A. B. C. D.
2. 已知是角終邊上一點，則（）
A. B. C. D.
3. 把按斜二測畫法得到（如圖所示），其中，，那么是一個
A. 等邊三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 三邊互不相等的三角形
4. 已知正方體的棱長為1，E為中點，F(xiàn)為棱CD上異于端點的動點，若平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，則線段CF的取值范圍是（）
A. B. C. D.
5. 已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）
A. 2B. 0C. -3D. -6
6. 若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+
7. 在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A. 7πB. 8πC. D.
8. 若的圖象在處的切線分別為，且，則（）
A
B. 的最小值為2
C. 在軸上的截距之差為2
D. 在軸上的截距之積可能為
二?多選題（每小題5分共20分）
9. 給出下列命題，其中正確的是（）
A. 若空間向量，，且，則實數(shù)
B. 若，則存在唯一的實數(shù)，使得
C. 若空間向量，，則向量在向量上的投影向量是
D. 點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是
10. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則的值可能為（）
A. B. C. D.
11. 已知，且，則（）
A. ab的最大值為1B. ab的最小值為－1
C. 的最小值為4D. 的最小值為
12. 如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）
A. 過棱的截面中，截面面積的最小值為
B. 若過棱的截面與棱（不含端點）交于點，則
C. 若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D. 與該木塊各個頂點距離都相等的截面有7個
三?填空題（每小題5分共20分）
13. 設(shè)向量在向量上的投影向量為，則________．
14. 函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則______．
15. 甲?乙兩隊進行籃球比賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束），根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主客主主客客主”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以獲勝的概率是__________.
16. 已知△ABC的面積為1，且AB=2BC，則當(dāng)AC取得最小值時，BC的長為________.
四?解答題（70分）
17. 已知向量，函數(shù)．
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在中，，求邊的長．
18. 已知橢圓，A是橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，直線與橢圓交于M、N兩點，且M點位于第一象限．
（1）若，證明：直線和的斜率之積為定值；
（2）若，求四邊形的面積的最大值．
19. 如圖，現(xiàn)有三棱錐和，其中三棱錐的棱長均為2，三棱錐有三個面是全等的等腰直角三角形，一個面是等邊三角形，現(xiàn)將這兩個三棱錐的一個面完全重合組成一個組合體.
（1）求這個組合體的體積；
（2）若點F為AC中點，求二面角的余弦值.
20. 數(shù)列的前n項和，已知，，k為常數(shù).
（1）求常數(shù)k和數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列的前n項和為，證明：
21. 如圖所示的幾何體是由等高的個圓柱和半個圓柱組合而成，點G為的中點，D為圓柱上底面的圓心，DE為半個圓柱上底面的直徑，O，H分別為DE，AB的中點，點A，D，E，G四點共面，AB，EF為母線．
（1）證明：平面BDF；
（2）若平面BDF與平面CFG所成的較小的二面角的余弦值為，求直線OH與平面CFG所成角的正弦值．
22. 已知函數(shù).
（1）若求曲線f (x)在處的切線方程；
（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍.南陽一中2023年秋期高三年級第五次月考
數(shù)學(xué)試題
命題人：1-8朱清波 9-12 王紅武13-16 陳朝印 17-22 楊要理
一?單選題（每小題5分共40分）
1. 已知集合或，，若，則實數(shù)取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)并集的結(jié)果，列出不等式，求解即可得出答案.
【詳解】因為，所以，解得．
所以，實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
2. 已知是角的終邊上一點，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的定義可得，進而由商數(shù)關(guān)系可求.
【詳解】因為是角的終邊上一點，
所以，
則，
故選：B.
3. 把按斜二測畫法得到（如圖所示），其中，，那么是一個
A. 等邊三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 三邊互不相等的三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原在直角坐標(biāo)系的圖形，進而分析出△ABC的形狀．
【詳解】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原在直角坐標(biāo)系的圖形，如下圖所示：
由圖易得，故為等邊三角形，故選A．
【點睛】本題考查的知識點是斜二側(cè)畫法，三角形形狀的判斷，解答的關(guān)鍵是斜二側(cè)畫法還原在直角坐標(biāo)系的圖形．
4. 已知正方體的棱長為1，E為中點，F(xiàn)為棱CD上異于端點的動點，若平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，則線段CF的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合平面的基本事實，探討截面形狀確定F點的位置，推理計算作答.
【詳解】在正方體中，平面平面，而平面，平面，
平面平面，則平面與平面的交線過點B，且與直線EF平行，與直線相交，令交點為G，如圖，
而平面，平面，即分別為與平面所成的角，
而，則，且有，
當(dāng)F與C重合時，平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，，即G為棱中點M，
當(dāng)點F由點C向點D移動過程中，逐漸增大，點G由M向點方向移動，
當(dāng)點G為線段上任意一點時，平面只與該正方體的4個表面正方形有交線，即可圍成四邊形，
當(dāng)點G在線段延長線上時，直線必與棱交于除點外的點，
而點F與D不重合，此時，平面與該正方體的5個表面正方形有交線，截面為五邊形，如圖，
因此，F(xiàn)為棱CD上異于端點的動點，截面為四邊形，點G只能在線段（除點M外）上，即,
顯然，，則，
所以線段的CF的取值范圍是.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點睛：作過正方體三條中點截面，找到過三點的平面與正方體表面的交線是解決問題的關(guān)鍵.
5. 已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）
A. 2B. 0C. -3D. -6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，可以證明是周期為4的周期函數(shù)，計算出和k，由周期性可得，再利用函數(shù)的對稱性即可求解.
【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，又為偶函數(shù)，
所以，所以，即，
所以，故是以4為周期的周期函數(shù)；
由，易得，，所以，
所以，，解得，；
所以；
故選：C．
6. 若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.
【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點為，則，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，
設(shè)直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.
7. 在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A. 7πB. 8πC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如圖，取BD中點H，連接AH，CH，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點，記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°，進而可求得R的值．
【詳解】解：如圖，取BD中點H，連接AH，CH
因為△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形
所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°
設(shè)△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F(xiàn)
則由AH＝2可得AEAH，EHAH
分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點
記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°
所以O(shè)E＝1，則R＝OA
則三棱錐外接球的表面積
故選：D
【點睛】
本題考查三棱錐的外接球，球的表面積公式，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于中檔題．
8. 若的圖象在處的切線分別為，且，則（）
A.
B. 的最小值為2
C. 在軸上的截距之差為2
D. 在軸上的截距之積可能為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再借助基本不等式即可判斷A，B；寫出的方程，得到在軸上的截距分別為，由此判斷C，D．
【詳解】對于A，B：由題意可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的斜率分別為，
因為，所以，得，
因為，所以，
故A正確，B錯誤．
對于C，D：的方程為，即，
令，得，所以在軸上的截距為，
的方程為，可得在軸上的截距為，
所以在軸上的截距之差為，
在軸上的截距之積為，故C正確，D錯誤．
故選：AC
二?多選題（每小題5分共20分）
9. 給出下列命題，其中正確的是（）
A. 若空間向量，，且，則實數(shù)
B. 若，則存在唯一的實數(shù)，使得
C. 若空間向量，，則向量在向量上的投影向量是
D. 點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空間向量的對稱特征可判定D，利用空間向量平行的充要條件及坐標(biāo)表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C.
【詳解】對于A，可知，即A正確；
對于B，顯然時，恒成立，此時不唯一或者不存在，故B錯誤；
對于C，向量在向量上的投影向量，故C正確；
對于D，易知點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，故D錯誤.
故選：AC
10. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則的值可能為（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后，
所得函數(shù)解析式為，
因為所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，
所以,即，
當(dāng)時，的值分別為，
結(jié)合選項，所以的值可能為，
故選:AC.
11. 已知，且，則（）
A. ab的最大值為1B. ab的最小值為－1
C. 的最小值為4D. 的最小值為
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式的知識，結(jié)合特殊值法進行排除即可得到正確答案.
【詳解】由于，所以，即，解得，即，故A和B均正確，
令，滿足題干的式子，但是，故C錯誤，
將變形可得，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D錯誤，
故選：AB.
12. 如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）
A. 過棱的截面中，截面面積的最小值為
B. 若過棱的截面與棱（不含端點）交于點，則
C. 若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D. 與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面的性質(zhì)確定截面，再解三角形即可判定A、B，利用基本不等式可判定C，利用空間想象結(jié)合圖形性質(zhì)分類討論可判定D項.
【詳解】設(shè)截面與棱的交點為，
對于A項，如圖1，過棱的截面為，易知當(dāng)為棱的中點時，,且，平面，故平面，
取的中點，連接，則，
又平面，，即是異面直線的公垂線，，
故此時的面積取得最小值，最小值為，正確；
對于B項，易知，故結(jié)合A項，可設(shè)，
在中，由余弦定理，
所以，即，B錯誤；
對于C項，如圖2，當(dāng)截面為平行四邊形時，，，
由正四面體的性質(zhì)可知，故，從而平行四邊形為長方形.
設(shè)，則，所以長方形的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，正確；
對于D項，與該木塊各個頂點的距離都相等的截面分為兩類.第一類：平行于正四面體的一個面，且到頂點和到底面距離相等，這樣的截面有4個.
第二類：平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個.
故與該木塊各個頂點的距離都相等的截面共有7個，D正確.
故選：ACD
三?填空題（每小題5分共20分）
13. 設(shè)向量在向量上的投影向量為，則________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用向量在向量上的投影向量計算公式建立方程，解出即可.
【詳解】向量在向量上的投影向量為
，則，解得．
故答案為：
14. 函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】將函數(shù)解析式邊形為，設(shè)，則，記，由奇函數(shù)的定義得出為奇函數(shù)，得出在的最值，結(jié)合，即可求出．
【詳解】，
設(shè)，則，
記，
因為，
所以是在上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，
所以，
又因為，
所以，
故答案為：1．
15. 甲?乙兩隊進行籃球比賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束），根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主客主主客客主”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以獲勝的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.
【詳解】欲使甲隊4：2獲勝，則第六場甲勝，前五場甲獲勝三場負(fù)兩場，
故所求概率為：
.
故答案為：
16. 已知△ABC的面積為1，且AB=2BC，則當(dāng)AC取得最小值時，BC的長為________.
【答案】
【解析】
【分析】記，由面積得，由余弦定理得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得．
【詳解】記，由已知，，
，
令，則，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
設(shè)，則時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)即時，，即AC取得最小值，
此時，.
故答案為：．
四?解答題（70分）
17. 已知向量，函數(shù)．
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在中，，求邊的長．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到的解析式，化簡得，由周期公式可解得，利用整體角的范圍求解單調(diào)減區(qū)間即可；
（2）由整體角范圍解三角方程可得，再由已知條件，結(jié)合正弦定理可求.
【小問1詳解】
由題意得
，
所以最小正周期，
令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
【小問2詳解】
由（1）知，，
則，由，得，
則，解得，
又由，得，已知，
則由正弦定理，
得.
18. 已知橢圓，A是橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，直線與橢圓交于M、N兩點，且M點位于第一象限．
（1）若，證明：直線和的斜率之積為定值；
（2）若，求四邊形的面積的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）設(shè)，則，利用兩點的斜率公式以及點在橢圓上可得定值；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，求出到的距離和到的距離，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得面積的最大值．
【詳解】（1）證明：設(shè)，則，
∵，，∴，，
∵在橢圓上，∴
∴為定值．
（2）設(shè)，依題意：，點在第一象限，∴．
聯(lián)立：得：，
∴，，
設(shè)到的距離為，到的距離為，
∴，，
∴．
又∵
（當(dāng)時取等號），
∴．
∴四邊形的面積的最大值為
19. 如圖，現(xiàn)有三棱錐和，其中三棱錐的棱長均為2，三棱錐有三個面是全等的等腰直角三角形，一個面是等邊三角形，現(xiàn)將這兩個三棱錐的一個面完全重合組成一個組合體.
（1）求這個組合體的體積；
（2）若點F為AC的中點，求二面角的余弦值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）將組合體拆分為兩部分分別求體積即可；
（2）根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的一個法向量，結(jié)合二面角坐標(biāo)計算公式求解答案即可.
【小問1詳解】
因為三棱錐有三個面是全等的等腰直角三角形，是等邊三角形，
所以，
所以；
因為三棱錐的棱長均為2，
所以正三棱錐體積為一個棱長為的正方體減去四個三棱錐，
即，
【小問2詳解】
如圖所示，以E為坐標(biāo)原點，EC，ED，EB分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
設(shè)平面EBC的法向量為，易得，
設(shè)平面BCF的法向量為，
因為，得，
取，可得
設(shè)二面角的平面角大小為，由圖易知，二面角為鈍角，
則
故二面角的余弦值為
20. 數(shù)列的前n項和，已知，，k為常數(shù).
（1）求常數(shù)k和數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列的前n項和為，證明：
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用，和累加法求，然后根據(jù)等差數(shù)列求和公式求；
（2）利用裂項相消和放縮的思路證明.
【小問1詳解】
由得，，
兩式相減的，整理得，
當(dāng)時，得，，
當(dāng)時，，
，，，
相加得，
所以，，
當(dāng)，2時符合，
所以，
則，，
則，即.
【小問2詳解】
由（1）得，
所以，
因為，，
所以，
綜上可得，.
21. 如圖所示的幾何體是由等高的個圓柱和半個圓柱組合而成，點G為的中點，D為圓柱上底面的圓心，DE為半個圓柱上底面的直徑，O，H分別為DE，AB的中點，點A，D，E，G四點共面，AB，EF為母線．
（1）證明：平面BDF；
（2）若平面BDF與平面CFG所成的較小的二面角的余弦值為，求直線OH與平面CFG所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）過構(gòu)造與平面平行的平面，通過面面平行，即可證明線面平行；
（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知二面角的余弦值求得圓柱的高與底面半徑之間的關(guān)系，再由向量法求解線面角即可.
【小問1詳解】
證明：取EF的中點M，連接OM，HM，又O為DE的中點，所以，
又平面BDF，平面BDF，所以∥平面BDF，
因為，，H，M分別為AB，EF的中點，所以，且，
所以四邊形BFMH為平行四邊形，所以，
又平面BDF，平面BDF，所以平面BDF，
又OM，平面OMH，，所以平面平面BDF，
因為平面OMH，所以平面BDF．
【小問2詳解】
由題意知CB，CF，CD兩兩垂直，故以點C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，
則，，，，，，，
所以，，，，．
設(shè)平面BDF的一個法向量，則，即
令，解得，，所以；
設(shè)平面CFG的一個法向量，則，即
令，解得，，所以，
所以，
化簡，得，所以，
所以，．設(shè)OH與平面CFG所成的角為，
所以．
22. 已知函數(shù).
（1）若求曲線f (x)在處的切線方程；
（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切斜方程；
（2）將不等式，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最值得到的范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，，
，
則，
所以曲線在處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
不等式可整理，
令，，
所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，所以，
又，所以令，
則，
令，則，
令，則，
令，則，
所以單調(diào)遞減，，所以，
單調(diào)遞減，，所以，
所以，，
所以單調(diào)遞減，，
所以.
【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題：
①恒成立轉(zhuǎn)化為；
②恒成立轉(zhuǎn)化為.

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河南省南陽市六校2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析：

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河南省南陽市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析：

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