數(shù) 學(xué)
滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘
一、選擇題（本題有 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）
1. 已知 ，則 的化簡(jiǎn)結(jié)果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的定義可得 ，即 ，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)，求解即可．
【詳解】解：由題意可得： ，
∴
∵
∴
∴ ，
故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的有關(guān)性質(zhì)．
2. 有以下關(guān)于 的等式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，其中 是 的
函數(shù)的有（ ）
A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
函數(shù)的概念：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量 x 和 y，如果對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值
與之對(duì)應(yīng)，那么就稱 y 是 x 的函數(shù)，x 叫做自變量，根據(jù)函數(shù)的概念分析即可．
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【詳解】解：（1） ，則 ，對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，
是 的函數(shù)；
（2） ，對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 的值不唯， 不是 的函數(shù)；
（3） ，對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 的值不唯， 不是 的函數(shù)；
（4） ，對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)， 是 的函數(shù)；
綜上所述， 是 的函數(shù)的有（1），（4），共 2 個(gè)，
故選：B ．
3. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，掌握銳角三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)銳角三角函數(shù)的計(jì)算得到 ，將原式的分子、分母同時(shí)除以 ，再代入求值即可．
【詳解】解：∵ ，
∴ ，
故選：B ．
4. 如圖，一枚棋子在正方體 的棱上移動(dòng)，從每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都等可能地移到和它相鄰的
三個(gè)頂點(diǎn)中的任何一個(gè)．若棋子的初始位置為點(diǎn) ，則移動(dòng)三次后到達(dá)點(diǎn) 的概率為（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求隨機(jī)事件的概率，掌握畫樹狀圖或列表法的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
畫樹狀圖或列表法把所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【詳解】解：畫樹狀圖或列表法把所有等可能結(jié)果表示如下，
∴共有 種等可能結(jié)果，其中移動(dòng)三次后到達(dá)點(diǎn) 的有 種，
∴移動(dòng)三次后到達(dá)點(diǎn) 的概率為 ，
故選：C ．
5. 直線 與 軸交于點(diǎn) ，與函數(shù) 在第一象限的圖象交于 兩點(diǎn)，若 ，則
（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】如圖所示，過點(diǎn) B 作 于 E，過點(diǎn) C 作 于 F，設(shè)直線 與 x 軸的交點(diǎn)
為 G，先求出 ，得到 ， ，同理可得 ，再聯(lián)立
得 ，則 ，由此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn) B 作 于 E，過點(diǎn) C 作 于 F，設(shè)直線 與 x 軸的
交點(diǎn)為 G，
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∵A、G 分別是直線 與 y 軸，x 軸的交點(diǎn)，
∴A 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，G 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
設(shè) B 點(diǎn)坐標(biāo) ，C 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
聯(lián)立 得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的
性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線求解．
6 已知函數(shù) ，滿足 ，則 （ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
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【解析】
【分析】本題考查了求函數(shù)值，根據(jù) 得出方程組，進(jìn)而根據(jù)加減消元法得出
之間的故選，進(jìn)而求根據(jù) ，即可求解．
【詳解】解：
，得 ，
，得 ，
，得 ，
代入 ，得 ，
把 代入 ，
得 ．
故選：D．
7. 如圖，在 中， 為 的中點(diǎn)， 為 靠近點(diǎn) 的三等分點(diǎn)， 與 交
于點(diǎn) ．過點(diǎn) 作 內(nèi)角平分線的平行線交 于點(diǎn) ，則 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線截線段成比例的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
如圖，過點(diǎn) 作 的平分線，交 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 ，交 于點(diǎn) ，可得，
， ， ， ，由此得到 ，
，根據(jù) ，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn) 作 的平分線，交 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 ，交 于點(diǎn) ，
∴ ，
∵ 為 中點(diǎn)，
，
∴ ，
∵ 為靠近點(diǎn) 的三等分點(diǎn)，
，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴點(diǎn) 到 的距離相等，
，
，
，
，
，
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，
，
故選：B．
8. 已知 為實(shí)數(shù)，設(shè) ，（ 表示 中
的最大值），則 的最小值是（ ）
A. B. 673 C. 1346 D. 2019
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，由題意得， ①， ②， ⑤，再
相加可得答案．
【詳解】解： ，
①， ②， ③， ④，
為任意實(shí)數(shù)，
，
⑤，
①+②+⑤，得 ，
，
∴ 的最小值是 ．
故選：A．
9. 如圖，三棱錐 的各棱長(zhǎng)均為 1，點(diǎn) 分別在棱 上，則
的最小值是（ ）
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A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得，三棱錐每個(gè)面都是等邊三角形，將三棱錐 中含有 的三個(gè)面
（即 ）展開如圖，作點(diǎn) 關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn) ，連接 交 于點(diǎn) ，連接
交 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，連接 交 于點(diǎn) ，得到 的最小
值為 ，由等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算，勾股定理得到 ，
，由此即可求解．
【詳解】解：由題意得，三棱錐每個(gè)面都是等邊三角形，將三棱錐 中含有 三
個(gè)面（即 ）展開如圖，作點(diǎn) 關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn) ，連接 交 于點(diǎn) ，連接
交 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，連接 交 于點(diǎn) ，
∴ 的最小值為 ，
∵ ， ， ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值為 ，
故選： ．
【點(diǎn)睛】本題屬于求多條線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑，特殊角的三角函數(shù)
值的計(jì)算，勾股定理的運(yùn)用，解此類題的基本思路是將所求的多條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上或同一平面圖形
內(nèi)求解，解本題的關(guān)鍵是將含有所求四條線段的三個(gè)面展開再求解，對(duì)空間想象力有一定的要求．
10. 在 1，2，3，…，2019 中，可以表示為 （ 表示不超過實(shí)數(shù) 的最大整數(shù)）的形式的數(shù)有（
）
A. 980 個(gè) B. 988 個(gè) C. 990 個(gè) D. 998 個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查新定義，整式的混合運(yùn)算，理解新定義的含義，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的
關(guān)鍵．
根據(jù)題意，令 ，則 ，所以 均可表示為
的形式，再根據(jù)當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，即可求解．
【詳解】解：令 ，則 ，
，
均可表示為 的形式，
當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
∴在 中，可以表示為 的形式的數(shù)有 （個(gè)），
故選：C．
二、填空題（本題有 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）
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11. 不等式 的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，求不等式組的解集，掌握絕對(duì)值的非負(fù)性，不等式的性質(zhì)是解題的
關(guān)鍵．
根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得到 ， ，則 ，所以原式化簡(jiǎn)得 ，由此得到
，根據(jù)不等式組的取值方法即可求解．
【詳解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得， ，
∴原不等式化簡(jiǎn)為 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即原不等式的解是 ，
故答案為： ．
12. 已知關(guān)于 的方程 的兩個(gè)根 滿足 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，求不等式的解集，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)
的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)根的判別式得到 ，由不等式的性質(zhì)解得， 或 ，令
，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，得 ，
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整理，得 ，
∴ 或 ，
令 ，則該函數(shù)圖象開口向上，
又 ，
∴當(dāng) 時(shí)， ，
解得 ，
綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ，
故答案為： ．
13. 甲、乙、丙、丁，戊五位同學(xué)排成一排，甲不能站在排頭和排尾，乙和丙至少有一人與甲相鄰，則滿足
條件的排法數(shù)為_______．
【答案】60
【解析】
【分析】本題考了查排列與組合問題，排列與組合問題常用方法∶特殊元素特殊位置優(yōu)先分析；相鄰元素
捆綁法；不相鄰插空法；逆向分析法．
由于甲不能站在排頭和排尾，得到排頭有 4 種情況后，排尾有 3 種情況，則第 2 有 3 種情況，第 3 有 2 種
情況，第 4 有 1 種情況，根據(jù)排列組合公式可得排法數(shù)；由于乙和丙至少有一人與甲相鄰，當(dāng)甲第 2 時(shí)，
乙和丙排第 4 和排尾，根據(jù)排列組合公式可得排法數(shù)；當(dāng)甲第 3 時(shí)，乙和丙排排頭和排尾，根據(jù)排列組合
公式可得排法數(shù)；當(dāng)甲第 4 時(shí)，乙和丙排排頭和第 2，根據(jù)排列組合公式可得排法數(shù)；用前面的排法數(shù)減去
后面 3 種情況的排法數(shù)數(shù)即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，得甲只能排在中間 3 個(gè)位置．
①甲排在第二位．當(dāng)乙排在第一位或第三位時(shí)，丙，丁，戊三人可以隨意排，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為
；當(dāng)丙排在第一位或第三位時(shí)，同理可得，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為 ；在甲排在第二
位時(shí)，滿足條件的 24 種排法里有 4 種相同的排法，
此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為 ．
②甲排在第三位．同理易得，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為 ．
③甲排在第四位．同理易得，此時(shí)滿足條件的排法數(shù)為 ．
綜上，滿足條件的排法數(shù)為 ．
故答案 ∶60．
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14. 當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，熟練掌握絕對(duì)值不等式的
解法，二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
先運(yùn)算絕對(duì)值不等式得到或 或 ，再分別求出兩個(gè)不等式中 的取值范圍即可．
【詳解】解： ，
或 ，
整理，得 或 ，
當(dāng) 恒成立時(shí)，即對(duì)應(yīng)的二次函數(shù) 在 范圍內(nèi)在 軸上方，
∵二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為直線 ，
∴ ，
，
當(dāng) 恒成立，即 時(shí)，
，
，
，
綜上所述，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 或 ，
故答案為： 或 ．
15. 已知 為 內(nèi)一點(diǎn)，滿足 ， ， ， ，則
______．
【答案】 ##8 度
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌
握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
作 的外接圓 ，延長(zhǎng) 交圓 于點(diǎn) ，連接 ，
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【詳解】解：如圖，作 的外接圓 ，延長(zhǎng) 交圓 于點(diǎn) ，連接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案為： ．
16. 已知 a，b，c 為整數(shù)，滿足 ， ，則 的最小值
是_______．
【答案】2116
【解析】
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是利用因式分解把已知和所求整式變形．根據(jù)
已知條件把已知和所求式子進(jìn)行整理變形，即可解答．
【詳解】解： ．
， ， ，
，
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可因式分解，變?yōu)?，
同理 ，
，
原式
，
故 為一個(gè)平方數(shù)，
且 ， ， 為整數(shù)，
， ， 至少有一個(gè)是偶數(shù)，于是 為偶數(shù)，
，
．
故答案為：2116．
三、解答題（本題有 5 小題，共 80 分）
17. 解方程組：
【答案】 或
【解析】
【分析】本題考查了三元二次方程組的解法，解題關(guān)鍵是先利用平方差公式結(jié)合等量代換令 ，
， ，將式子變換為 ，再熟練運(yùn)用消元法把三元化為二元，再解二
元一次方程組，即可解題．
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【詳解】解： ，
由①，得 ，
由②，得 ，
由③，得 ．
令 ， ， ，
則 ，
解得 或 ，
或 ，
整理得 或 ，
解得 或 ．
18. 如圖，在 中， 于點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，過 作 交直線 于
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點(diǎn) ．求證： ．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是
解答的關(guān)鍵．
過點(diǎn) 作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，延長(zhǎng) 交 于點(diǎn) ，證明 ，
得到 ．證明 ， ，得到 ，從而 ．證
明 ，得到 ，因此 ，得證 ．
【詳解】證明：如圖，過點(diǎn) 作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，延長(zhǎng) 交 于點(diǎn) ，
則
∵M(jìn) 為 的中點(diǎn)，
．
，
∴ ．
在 和 中，
，
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，
．
，
，
．
又 ，
，
．
，
．
，
，
，
，
∴ ．
19. 如圖，已知 是拋物線 上的四個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）試用 表示直線 的解析式．
（2）已知 過點(diǎn) 過點(diǎn) 過點(diǎn) ．
①證明： 三點(diǎn)共線．
②若點(diǎn) 在第一象限，且 ，求直線 的解析式．
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【答案】（1）
（2）①見解析；②
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與幾何綜
合，解題的關(guān)鍵是會(huì)用待定系數(shù)法求得直線的解析式．
（1）先表示出 ，然后利用待定系數(shù)法求得直線 AB 的解析式；
（2）①先利用待定系數(shù)法求得直線 ，直線 ，直線 的解析式，然后將點(diǎn) E，F(xiàn)，G 分別代入直線
，直線 ，直線 的解析式，得到 和 ， 和 ， 和 之間的數(shù)量關(guān)系，然后化簡(jiǎn)得到直
線 AC 的解析式，再令 求得與 y 軸的交點(diǎn)，得證 A，F(xiàn)，C 三點(diǎn)共線；
②過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，先由點(diǎn) D 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)得到點(diǎn) M
和點(diǎn) N 的坐標(biāo)，然后得到 和 的長(zhǎng)，進(jìn)而得到 和 的面積，再由 列出
方程得到 的值，最后代入直線 的解析式．
【小問 1 詳解】
解： 點(diǎn) 都在拋物線 上，
．
設(shè)直線 的解析式為 ，則
解得 ，
；
【小問 2 詳解】
①證明：由（1）得，直線， 的解析式為 ，
同理可得，直線 的解析式為 ，直線 的解析式為 ，直線
的解析式為 ，
∵點(diǎn) 分別在 上，
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∴
在 中，
當(dāng) 時(shí)， ，
∴直線 經(jīng)過點(diǎn) ，即 三點(diǎn)共線．
②解：如圖，過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ．
由①，得直線 的解析式為 ，
又
， ，
， ，
， ．
，
，
，
，
．
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點(diǎn) 在第一象限，
∴直線 的解析式為 ．
20. 小明將 枚硬幣任意擺放在圖中的點(diǎn)上（每個(gè)點(diǎn)的硬幣個(gè)數(shù)不限，可以為 ）．
（1）對(duì)于圖 定義一次“操作”：從一個(gè)至少有 2 枚硬幣的點(diǎn)取走 枚硬幣，并分別在與此點(diǎn)相鄰的點(diǎn)上
各放置 枚硬幣．對(duì)小明的每種擺法，若點(diǎn) 處無硬幣，則總能經(jīng)過若干次該“操作”，使點(diǎn) 處有硬幣，
求 的最小值．
（2）對(duì)于圖 定義一次“操作”：從一個(gè)至少有 枚硬幣的點(diǎn)取走 枚硬幣，若該點(diǎn)有兩個(gè)相鄰點(diǎn)，就分
別在每個(gè)相鄰的點(diǎn)處各放置 枚硬幣；若該點(diǎn)只有一個(gè)相鄰點(diǎn)，就只在該相鄰點(diǎn)處放置 枚硬幣．對(duì)小明的
每種擺法，若點(diǎn) 處無硬幣，則總能經(jīng)過若干次該“操作”，使點(diǎn) 處有硬幣，求 的最小值．
【答案】（1）最小值 ；
（2）最小值為 ．
【解析】
【分析】（ ）根據(jù)最終的平衡狀態(tài)可以確定最小值即可；
第 20頁/共 24頁
（ ）根據(jù)最終的平衡狀態(tài)可以確定最小值即可；
本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)每個(gè)點(diǎn)上最多有一個(gè)點(diǎn)得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．
【小問 1 詳解】
解：當(dāng) 時(shí)，不滿足題意，
∴ ，
不妨設(shè) ，
當(dāng)點(diǎn) 或點(diǎn) 處有 枚硬幣時(shí)，則經(jīng)過一次“操作”就能使點(diǎn) 處有硬幣；
當(dāng)點(diǎn) ， 處的硬幣數(shù)小于或等于 枚時(shí)，由對(duì)稱性有如圖 ， 種情況（其中字母邊上的數(shù)字代表
該點(diǎn)處初始狀態(tài)的硬幣數(shù)），
經(jīng)驗(yàn)證，經(jīng)過若干次“操作”總能使點(diǎn) 處有硬幣，
第 21頁/共 24頁
∴ 的最小值為 ；
【小問 2 詳解】
解：當(dāng) 處有 枚硬幣時(shí)，經(jīng)過一次“操作”就能使 處有硬幣，
當(dāng)初始狀態(tài) ， 處都沒有硬幣時(shí)， 處至少要有 枚硬幣，才能使得 處有 枚硬幣，
當(dāng)初始狀態(tài) ， 處都沒有硬幣時(shí)，
經(jīng)如圖 ， 檢驗(yàn)（相應(yīng)的數(shù)字代表每次“操作”后的硬幣數(shù)），
當(dāng) 處有 枚硬幣時(shí)，符合題意．
∴ 的最小值為 ．
21. 如圖所示，在△ABC 中， 是邊 CA 上的兩點(diǎn)，連接 BD，BG．過點(diǎn) A，G 分別作 BD
的垂線，垂足分別為 E，F(xiàn)，連接 CF．若 BE＝EF，求證： ．
【答案】見解析
【解析】
【分析】過點(diǎn) G 作 GM⊥AB 于點(diǎn) M，設(shè) AE 與 BG 的交點(diǎn)為 K，連 KM．根據(jù) AE∥GF，可得 ，
再由 BE=EF，可得 BK=GK，從而得到 ，BK=KG=MK，進(jìn)而得到∠ABG=∠BMK，再由
， ，可得 ，然后根據(jù) MG∥BC，
第 22頁/共 24頁
可得 ，從而得到 ，可證得△KAM∽△CBF，從而得到∠AMK=∠CFB，即
可求證．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn) G 作 GM⊥AB 于點(diǎn) M，設(shè) AE 與 BG 的交點(diǎn)為 K，連 KM．
∵AE⊥BD，GF⊥BD，
∴AE∥GF，
∴ ，
∵BE=EF，
∴BK=GK，
∴ ，
∵M(jìn)G⊥AB，
∴BK=KG=MK，
∴∠ABG=∠BMK，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠ABC=90°，
∴MG∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第 23頁/共 24頁
∴ ，
∵∠ABE+∠KAB=90°，∠ABE+∠CBD=90°，
∴∠KAB=∠CBD，
∴△KAM∽△CBF，
∴∠AMK=∠CFB，
∴∠BMK=∠CFD，
∴∠ABG=∠DFC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判
定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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