數(shù)學(xué)試題
2024.11
本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項目.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.
4.請考生保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第I卷（選擇題 共58分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依題意可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，最后再計算其模.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：B
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先解絕對值不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.
【詳解】由，即，解得，
所以，
又，
所以.
故選：A
3. “，”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】由可得，由可得，由可得，
所以由“，”推得出“”，故充分性成立；
由“”推不出“，”，
如，，滿足，但是，故必要性不成立；
所以“，”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4. 已知單位向量，滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 向量在向量上的投影向量為D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可求出，從而判斷A，再根據(jù)判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷C，計算，即可判斷D.
【詳解】單位向量，滿足，
則，所以，
所以，又，所以，故A錯誤；
，故B錯誤；
因為，
所以向量在向量上的投影向量為，故C錯誤；
因為，所以，故D正確.
故選：D
5. 函數(shù)是（ ）
A. 偶函數(shù)，且最小值為－2B. 偶函數(shù)，且最大值為2
C. 周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D. 非周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判定方式以及函數(shù)的最值判斷A，B；根據(jù)周期性判斷，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C，D.
【詳解】定義域為，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，
所以為偶函數(shù)，又，
令，，，
當(dāng)時，即，有最小值，最小值為，
當(dāng)時，即時，有最大值，最大值為2，故A錯誤，故B正確；
因為，所以為周期函數(shù)，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上先減后增，在上單調(diào)遞增；
故C，D錯誤，
故選：B.
6. 印度數(shù)學(xué)家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴風(fēng)雨，他看到路邊寫有3025的一塊牌子被劈成了兩半，一半上寫著30，另一半上寫著25.這時，他發(fā)現(xiàn)，，即將劈成兩半的數(shù)加起來，再平方，正好是原來的數(shù)字.數(shù)學(xué)家將3025等符合上述規(guī)律的數(shù)字稱之為雷劈數(shù)（或卡普列加數(shù)）.則在下列數(shù)組：92，81，52，40，21，14中隨機(jī)選擇兩個數(shù)，其中恰有一個數(shù)是雷劈數(shù)的概率是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】找出這6個數(shù)中的雷劈數(shù)，結(jié)合組合數(shù)公式求相應(yīng)的概率.
【詳解】因為，所以是雷劈數(shù).其余的不是雷劈數(shù).
記： “從6個數(shù)中隨機(jī)選擇兩個數(shù)，其中恰有一個數(shù)是雷劈數(shù)”為事件，
則.
故選：C
7. 已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分段求函數(shù)值域，根據(jù)原函數(shù)值域為，求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】若，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；
此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無最大值，所以；
因為函數(shù)的值域為，所以，結(jié)合得.
若，則的值域為；
若，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（）；
在上，函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無最大值，所以；
所以函數(shù)的值域不可能為；
若，則函數(shù)在上，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（）；
在上，函數(shù)單調(diào)遞增，，
此時函數(shù)的值域不可能為.
綜上可知：當(dāng)時，函數(shù)的值域為.
故選：D
8. 記正項數(shù)列的前項積為，已知，若，則的最小值是（ ）
A. 999B. 1000C. 1001D. 1002
【答案】C
【解析】
【分析】由數(shù)列的前項積滿足，可求得是等差數(shù)列，并求得的通項，
進(jìn)而得到的通項，再由，即可求得正整數(shù)的最小值.
【詳解】∵為正項數(shù)列的前項積， ，
∴當(dāng)時，，
時，，又，
∴，即，
∴是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，且.
由，得
若，則，∴
所以，正整數(shù)的最小值為1001.
故選：C.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：；乙組數(shù)據(jù)為：，若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，則下列說法一定正確的是（ ）
A. 乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B. 乙組數(shù)據(jù)的極差為
C. 乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為D. 乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)、極差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)及百分位數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】不妨設(shè)甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，
則乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，
因為甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，
則，又，所以，
所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；
乙組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；
乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故C正確；
乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯誤.
故選：ABC
10. 在三棱臺中，側(cè)面是等腰梯形且與底面垂直，，，，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D. 三棱臺的體積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)面面垂直證明線面垂直，再證線線垂直，可判斷A的真假；根據(jù)兩個同高的三棱錐的體積之比等于它們的底面積之比，可判斷BC的真假；根據(jù)臺體的體積公式求出臺體體積，判斷D的真假.
【詳解】如圖：
對于A：在中，,，所以，即.
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，故A正確；
對于B：因為，，且∽，所以.
又三棱錐和 的高相同，所以，故B正確；
對于C：因為，所以，所以，即，故C錯誤；
對于D：因為三棱臺的高為1，所以三棱臺的體積為：，故D正確.
故選：ABD
11. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性和對稱性，即可判斷.
【詳解】對A：令，則；令，則.所以，故A正確；
對B：因為，
兩邊求導(dǎo)，得即；
因數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以，故成立，故B正確；
對C：因為，
所以，未必0，故C錯誤；
對D：因為，令，則，故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，的定義域均為，且，則：
（1）若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù).反之也成立.
（2）若為周期函數(shù)，則也是周期函數(shù)，且周期相同，反之未必成立.
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若，則=_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系，求得，進(jìn)而可得解.
【詳解】聯(lián)立，得，因此．
故答案為：
13. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為_________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知及是等邊三角形即可求得：,，利用橢圓定義列方程可得：，整理得：，問題得解．
【詳解】如圖，依據(jù)題意作出圖形，
由題可得：，又為等邊三角形，
由橢圓的對稱性可得：，又
計算可得：,
由橢圓定義可得：
整理得：
所以
【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，還考查了三角形中的邊、角計算，還考查了橢圓的定義應(yīng)用，考查方程思想及計算能力，屬于中檔題．
14. 現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學(xué)，各自寫了一封信，然后都投到同一個郵箱里.若甲、乙、丙3位同學(xué)分別從郵箱里隨機(jī)抽取一封信，則這3位同學(xué)抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是__________（用數(shù)字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)甲、乙、丙位同學(xué)的信件分別為、、，對、、取到的個數(shù)分四種情況討論，按照分類、分步計數(shù)原理計算可得.
【詳解】設(shè)甲、乙、丙位同學(xué)的信件分別為、、，
若、、都沒有取到，則有種不同的取法；
若、、取到一個，則有種不同的取法；
若、、取到兩個，則有種不同的取法；
若、、取到三個，則有種不同的取法；
綜上可得一共有種不同的取法.
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，滿分77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，.
（1）求的面積；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理得到，從而得到，再由面積公式計算可得；
（2）由余弦定理得到，從而得到，再由正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解.
【小問1詳解】
因為，，
由正弦定理可得，所以，
所以；
小問2詳解】
因為，又，，
所以，所以，則，
由正弦定理可得，又，
所以，顯然，所以，則，
又，所以.
16. 如圖，四棱錐底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，即可得到，設(shè)到平面的距離為，根據(jù)錐體的體積公式求出，即可得到平面，從而得證；
（2）取的中點(diǎn)，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，因為，，
所以，
又四棱錐的底面是正方形，所以，設(shè)到平面的距離為，
則，所以，
所以，即平面，又平面，所以平面平面；
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，即，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
又平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
17. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，，且，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出，再求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線的斜率，從而求出切線方程；
（2）由（1）可得，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由，可得必有一個零點(diǎn)為，再結(jié)合（2）討論可得.
【小問1詳解】
因為，
所以，，則，
所以函數(shù)在處的切線方程為；
【小問2詳解】
函數(shù)的定義域為，
且，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，則當(dāng)或時，當(dāng)時，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，則當(dāng)或時，當(dāng)時，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
因為，必有一個零點(diǎn)為，
由（1）可得，當(dāng)時只有一個零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
顯然，
當(dāng)時，則，，，
所以，
所以在上存在一個零點(diǎn)，
此時有兩個零點(diǎn)，（不妨令），且，，即，滿足；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在不存在零點(diǎn)，且一個零點(diǎn)為，則另一零點(diǎn)不可能大于，
此時不滿足，故舍去；
綜上可得實數(shù)的取值范圍為.
18. 密室逃脫是當(dāng)下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.
（1）在某個游戲環(huán)節(jié)中，需隨機(jī)選擇兩名玩家進(jìn)行對抗，若是同級的玩家對抗，雙方獲勝的概率均為；若是資深玩家與新手玩家對抗，新手玩家獲勝的概率為，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率；
（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號分別為①和②.密室①有2個門，密室②有3個門（每個門都可以雙向開），甲在每個密室隨機(jī)選擇1個門出去，若走出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號為，求的分布列.
【答案】（1）
（2）分布列見解析
【解析】
【分析】（1）先求出7人中隨機(jī)選擇2人的情況數(shù)和包含甲的情況數(shù)，分析得到6種情況中，甲和資深玩家對抗的情況有3種，和同級的玩家對抗情況有3種，分兩種情況，求出甲獲勝的概率，相加即可；
（2）設(shè)為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，為甲在密室②，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，分析得到兩個方程，求出，從而得到和，得到分布列.
【小問1詳解】
7人中隨機(jī)選擇2人，共有種情況，其中含甲的情況有種，
6種情況中，甲和資深玩家對抗的情況有3種，和同級的玩家對抗情況有3種，
則甲和資深玩家對抗并獲勝的概率為，
和同級的玩家對抗并獲勝的概率為，
故在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率為；
【小問2詳解】
設(shè)為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，
為甲在密室②，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，
考慮，需考慮甲直接從號門走出密室或者進(jìn)入密室②且最終從密室①走出密室，
故①，
考慮，則甲從號門進(jìn)行密室①，且從密室①走出密室，
故②，
聯(lián)立①②，可得，
所以，故，
故分布列如下：
19. 已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，
（i）當(dāng)，時，求證：；
（ii）求.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前項和，可構(gòu)造數(shù)列的遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項公式.
（2）先利用等差數(shù)列的前項和公式求，因為，再利用錯位相減法求和.
【小問1詳解】
當(dāng)時，.
當(dāng)時，，，
兩式相減得：.
所以是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
所以.
當(dāng)時，上式也成立.
所以數(shù)列的通項公式為：
【小問2詳解】
由題意：，
（i）當(dāng)，時，，，
.
因為，
因為，所以，
所以：.
（ii）因為，所以.
，
所以
設(shè)，
則
兩式相減得：，
所以.
即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，項數(shù)為：.
（2）當(dāng)數(shù)列是“等差等比”形式時，其前項和用“錯位相減法”求和.
1
2

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