第I卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求出直線的傾斜角；
【詳解】解：直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因為，所以
故選：A
2. 設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的均值為2，方差為，則數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平均數(shù)與方差的計算公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，易知新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；
方差為.
故選：D.
3. 設(shè)，向量，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的關(guān)系列等式求解x，y的值，再運用向量的數(shù)乘及加法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合向量的模計算得出結(jié)果.
【詳解】向量，
且，
∴，解得
∴，
∴，選項C正確.
故選：C．
4. 對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用向量來判定點在平面內(nèi)，只需要滿足：（）
【詳解】因為A、B、C三點不共線，則不共線，
若四點共面，則存在唯一的一組實數(shù)使得，
即，變形得，
對于，，整理得，則，所以在平面內(nèi)，故選項正確；
對于，，可得：
則，故不在平面內(nèi)，故選項錯誤；
對于C，，可得：，
則，故不在平面內(nèi)，故選項C錯誤；
對于，，可得：
則，故不在平面內(nèi)，故選項錯誤；
故選：
5. 過雙曲線內(nèi)一點且斜率為的直線交雙曲線于兩點，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，則有，，將兩點的坐標(biāo)代入雙曲線方程相減，再結(jié)合的關(guān)系，可得，從而可得，從而可得答案.
【詳解】解：由題意可得，且，
又因為，
所以，
即有，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
6. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，對原式進(jìn)行求導(dǎo)，然后令，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，則
令，則，解得
故選:A
7. 已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，離心率分別為，橢圓的長軸恰好被雙曲線的焦點?頂點?中心平分為若干條等長線段，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意確定橢圓頂點坐標(biāo)、雙曲線頂點坐標(biāo)、焦點用表示，進(jìn)而可求解.
【詳解】不妨設(shè)焦點在軸上，
根據(jù)題意，若雙曲線的實軸長為，則橢圓的實軸長為，
則有橢圓的左右頂點為，雙曲線左右頂點為，
焦點為，
所以，所以，故A錯誤，B正確；
，故C錯誤；
，故D錯誤，
故選:B.
8. 已知對任意恒成立，其中常數(shù)且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得；當(dāng)時，可知單調(diào)遞增，分別在和的情況下，說明存在的區(qū)間，可知不合題意；當(dāng)時，根據(jù)單調(diào)性可求得最小值，由可整理得到結(jié)果.
【詳解】由題意知：定義域為，；
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，且；
若，即，則當(dāng)時，，不合題意；
若，即，則，，
，使得，則當(dāng)時，，不合題意；
②當(dāng)時，若，則；若，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
若恒成立，則，即；
綜上所述：且.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為，從而分別在和的情況下討論的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性確定最小值.
二?多選題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 若動點滿足（且）其中點是不重合的兩個定點），則點的軌跡是一個圓，該軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿波羅尼斯圓.已知點，，動點滿足，點的軌跡為圓，則（）
A. 圓的方程為
B. 若圓與線段交于點，則
C. 圓上有且僅有兩個點到直線的距離為
D. 設(shè)動點，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)點代入關(guān)系式化簡可得的軌跡方程為一個圓，可判斷AB；利用圓心且與直線的距離為，且，可判斷C；利用，轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離加上圓的半徑后，再平方再減去25可判斷D.
【詳解】設(shè)，由得，
整理得，即，故A正確；
在上，所以，故B正確
過圓心且與直線平行的直線方程為，
圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，
因為，所以在直線與直線之間的圓弧上有兩個點到直線直線的距離為，在直線的另一側(cè)的圓上還有兩個點到直線的距離為，共有4個點，故C錯誤；
設(shè)動點，所以，
則，即求圓上的點到點的距離的平方減去25的最大值，轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離加上圓的半徑后，再平方再減去25即可，所以，故D正確.
故選：ABD.
10. 如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（）
A.
B.
C. 平面的一個法向量為
D. 平面與平面所成角的正切值為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到各點的坐標(biāo)，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算以及法向量，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得
對于A，因為，則，故A錯誤；
對于B，因為，則，
所以，故B正確；
對于C，因為，，
設(shè)平面的法向量為，
則，解得，令，則
所以平面的一個法向量為，故C正確；
對于D，因為，
設(shè)平面的法向量為
則，解得，
令，則平面的一個法向量為
設(shè)平面與平面所成角為，
則
顯然平面與平面所成角為銳二面角，
即，則，所以，故D錯誤；
故選:BC
11. 已知拋物線，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則下列說法正確的是（）
A. 拋物線的準(zhǔn)線方程為
B.
C. 若，則的斜率為
D. 是過焦點且與垂直的弦，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項，將拋物線方程寫出標(biāo)準(zhǔn)形式，求出準(zhǔn)線方程，A錯誤；
B選項，設(shè)出直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立后，根據(jù)韋達(dá)定理求出兩根之積；
C選項，由，得到，結(jié)合兩根之積，求出，分兩種情況，結(jié)合兩根之和求出的值，進(jìn)而求出直線的斜率；
D選項，利用焦點弦長公式求出，從而結(jié)合斜率關(guān)系求出，得到.
【詳解】變形為，準(zhǔn)線方程為，A錯誤；
設(shè)過焦點的直線方程為，
與拋物線聯(lián)立得：，
則，，B正確；
因為，所以，代入中，解得：，
當(dāng)時，，則，解得：，
故直線的斜率為，
當(dāng)時，，則，解得：，
故直線的斜率為，
則的斜率為，C正確；
由焦點弦長公式可得：
，
是過焦點且與垂直的弦，同理可得：，
故，D正確.
故選：BCD
12. 已知，若整數(shù)滿足，則的大小關(guān)系可能為（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對兩邊同時取對數(shù)，令，對求導(dǎo)得出單調(diào)性，即可求出的單調(diào)性，即可得出答案.
【詳解】因為，對兩邊同時取對數(shù)，
所以令，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可知，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，所以若，則，
若，則可能，
若，則可能.
當(dāng)，則，但因為為整數(shù)，
而在區(qū)間不存在正整數(shù)，所以不成立.
故選：BCD.
第II卷
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 甲乙丙三人進(jìn)行射擊練習(xí)，已知甲乙丙擊中目標(biāo)的概率分別為，則三人中至少有兩人擊中目標(biāo)的概率為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別求得三人均未擊中目標(biāo)與只有一人擊中目標(biāo)的概率，然后用減去其概率之和，即可得到結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，三人均未擊中目標(biāo)的概率為；
只有一人擊中目標(biāo)的概率為
所以三人中至少有兩人擊中目標(biāo)的概率為
故答案為:
14. 過點的直線與橢圓交于兩點，則的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)聯(lián)立后弦長公式和換元法以及二次函數(shù)得最值即可求解.
【詳解】①當(dāng)直線斜率存在時，
設(shè)直線方程為：
聯(lián)立，
得，
即，
所以，
所以，
令，
則原式，
令，
則原式，
當(dāng)時取得最大值，
此時，.
②當(dāng)直線斜率不存在時，
所以的最大值是.
故填：.
15. 已知四棱錐的底面為邊長為2的正方形，分別為和的中點，則平面上任意一點到底面中心距離的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由面到點的距離的最小值轉(zhuǎn)化為點到面的距離的最小值，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，由點到面的距離即可求得平面上任意一點到底面中心距離的最小值.
【詳解】四棱錐的底面為邊長為2的正方形，連接且相交于點，則點是底面中心，，
取的中點，連接，則，
又，
又，
面
又面，
面面
又，為面與面的交線，平面
面
又面，面，
以點為原點，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)平面的法向量為，設(shè)到平面的距離為，
則
令，則，
代入距離公式得，
故答案為：.
16. 已知不等式恒成立，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用同構(gòu)得到，即，構(gòu)造，，利用導(dǎo)函數(shù)求出其最小值，得到；
法二：先代入求出，再構(gòu)造函數(shù)，證明其必要性即可.
【詳解】法一：變形為，
構(gòu)造，定義域，
則在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
故，兩邊平方后變形得到，
構(gòu)造，，
則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在處取得極小值，也是最小值，
可知，故，
的最大值為；
法二：中令得：，
解得：，
當(dāng)時，只要證，，
其中，顯然成立，
以下是證明過程：構(gòu)造，，
，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，故，，
只要證，即，由于，
故只要，
構(gòu)造，，
則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，故，，
綜上：可得的最大值為.
故答案為：
【點睛】數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化要注意等價性，也就是充分性與必要性兼?zhèn)洌袝r在探求參數(shù)的取值范圍時，為了尋找解題突破口，從滿足題意得自變量范圍內(nèi)選擇一個數(shù)，代入求得參數(shù)的取值范圍，從而得到使得問題成立的一個必要條件，這個范圍可能恰好就是所求范圍，也可能比所求的范圍大，需要驗證其充分性，這就是所謂的必要性探路和充分性證明，對于特殊值的選取策略一般是某個常數(shù)，實際上時切線的橫坐標(biāo)，端點值或極值點等.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 2022年10月16日至10月22日中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京順利召開，會后各地掀起了學(xué)習(xí)貫徹二十大精神的熱潮.某中學(xué)在進(jìn)行二十大精神學(xué)習(xí)講座后，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行筆試（試卷滿分100分），并記錄下他們的成績，其中成績分組區(qū)間是：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，并整理得到如下頻率分布直方圖，已知圖中前三個組的頻率依次構(gòu)成等差數(shù)列.
（1）求這部分學(xué)生成績的中位數(shù)?平均數(shù)（保留一位小數(shù)）；
（2）為了更好的了解學(xué)生對二十大精神的掌握情況，學(xué)校決定在成績較高的第四?五組中用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，進(jìn)行第二輪面試，最終從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人作為校二十大精神的宣傳員，求85分（包括85分）以上的同學(xué)恰有1人被抽到的概率.
【答案】（1）中位數(shù)為，平均數(shù)為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合平均數(shù)，中位數(shù)的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.
（2）根據(jù)題意，結(jié)合古典概型的計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可知：，解得
設(shè)中位數(shù)為，則.
故中位數(shù)為
平均數(shù)為
【小問2詳解】
由分層抽樣得最終5名學(xué)生中第四組有4人?第五組有1人
故85分（包括85分）以上的同學(xué)恰有1人被抽到的概率為
18. ①圓與直線相切；②圓被直線截得的弦長為；在①②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中進(jìn)行求解.
已知圓經(jīng)過點，圓心在直線上，且__________.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，過原點的直線交圓于兩點，求弦中點的軌跡方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若選①，設(shè)圓心，求出圓心到的距離可得圓的半徑，再由可求出圓心坐標(biāo)，從而可求出圓的方程；若選②，設(shè)圓心，求出圓心到的距離，再由弦長，弦心距和半徑的關(guān)系列方程可求出圓心和半徑，從而可求得圓的方程；
（2）先利用對稱的關(guān)系求出圓的方程，再由在以為直徑的圓上，從而可求出其軌跡方程.
【小問1詳解】
選①設(shè)圓心，
圓心到的距離，
所以，解得，
所以圓心
所以圓C：
選②設(shè)圓心，圓心到的距離，
因為圓被直線截得的弦長為，
所以圓的半徑為，
因為圓經(jīng)過點，
所以，解得，
解得，圓C：
【小問2詳解】
設(shè)圓心（3，2）關(guān)于的對稱點為，則
，解得
所以圓，
因為過原點的直線交圓于兩點，弦中點為，
所以
所以在以為直徑的圓上，
設(shè)，則軌跡方程為，
即.
19. 已知函數(shù)
（1）若函數(shù)存在兩個極值點，求的取值范圍；
（2）若在恒成立，求的最小值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）函數(shù)存在兩個極值點，等價于有兩個不同的解，利用判別式大于零求解即可；
（2）在恒成立，即，轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用導(dǎo)數(shù)即可得答案.
【小問1詳解】
因為，
所以
因為函數(shù)存在兩個極值點，
所以有兩個不同的解，
所以，解得或
【小問2詳解】
在恒成立，即恒成立，
令，則
因為，
設(shè)，
在上都遞減，
所以在上遞減，
所以，當(dāng)時，，此時，在上遞增，
當(dāng)時，，此時，在上遞減，
所以，
所以，即
20. 已知直角三角形中，，分別是邊中點，將和分別沿著翻折，形成三棱錐是中點
（1）證明：平面；
（2）若直線上存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證，，再根據(jù)線面垂直的判定可證結(jié)論成立；
（2）取的中點，連，以為原點，，，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的正弦值的向量公式可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
因為為中點，
所以；
又因，平面平面，平面，，
所以平面，又平面，所以，
因為平面，平面，，
所以平面
【小問2詳解】
取的中點，連，則，
由（1）可知兩兩垂直，
以為原點，，，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
由，得，
，
設(shè)平面的一個法向量，
由，取，得，，得，
設(shè)，則，
，解得，故
21. 已知雙曲線過點，左右頂點分別為，過左焦點且垂直于軸直線交雙曲線于兩點，以為直徑的圓恰好經(jīng)過右頂點.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若是直線上異于的一點，連接分別與雙曲線相交于，當(dāng)軸正半軸上的虛軸端點到直線的距離最大時，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得，又因為雙曲線過點，解方程即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）[法一]記的斜率分別為，由題意可得，設(shè)與雙曲線的方程聯(lián)立，表示出，代入化簡得，可得直線過定點，當(dāng)?shù)街本€的距離最大時，即可求出直線的方程；
[法二]設(shè)點設(shè)代入，表示出的坐標(biāo)，同理表示出的坐標(biāo)，即可求出直線的方程，可得直線過定點，當(dāng)?shù)街本€的距離最大時，即可求出直線的方程.
【小問1詳解】
因為以為直徑的圓恰好經(jīng)過右頂點，
所以，所以，
，
設(shè)代入得，故
【小問2詳解】
[法一]記的斜率分別為
又故，
設(shè)代入
，
，代入化簡得
不過，直線過定點
當(dāng)?shù)街本€的距離最大時，此時
即
[法二]設(shè)點
代入
同理由可得
則直線即
所以直線過定點
當(dāng)?shù)街本€的距離最大時，此時
即.
22. 已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的零點的個數(shù)；
（2）若函數(shù)有兩個零點，證明：
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為與交點個數(shù)的討論；求得后，根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性和最值，由此可得的圖象；分別在、和的情況下，根據(jù)交點個數(shù)確定零點個數(shù)；
（2）設(shè)，可知，設(shè)，求導(dǎo)后可證得在上單調(diào)遞減，從而確定，代入和，結(jié)合單調(diào)性可證得，從而將所證不等式轉(zhuǎn)化為；
不等式右側(cè)部分恰為方程的兩根之差的絕對值，即的形式，則可結(jié)合的變形形式，構(gòu)造，求導(dǎo)后，結(jié)合零點存在定理可求得的單調(diào)性，得到，即，令，其兩根為，可知，結(jié)合韋達(dá)定理可得，由此可得結(jié)論.
小問1詳解】
令，則，令，
則零點個數(shù)即為與交點個數(shù)；
，令，解得：，
則當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
由此可得圖象如下圖所示，
當(dāng)，即時，與有兩個不同交點；
當(dāng)，即時，與有唯一交點；
當(dāng)，即時，與無交點；
綜上所述：當(dāng)時，有兩個不同零點；當(dāng)時，有唯一零點；當(dāng)時，無零點.
【小問2詳解】
不妨設(shè)，由（1）中與關(guān)系可知：；
令，，則，
令，則，
在上單調(diào)遞減；
，，，則，
在上單調(diào)遞減，，即，
又，，又，，
，，在上單調(diào)遞增，，即；
則只需證即可，
令，則，
令，則，令，解得：，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，，
，使得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，當(dāng)時，，
即，則，
令，則，
，則兩根為，且，
，，
，
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)零點個數(shù)、證明不等式的問題；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠利用極值點偏移求解方法確定，從而將所證不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)一步通過構(gòu)造函數(shù)的方式證得不等式.

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