共10頁。

浙江省91高中聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（Word版附解析）：

這是一份浙江省91高中聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（Word版附解析），共23頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2022-2023學年浙江省91高中聯(lián)盟高一下學期期中數(shù)學試題含解析

2022-2023學年浙江省91高中聯(lián)盟高一下學期期中數(shù)學試題含解析
浙江省91高中聯(lián)盟2022-2023學年高二數(shù)學下學期期中試題（Word版附解析）

浙江省91高中聯(lián)盟2022-2023學年高二數(shù)學下學期期中試題（Word版附解析）
浙江省91高中聯(lián)盟2022-2023學年高二數(shù)學上學期期中試題（Word版附解析）

浙江省91高中聯(lián)盟2022-2023學年高二數(shù)學上學期期中試題（Word版附解析）
2022屆浙江省91高中聯(lián)盟高三上學期期中考試數(shù)學試題含答案

2022屆浙江省91高中聯(lián)盟高三上學期期中考試數(shù)學試題含答案
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部