2023年廣東省廣州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考二模數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 下列四個(gè)數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，根據(jù)定義解答．
【詳解】解：屬于有理數(shù)；、、都屬于無(wú)理數(shù)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的定義，熟記定義并正確區(qū)分有理數(shù)與無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2. 單項(xiàng)式的次數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)定義，即單項(xiàng)式所含字母的指數(shù)和為單項(xiàng)式的次數(shù)，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的次數(shù)為：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式次數(shù)的定義，熟練掌握和運(yùn)用單項(xiàng)式次數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．
3. 若正數(shù)的兩個(gè)平方根是與，則為（）
A. 0B. 1C. D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)即可求解．
【詳解】解：∵正數(shù)的兩個(gè)平方根是與，
∴，
解得：，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根，掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4. 下列運(yùn)算正確的是（）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義，積的乘方的計(jì)算法則，完全平方公式，實(shí)數(shù)的計(jì)算分別解答．
【詳解】解：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)B正確；
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值的定義，積的乘方的計(jì)算法則，完全平方公式，實(shí)數(shù)的計(jì)算，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5. 在一次科技作品制作比賽中，某小組八件作品的成績(jī)（單位：分）分別是7，10，9，8，7，9，9，8，對(duì)這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 中位數(shù)是8B. 眾數(shù)是9C. 平均數(shù)是8D. 方差是0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)及方差的計(jì)算方法分別求解即可得到答案．
【詳解】解：A、按照從小到大的順序排列為7，7，8，8，9，9，9，10，由中位數(shù)的求解方法得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、這組數(shù)據(jù)中眾數(shù)為，該選項(xiàng)正確，符合題意；
C、這組數(shù)據(jù)平均數(shù)為，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則方差為，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)綜合，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)及方差的計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
6. 下列命題是真命題的是（）
A. 一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
B. 有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
D. 對(duì)角形互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判斷即可．
【詳解】解：A選項(xiàng)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)對(duì)角形互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以此項(xiàng)正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱形以及正方形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．
7. 已知a，b滿足方程組則a+b的值為（）
A. ﹣4B. 4C. ﹣2D. 2
【答案】B
【解析】
【詳解】解：，
①+②：4a+4b=16
則a+b=4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法——加減消元法、代入消元法是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在中，，，，則的內(nèi)切圓的半徑r是（）

A. 2B. 3C. 4D. 無(wú)法判斷
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等積法求內(nèi)切圓半徑，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
如圖：設(shè)的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)分別為點(diǎn)，連接，則：，

∵，
∴，即：，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查求三角形內(nèi)切圓的半徑．熟練掌握等積法求內(nèi)切圓的半徑，是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，一次函數(shù)y1＝x與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y＝ax2＋（b－1）x＋c的圖象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個(gè)不相等的根，進(jìn)而得出函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的對(duì)稱軸x=-＞0，即可進(jìn)行判斷．
【詳解】點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P（x，ax2+bx+c），又因點(diǎn)P在直線y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+（b-1）x+c=0；
由圖象可知一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q兩點(diǎn)，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．
∴函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的對(duì)稱軸x=-＞0，
∴A符合條件，
故選A．
10. 如圖,AB為O直徑,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn),將劣弧AC?沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D,連接CD,若點(diǎn)D與圓心O不重合,∠BAC=20°,則∠DCA的度數(shù)是()
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)翻折及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到所對(duì)的圓周角，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和，計(jì)算即可得解．
【詳解】如圖，連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°－∠BAC=90°－20°=70°，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對(duì)的圓周角為∠B, 所對(duì)的圓周角為∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°－∠B=110°，
∴∠DCA=180°－∠BAC－∠ADC=180°－20°－110°=50°.
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，難度適中，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）
11. 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的各個(gè)坐標(biāo)互為相反數(shù)即可得到答案．
【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的對(duì)稱，熟記點(diǎn)的對(duì)稱的坐標(biāo)特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因數(shù)3，進(jìn)而利用平方差公式進(jìn)行分解即可．
【詳解】解：原式=3(x2?4)=3(x+2)(x?2)；
故答案為：3(x+2)(x?2)．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正確應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵．
13. 中，，，則______．

【答案】##110度
【解析】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及圖形中的各角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，，，，
，
即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，掌握三角形內(nèi)角和是是正確解答的前提．
14. 計(jì)算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)積的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算及乘方運(yùn)算法則求解即可得到答案．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)運(yùn)算，涉及積的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算及乘方運(yùn)算法則，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15. 一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)、是反比例函數(shù)上的兩個(gè)點(diǎn)，若，則______（填“”或“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根則求出m的取值，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．
【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
，
反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，
又，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根求出m值，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)求解．
16. 如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為_______；第二步，分別在上取點(diǎn)M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，則線段的長(zhǎng)為_______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】第一步：設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，連接AF，易證明△AOE△ADC，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，從而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由對(duì)應(yīng)邊成比例可得AE、FC的關(guān)系式，設(shè)BF=x，則FC=8-x，由關(guān)系式可求得x的值；
第二步：連接NE，NF，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE，設(shè)B’N=m，分別在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出結(jié)果．
【詳解】如圖所示，連接AF，
設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)得到AA’⊥EF，
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC
∴△AOE△ADC，
∴ ，
∴OA=2OE，
在直角△AOE中，由勾股定理得：，
∴OE=，
∴OA=，
在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ，
∴OC=，
令BF=x，則FC=8-x，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COF，
∴ ，
即7AE=3FC
∴3(8-x)=7×3
解得：,
∴的長(zhǎng)為1．
連接NE，NF，如圖，
根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，
設(shè)B’N=m，
則，
解得：m=3，則NF= ，
∵EF=，
∴MF=，
∴MN=，
故答案為：1，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運(yùn)用．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 計(jì)算，
【答案】
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)各式，再進(jìn)行加減運(yùn)算．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算．熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握零指數(shù)冪和二次根式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，已知，，若，求的度數(shù)．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
19. 已知T．
（1）化簡(jiǎn)T；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，且它的面積為9，求T的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算即可求出值；
（2）由正方形的面積求出邊長(zhǎng)a的值，代入計(jì)算即可求出T的值．
【詳解】（1）T；
（2）由正方形的面積為9，得到a＝3，則T．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
20. 為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，深入挖掘中華經(jīng)典詩(shī)詞中所蘊(yùn)含的民族正氣、愛國(guó)情懷、道德品質(zhì)和藝術(shù)魅力，引領(lǐng)詩(shī)詞教育發(fā)展，我校舉辦詩(shī)詞大賽，第一輪為經(jīng)典誦讀參賽者從《短歌行》《將進(jìn)酒》《觀滄?！贰赌咎m辭》（分別用A、B、C、D表示）中隨機(jī)抽取一首進(jìn)行朗誦：第二輪為詩(shī)詞講解，參賽者從《蒹葭》《沁園春·雪》《念奴嬌·赤壁懷古》（分別用E、F、G表示）中隨機(jī)抽取一首進(jìn)行講解，小明和曉慧都參加了詩(shī)詞大賽．
（1）小明第一輪抽到《將進(jìn)酒》的概率是______．
（2）利用樹狀圖或列表法，求曉慧第一輪抽中《木蘭辭》且第二輪抽中《沁園春·雪》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率公式進(jìn)行求解即可；
（2）列出表格進(jìn)行求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：第一輪隨機(jī)抽取一首詩(shī)詞共有4種等可能的結(jié)果，其中抽到《將進(jìn)酒》的結(jié)果有1種，
∴；
故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中曉慧第一輪抽中《木蘭辭》且第二輪抽中《沁園春·雪》只有1種結(jié)果；
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查列表法求概率．正確列出表格，熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．
21. 電滅蚊器的電阻隨溫度變化的大致圖像如圖所示，通電后溫度由室溫上升到時(shí)，電阻與溫度成反比例函數(shù)關(guān)系，且在溫度達(dá)到時(shí)，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升，電阻增加．

（1）當(dāng)時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式；
（2）電滅蚊器在使用過(guò)程中，溫度x在什么范圍內(nèi)時(shí)，電阻不超過(guò)?
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，y與x的關(guān)系式為：．
（2）溫度x取值范圍是時(shí)，電阻不超過(guò)．
【解析】
【分析】（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為，把點(diǎn)和點(diǎn)代入求得m的值即可解答；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的關(guān)系式為，然后求得解析，然后分別求出時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值即可求解解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x之間關(guān)系式為，
根據(jù)題意得：該函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴當(dāng)時(shí)，y與x的關(guān)系式為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)題意得：該函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，
∵溫度每上升，電阻增加．
當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的關(guān)系式為，
∴該函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，
∴，解得：，
∴當(dāng)時(shí)，y與x的關(guān)系式為：；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，．
答：溫度x取值范圍是時(shí)，電阻不超過(guò)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求出兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
22. 便捷的交通為經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了更好的保障，橋梁作為公路的咽喉，左右著公路的生命．通過(guò)對(duì)橋梁的試驗(yàn)監(jiān)測(cè)，可以了解其使用性能和承載能力，同時(shí)也為橋梁的養(yǎng)護(hù)、加固和安全使用提供可靠的資料．某綜合與實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其自制的橋梁模型的承重開展了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動(dòng)，下面是此活動(dòng)的設(shè)計(jì)方案．
請(qǐng)你參與該項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動(dòng)，并完成下列問(wèn)題：
（1）該綜合與實(shí)踐活動(dòng)小組在設(shè)計(jì)橋梁模型時(shí)，選用了三角形結(jié)構(gòu)作為設(shè)計(jì)單元，這樣設(shè)計(jì)依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是__________．
A．三角形具有穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．兩點(diǎn)之間線段最短
（2）在水桶內(nèi)加入一定量的水后，橋梁發(fā)生了如圖2所示的形變．若其他因素忽略不計(jì)，測(cè)得，請(qǐng)計(jì)算此時(shí)水桶下降的高度．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）A （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可；
（2）設(shè)，先是等腰直角三角形，再在中利用銳角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
綜合與實(shí)踐活動(dòng)小組在設(shè)計(jì)橋梁模型時(shí)，選用了三角形結(jié)構(gòu)作為設(shè)計(jì)單元，這樣設(shè)計(jì)依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是三角形具有穩(wěn)定性．
故選A．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
23. 如圖，已知中，；以為直徑作，與邊相切于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接．

（1）求證，是的切線；
（2）尺規(guī)作圖，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中西出點(diǎn)的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），
（3）在（2）的條件下，若，，求出的長(zhǎng)度．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)題中條件證明即可證明；
（2）過(guò)D作垂線，交于，則與D關(guān)于對(duì)稱，連接交于P，此時(shí)最小，則點(diǎn)P即為所求作；
（3）在中，利用銳角三角函數(shù)求出，然后在中，利用三角函數(shù)設(shè)，，根據(jù)的長(zhǎng)即可求出k，證明即可求出．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，如圖所示，

∵為的直徑，
∴，，
∴，，
∵為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：解：過(guò)D作垂線，交于，則與D關(guān)于對(duì)稱，連接交于P，此時(shí)最小，則點(diǎn)P即為所求作；
【小問(wèn)3詳解】
解：設(shè)與的交點(diǎn)M，連接，如圖所示，

∵，
∴，
在中，，，
∴，則，
在中，，
∵E為中點(diǎn)，
則，
在中，，
設(shè)，，則，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)及勾股定理等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．
24. 平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，與軸交于點(diǎn)．
（1）時(shí)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)．求的長(zhǎng)；
（2）拋物線的開口方向和開口大小均與拋物線相同，頂點(diǎn)在上，的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且解析式記為．
①與直線l交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，若，求的范圍；
②若，當(dāng)拋物線與拋物線的交點(diǎn)始終在定直線（為常數(shù)）上時(shí)，求此時(shí)的最小值（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，拋物線，由題意知，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，即直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)，得到，即，解得或，即可求出；
（2）①由（1）知過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，即直線，再由題意可得解析式，根據(jù)與直線l交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，得到，從而由列出不等式，求解即可得到答案；②根據(jù)題意，聯(lián)立，求出拋物線與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，從而由，根據(jù)二次函數(shù)最值求法，將其化為頂點(diǎn)式，得到當(dāng)時(shí)，有最小值，為；進(jìn)而由變形為，將化為，即可知當(dāng)時(shí)，有最小值的最小值為，進(jìn)而求出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，拋物線，
拋物線與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即，
過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，即直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即，解得或，
，即；
【小問(wèn)2詳解】
解：拋物線的開口方向和開口大小均與拋物線相同，
兩個(gè)拋物線表達(dá)式中相同為，
頂點(diǎn)在上，的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即解析式，
①與直線l交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)，即時(shí)才能滿足題意，
，
，
，解得，
綜上所述，若，的范圍；
②，，
聯(lián)立方程得，當(dāng)拋物線與拋物線的有交點(diǎn)時(shí)，得①②得，
由可知，
拋物線與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
拋物線與拋物線的交點(diǎn)始終在定直線（為常數(shù)）上，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值，為，
，即，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值的最小值為，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)最值、二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)題意靈活運(yùn)用恒等變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
25. 如圖1，在鈍角中，，，點(diǎn)、分別為邊、上的點(diǎn)，且，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度．

（1）求的長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，連接．求證：；
（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線交于點(diǎn)．
①______；
②將從圖1位置繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）①，②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由相似三角形的判定可知，從而利用相似比即可得到的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，由題中條件得到，由相似三角形的判定可知；
（3）①如圖所示，利用相似三角形的性質(zhì)證明即可；②由“定弦定角”模型可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑上的弧，再由旋轉(zhuǎn)過(guò)程知道運(yùn)動(dòng)路程是長(zhǎng)的兩倍，求出圓心角，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：，，
，
在和中，，則由兩個(gè)三角形相似的判定定理得到，
，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
證明：將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度，
，
，，
，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：①設(shè)交于點(diǎn)，如圖所示：

由（2）知，
，
，，，
，
故答案為：；
②由，這個(gè)角所對(duì)的弦為，根據(jù)“定弦定角”模型可知，點(diǎn)的軌跡是以為邊向左側(cè)作等邊，連接，，以為圓心，為半徑作上弧，且軌跡是從往上方運(yùn)動(dòng)，由①知，則四點(diǎn)共圓，以為圓心，為半徑作，如圖所示：

當(dāng)與相切時(shí)，即時(shí)，直線交點(diǎn)位于軌跡的最高點(diǎn)，
，
，
在中，，即，
，
的長(zhǎng)，
當(dāng)與相切時(shí)，位于軌跡的最高點(diǎn)；當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)從軌跡的最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程是的長(zhǎng)的兩倍為．
【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．E
F
G
A
B
C
D
項(xiàng)目主題
橋梁模型的承重試驗(yàn)
活動(dòng)目標(biāo)
經(jīng)歷項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的全過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并將其轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題
驅(qū)動(dòng)問(wèn)題
當(dāng)橋梁模型發(fā)生不同程度的形變時(shí)，水桶下降的高度
方案設(shè)計(jì)
工具
橋梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、繩子、掛鉤等
實(shí)物圖展示
示意圖
狀態(tài)一（空水桶）
狀態(tài)二（水桶內(nèi)加一定量的水）
說(shuō)明：C為的中點(diǎn)
…
…

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