湖南省邵陽市邵東市第四中學2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
一、單選題（每小題5分，共40分）
1．若集合，，則（）
A．B．C．D．
2．是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實數(shù)（）
A．2B．C．4D．2或
3．若則一定有
A．B．C．D．
4．若，則的最小值是（）
A．B．C．D．
5．冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
6．二次函數(shù)在區(qū)間上為偶函數(shù)，又，則，，的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
7．函數(shù)是奇函數(shù)，且在0,+∞內(nèi)是增函數(shù)，，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
8．若滿足對任意的實數(shù)、都有且，則（）
A．1008B．2018C．2014D．1009
二、多選題（每小題6分，共18分，部分選對得部分分，全對得滿分，有錯選得0分）
9．下列結(jié)論正確的是（）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．“”是“”的必要不充分條件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的實數(shù)根”的充要條件是“”
10．設(shè)正實數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（）
A．的最小值為3B．的最大值為1
C．的最小值為2D．的最小值為2
11．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法正確的是（）
A．
B．若在上有最小值，則在上有最大值1
C．若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)
D．若時，，則時，
三、填空題（每小題5分，共15分）
12．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．
13．設(shè)函數(shù)，不等式的解集為，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
14．已知函數(shù)同時滿足：①對于定義域上任意，恒有；②對于定義域上的任意當時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.在下列三個函數(shù)中：，，“理想函數(shù)”有（只填序號）
四、解答題
15．已知全集，集合，.
(1)當時，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.
16．已知命題：方程有兩個不等的負實根；命題：方程無實根.
(1)若命題為真，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若命題，中有且僅有一個為真一個為假，求實數(shù)的取值范圍.
17．某商場以每件42元的價格購進一種服裝，根據(jù)試營銷量得知，這種服裝每天的銷售量（件）與每件的銷售價（元）之間可看成一次函數(shù)關(guān)系：．
（1）寫出商場每天賣這種服裝的銷售利潤y（元）與每件的銷售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式（每天的銷售利潤是指所賣出服裝的總銷售額與購進這些服裝所花費金額的差）．
（2）商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價定為多少最為合適？最大銷售利潤為多少？
18．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.
（1）求實數(shù)和的值；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．
19．對于定義域為D的函數(shù)，如果存在區(qū)，其中，同時滿足：
①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當定義域是時，的值域也是，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值區(qū)間”．
(1)求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；
(2)若函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；
(3)對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
參考答案：
1．C
【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由，則，
所以，
又，
所以.
故選：C
2．A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和定義即可求解.
【詳解】由于是冪函數(shù)，所以，解得或，
由于在上是減函數(shù)，所以，故，
因此，
故選：A
3．D
【詳解】本題主要考查不等關(guān)系．已知,所以，所以，故．故選
4．B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【詳解】由，可得，
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為，
故選：B.
5．D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，即可判斷；
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，
在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，
所以由圖像得：，
故選：D
6．A
【分析】先根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，定義域關(guān)于原點對稱，求出，再得到二次函數(shù)，再根據(jù)其對稱性，單調(diào)性得到答案.
【詳解】由題意得解得．，．
函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，．
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，．
故選：A.
【點睛】本題考查了對偶函數(shù)的理解，二次函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
7．D
【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)在?∞,0上是增函數(shù)，，進而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和對稱性求得答案.
【詳解】因為函數(shù)且在0,+∞上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在?∞,0上是增函數(shù)，.
于是，時，；時，；時，；時，.
所以，的解集為.
故選：D.
8．B
【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后用同樣的方式得出、以及，從而得出，最后通過計算即可得出結(jié)果.
【詳解】因為對任意的實數(shù)、，都有，且，
所以，即，
同理，即；
，即；
，即；
故，
則，
故選：B.
【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)運算，考查分析、思考與解決問題的能力，考查探究規(guī)律的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.
9．ACD
【分析】根據(jù)不等式的范圍判斷A；根據(jù)交集的概念判斷B；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷C；將1代入方程求解判斷D.
【詳解】對于A，因為，所以或，所以“當”時，“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要條件，正確；
對于B，“”一定有“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要條件，錯誤；
對于C，命題“，有”是全稱量詞命題，
其否定是存在量詞命題，即“，使”，正確；
對于D，當時，1為方程的一個根，故充分；
當方程有一個根為1時，代入得，故必要，正確；
故選：ACD
10．ABD
【分析】根據(jù)基本不等式判斷．
【詳解】因為正實數(shù)m、n，
所以，
當且僅當且m+n=2，即m=n=1時取等號，此時取得最小值3，A正確；
由，當且僅當m=n=1時，mn取得最大值1，B正確；
因為，當且僅當m=n=1時取等號，故≤2即最大值為2，C錯誤；
，當且僅當時取等號，此處取得最小值2，故D正確.
故選：ABD
11．ABD
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義并取特值x=0即可判定；利用奇函數(shù)的定義和最值得定義可以求得在上有最大值，進而判定；利用奇函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)判定；利用奇函數(shù)的定義根據(jù)x>0時的解析式求得時的解析式，進而判定．
【詳解】由得，故正確；
當時，，且存在使得，
則時，，，且當有,
∴在上有最大值為1，故正確；
若在上為增函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，則在上為增函數(shù)，故錯誤；
若時，，則時，，，故正確．
故選：．
【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
12． 9 1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和對稱軸，結(jié)合函數(shù)的定義域，求得函數(shù)的最大值和最小值.
【詳解】，該二次函數(shù)的開口向上，而，故當時，；當時，．
故答案為：9；1
【點睛】本小題主要考查二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值的求法，屬于基礎(chǔ)題.
13．
【分析】先根據(jù)不等式的解集求得，得到，再把對任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為恒成立，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，且不等式的解集為，
即是方程兩個實數(shù)根，
可得，解得，所以，
又由，且，
當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，
因為對任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
14．
【分析】根據(jù)題中條件，先判斷函數(shù)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減；再逐項判斷所給函數(shù)，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為對于定義域上任意，恒有，即，
所以是奇函數(shù)；
又對于定義域上的任意當時，恒有，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
函數(shù)的定義域為，取，，則，，此時，不滿足在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；排除；
由得，所以是偶函數(shù)，排除；
對于函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，可得時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
又當時，，所以；
當時，，所以；
綜上為奇函數(shù)；故滿足題意.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判定，以及簡單函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題型.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)集合并集、交集、補集運算求解即可；
（2）根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系求解即可
【詳解】（1）當時，集合，
因為，所以.
所以，
（2）因為“”是“”成立的充分不必要條件，
所以是的真子集，而不為空集，
所以，因此.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)得出命題為真時，實數(shù)的取值范圍，進而由命題為真求解；
（2）由判別式得出為真時，實數(shù)的取值范圍，再討論真假或假真，得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）若方程有兩個不等的負根，則，解得；
因為命題為真，所以實數(shù)的取值范圍為.
（2）若方程無實根，則，解得.
若真假時，，解得；
若假真時，，解得.
綜上，得.
17．（1）；（2）每件的銷售價定為55元時，最大銷售利潤為507元
【分析】（1）銷售量乘以每件利潤可得總利潤；
（2）（1）中函數(shù)配方后可得最大值及相應的值．
【詳解】（1）由題意得，每天的銷售利潤y（元）與每件的銷售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）由（1）得，則當時，．
即當每件的銷售價定為55元時，每天可獲得最大的銷售利潤，最大銷售利潤為507元．
【點睛】本題考查函數(shù)模型的應用，已知函數(shù)模型情況下直接由函數(shù)模型列出函數(shù)式是最基本的方法，本題屬于基礎(chǔ)題．
18．（1），；（2）上為增函數(shù)，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)有可得，再由可得；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義法證明即可.
【詳解】（1）∵是奇函數(shù)，
∴．
即，
比較得，.
又，
∴，
解得，
即實數(shù)和的值分別是2和0.
（2）函數(shù)在上為增函數(shù)．
證明如下：由（1）知，
設(shè)，
則，
，，，
∴，
∴，
即函數(shù)在上為增函數(shù)．
【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應用，函數(shù)單調(diào)性的定義法證明，屬于中檔題.
19．(1)證明見解析；
(2)；
(3)；
【分析】（1）求解函數(shù)的值域，由“保值函數(shù)”的定義判斷；
（2）由定義域和值域都是，將問題等價于方程有兩個不等的實數(shù)根，根據(jù)判別式大于零計算即可；
（3）首先進行轉(zhuǎn)化可得對恒成立，根據(jù)恒成立思想分別求最值即可得解.
【詳解】（1），時，，
根據(jù)“保值函數(shù)”的定義可知，函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù).
（2）因為在上單調(diào)遞增，
結(jié)合題意易知在內(nèi)單調(diào)遞增，且定義域和值域都是，
所以或，，
因此是方程的兩個不等實數(shù)根，
等價于方程有兩個不等的實數(shù)根，
即，解得或，
當時，，所以，滿足；
當時，，所以，滿足；
所以實數(shù)的取值范圍為.
（3），，
，
即為對恒成立.
令，易證在單調(diào)遞增，
同理在單調(diào)遞減.因此，，
，所以
解得，又或，
所以的取值范圍是.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
D
A
D
B
ACD
ABD
題號
11

答案
ABD

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