2024.2
本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘，注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅰ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務必將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在數(shù)學答題卡，并用2B鉛筆在答題卡上的相應位置填涂考生號．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結束后，將答題卡交回．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 復數(shù)在復平面上對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 拋物線在點處的切線的斜率為（ ）
A. B. C. D. 1
4. 在中，，若，線段與交于點，則（ ）
A. B.
C. D.
5. 二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
6. 小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知橢圓的上、下焦點分別為，點在橢圓上且位于第三象限，滿足的角平分線與相交于點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 一個平面截正方體所得的截面圖形可以是（ ）
A. 等腰三角形B. 菱形C. 梯形D. 正五邊形
10. 若，則（ ）
A
B
C.
D.
11. 已知圓，橢圓，直線，點為圓上任意一點，點為橢圓上任意一點，以下的判斷正確的是（ ）
A. 直線與橢圓相交
B. 當變化時，點到直線的距離的最大值為
C.
D.
12. 函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且它的最小正周期是，已知，．下列四個判斷中，正確的有（ ）
A. 當時，的值只有0或
B. 當時，函數(shù)既有對稱軸又有對稱中心
C. 對于給定的正整數(shù)，存在，使得成立
D. 當時，對于給定的正整數(shù)，不存在且，使得成立
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13. 已知，則______．
14. 已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則______．
15. 一次考試后，學校將全體考生的成績分數(shù)繪制成頻率分布直方圖（如下圖），并按照等級劃分表（如下表）對考生作出評價，若甲考生的等級為“A”，則估計甲的分數(shù)為______．（寫出滿足條件的一個整數(shù)值即可）
16. 在如圖所示的長方形臺球桌面示意圖中，，桌面的六個網(wǎng)分別位于長方形的四個頂點及長邊中點上．現(xiàn)有三個臺球分別在三點所在的位置上，且三點共線．用球貼著桌面移動去擊球（不能碰到球），使得球沿球運動的方向徑直落入三個網(wǎng)中之一．若球和網(wǎng)近似地看成點，且臺球在桌面上為直線運動，球碰到桌邊緣后反彈符合入射角等于反射角．則球擊中球前，球移動的最短路徑的路程為______．
四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知數(shù)列滿足，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）證明：．
18. 某市隨機抽取名市民進行智能手機使用情況調(diào)查，使用5G手機（A類）和使用4G及以下或不使用手機（B類）的人數(shù)占總人數(shù)的比例統(tǒng)計如下表：
（1）若用樣本的頻率作為概率的估計值，在全體市民中任選3人，記為3人中小于60歲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）若以60歲為年齡分界，討論當取不同值時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷使用手機類型與年齡有關？
附：．
19. 在四棱雉中，四邊形為矩形，，，點為線段的中點．已知點在平面上的射影在四邊形外，且直線與平面所成的角為．
（1）設點為線段的中點，求證：；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
20. 在中，角所對的邊分別為，其中，．
（1）求角的大??；
（2）如圖，為外一點，，，求的最大值．
21. 已知雙曲線中，焦距為，且雙曲線過點．斜率不為零的直線與雙曲線交于兩點，且以為直徑的圓過點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）是否存在直線，使得點到直線距離最大？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
22 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，且滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)，）．
（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：．
等級
劃分范圍（分數(shù)由高到低）
A+
前20%（包括20%）
A
前20%~35%（包括35%）
B+
前35%~65%（包括65%）
B
前65%~85%（包括85%）
C+
前85%~95%（包括95%）
C
最后5%
A類
B類
大于或等于60歲
小于60歲
0.05
0.01
0.001
3.841
6635
10.828
2023學年順德區(qū)普通高中高三教學質量檢測（二）
數(shù)學試題
2024.2
本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘，注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅰ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務必將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在數(shù)學答題卡，并用2B鉛筆在答題卡上的相應位置填涂考生號．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結束后，將答題卡交回．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)對數(shù)的性質化簡集合，再根據(jù)集合交集的概念求解即可.
【詳解】由解得，所以，
又，所以，
故選：A
2. 復數(shù)在復平面上對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)乘方以及除法運算可得，即可判斷出結論.
【詳解】由可知，
因此復數(shù)在復平面上對應的點坐標為，位于第一象限.
故選：A
3. 拋物線在點處的切線的斜率為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出導函數(shù)，令求出即為切線的斜率.
【詳解】令，得，得
故選：D
4. 在中，，若，線段與交于點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中線性質得出，再由平面向量線性運算即可求得結果.
【詳解】如下圖所示：

由可得分別為的中點，
由中線性質可得，
又，所以，
因此.
故選：B
5. 二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】依據(jù)貶值規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列性質列不等式即可解得.
【詳解】根據(jù)題意可知，列不等式，
即，
又，可得.
故選：B
6. 小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設事件A為“小明爬到第4級臺階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級臺階”，求出，，進而計算可得答案
【詳解】根據(jù)題意，設事件A為“小明爬到第4級臺階”，
事件B為“小明走了3步爬到第4級臺階”，
事件A包含3中情況，
①走了4次1級臺階，其概率
②走了2次1級臺階，1次2級臺階，其概率，即,
③走了2次2級臺階，其概率，
故小明爬到第4級臺階概率
在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率,
故選：D
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦型函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得.
【詳解】在上，，在上，，
由題意，函數(shù)在兩個區(qū)間上最值相同，且最小值為，即兩區(qū)間左端點函數(shù)值均為最小值，
所以兩區(qū)間右端點函數(shù)值不能小于，但兩區(qū)間內(nèi)最大值相同，
如圖的部分圖象，數(shù)形結合得且，即.
故選：A
8. 已知橢圓的上、下焦點分別為，點在橢圓上且位于第三象限，滿足的角平分線與相交于點，若，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的關系，可得，再由角平分線的性質可得，由，由橢圓的定義可得，的表達式，再由余弦定理可得，的關系，進而求出離心率的值．
【詳解】因為，則，
由角平分線的性質可得，
因為，所以，
由橢圓的定義可知：，
在△，，
由余弦定理可得，
即，
整理可得：,
即，可得，
因為，所以．
故選：C．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 一個平面截正方體所得的截面圖形可以是（ ）
A. 等腰三角形B. 菱形C. 梯形D. 正五邊形
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進行比照，即可判斷選項．
【詳解】根據(jù)題意，當截面為三角形時，可能出現(xiàn)等腰三角形；如圖：
故A正確；
當B，D分別為正方體棱中點時，截面可以為菱形，如圖：
故B正確;
當C，D分別為正方體棱的中點，截面圖可以為等腰梯形，如圖：
故C正確；
當截面為五邊形，如圖，不可能是正五邊形：若截面為五邊形，則該面恰與五個面相交，而其中一定有兩組對面，
根據(jù)面面平行的性質定理，故有兩組平行邊，但正五邊形沒有平行的邊，故截面不可能是正五邊形.
故D錯誤.
故選：ABC.
10. 若，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】將，，代入判斷ACD，利用二項式展開式的通項公式判斷B即可.
【詳解】將代入得，解得，A正確；
由二項式定理可知展開式的通項為，
令得，所以，B錯誤；
將代入得，
即，C正確；
將代入得，
即①，
將代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正確；
故選：ACD
11. 已知圓，橢圓，直線，點為圓上任意一點，點為橢圓上任意一點，以下的判斷正確的是（ ）
A. 直線與橢圓相交
B. 當變化時，點到直線的距離的最大值為
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)直線過定點，可得點在橢圓內(nèi)可判斷A，根據(jù)圓心，可得出點到直線的距離的最大值判斷B，設出，利用兩點間距離公式并由二次函數(shù)性質可求得，進而可得C錯誤，D正確.
【詳解】根據(jù)題意可知圓的圓心為，半徑為，
橢圓的長軸為4，短軸為2，
直線恒過定點，
顯然點在橢圓的內(nèi)部，如下圖所示：

顯然，直線與橢圓相交，即A正確；
當變化時，易知圓心到直線的距離的最大值為，
所以點到直線距離的最大值為，即B正確；
設點滿足且，可得
又易知，
顯然
，
顯然當時，，可得，
即可得C錯誤，D正確；
故選：ABD
12. 函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且它的最小正周期是，已知，．下列四個判斷中，正確的有（ ）
A. 當時，的值只有0或
B. 當時，函數(shù)既有對稱軸又有對稱中心
C. 對于給定的正整數(shù)，存在，使得成立
D. 當時，對于給定的正整數(shù)，不存在且，使得成立
【答案】BC
【解析】
【分析】A選項，，當時，，，求出的值域為，進而得到，A錯誤；B選項，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當時，，，推出關于軸對稱，結合為奇函數(shù)，得到關于對稱，同理可得也滿足要求，B正確；C選項，推出的圖象關于點對稱，的圖象關于直線對稱，故，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，得到C正確；D選項，先得到函數(shù)的圖象關于軸對稱，在C選項基礎上，得到時，，此時，D錯誤.
【詳解】選項A，當時，，，
當時，，
當時，，
故時，的值域為，
又為奇函數(shù)，故當時，的值域為，
故，
為平移得到，故的最小正周期也為，
故函數(shù)的最小正周期為，
故函數(shù)值域為，故A錯誤；
B選項，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，
當時，，，
當時，，此時，
當時，，此時，
故，由于為連續(xù)函數(shù)，
故，故的圖象在上關于直線對稱，
又為奇函數(shù)，最小正周期為，結合圖象可知，在圖象在R上關于直線對稱，
所以，
令，則，
將用替換，有，故，
所以關于軸對稱，
又為奇函數(shù)，故，
所以，又，
故，
故，
故關于對稱，所以既有對稱軸，又有對稱中心，
當時，同理可得既有對稱軸，又有對稱中心，B正確；
C選項，取，則，
由于為奇函數(shù)，故，
又的最小正周期為，故，
即，即，
故的圖象關于點對稱，
由B選項知，的圖象關于直線對稱，故的圖象關于直線對稱，
所以，，
所以，
當為偶數(shù)時，，所以，
當為奇數(shù)時，，所以，C正確；
D選項，由于，所以成立，
，故，
即，
故在上，
又的圖象關于直線對稱，且最小正周期為，
故函數(shù)的圖象關于軸對稱，
所以，而成立，
所以，故存在成立，D錯誤.
故選：BC
【點睛】結論點睛：函數(shù)的對稱性：
若，則函數(shù)關于中心對稱，
若，則函數(shù)關于對稱，
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13. 已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)關系得到，求出.
【詳解】，
因為，所以，
故，解得.
故答案為：
14. 已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由幾何關系求出外接球和棱切球半徑，再由球的表面積公式求出表面積，最后求出比值.
【詳解】
設正三棱柱的棱長為，因為正三棱柱上下底面中心連線的中點為外接球的球心，
則外接球的半徑，，
所以，
因為，所以為棱切球的球心，則棱切球半徑，
所以.
故答案為：
15. 一次考試后，學校將全體考生的成績分數(shù)繪制成頻率分布直方圖（如下圖），并按照等級劃分表（如下表）對考生作出評價，若甲考生的等級為“A”，則估計甲的分數(shù)為______．（寫出滿足條件的一個整數(shù)值即可）
【答案】100（答案不唯一，任選其一）
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可求得，再利用成績劃分等級標準分別求出等級為“A”的分數(shù)區(qū)間，即可得出答案.
【詳解】利用頻率分布直方圖可得，解得，
成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占，在內(nèi)的人數(shù)占，
設成績排在前位的分數(shù)線為，則，解得；
設成績排在前位的分數(shù)線為，則，解得；
因此考生的等級為“A”的分數(shù)區(qū)間為，又因為分數(shù)取整數(shù)，
所以可得甲的分數(shù)所有可能取值為.
故答案為：100（答案不唯一）
16. 在如圖所示的長方形臺球桌面示意圖中，，桌面的六個網(wǎng)分別位于長方形的四個頂點及長邊中點上．現(xiàn)有三個臺球分別在三點所在的位置上，且三點共線．用球貼著桌面移動去擊球（不能碰到球），使得球沿球運動的方向徑直落入三個網(wǎng)中之一．若球和網(wǎng)近似地看成點，且臺球在桌面上為直線運動，球碰到桌邊緣后反彈符合入射角等于反射角．則球擊中球前，球移動的最短路徑的路程為______．
【答案】##
【解析】
【分析】分三種情況，結合題意，連接點與網(wǎng)中其中之一，得到直線，根據(jù)反射得到點的運動路徑，得到最小值.
【詳解】因為用球貼著桌面移動去擊球（不能碰到球），
連接并延長交于點，直線，即，
令得，，故，則為的中點，
故的反射直線為，則，
將代入中，得，故，
令得，故，為的中點，
直線經(jīng)過反射得到直線，
將代入中，得，故，
其中滿足上，
故球的軌跡為，其中，
，，
故軌跡長度為，

連接并延長，交于點，
直線的方程為，即，令得，
故，根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，
，解得，故直線，
令得，解得，故，
根據(jù)反射得到直線，將代入得，
，解得，故直線，
令得，解得，故，
根據(jù)反射得到直線，將代入得，
，解得，故直線，
令得，故，
由于，故令中的得，
故點A不在直線上，
故要想點A在直線上，也要經(jīng)過多次反射，故路徑會大于，不合要求，舍去；

連接并延長，交于點，則直線的方程為，
令得，故，
根據(jù)反射得到直線反射直線，
將代入上式得，，解得，
故直線，令得，解得，故，
根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，
，解得，故，
令得，故，
根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，
故，
由于，故令中的得，
故不在反射直線上，
故要想點A在直線上，也要經(jīng)過多次反射，故路徑會大于，不合要求，舍去；

綜上，球移動的最短路徑的路程為.
故答案為：
【點睛】新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.
四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知數(shù)列滿足，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）證明：．
【答案】（1）
（2）證明過程見解析
【解析】
【分析】（1）得到為常數(shù)列，結合得到，求出通項公式；
（2），設的前項和為，錯位相減法求和得到.
【小問1詳解】
，故為常數(shù)列，
其中，故，
故，即；
【小問2詳解】
，設的前項和為，
則①，②，
兩式①-②得，
，
故.
18. 某市隨機抽取名市民進行智能手機使用情況調(diào)查，使用5G手機（A類）和使用4G及以下或不使用手機（B類）的人數(shù)占總人數(shù)的比例統(tǒng)計如下表：
（1）若用樣本的頻率作為概率的估計值，在全體市民中任選3人，記為3人中小于60歲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）若以60歲為年齡分界，討論當取不同值時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷使用手機類型與年齡有關？
附：．
【答案】（1）分布列見解析，
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件判斷出，然后計算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根據(jù)分布列可求；
（2）由已知表格得到列聯(lián)表，將表中數(shù)據(jù)代入的計算公式并將計算結果，分類討論與比較大小，由此可知結果
【小問1詳解】
由表格可知，任取一人小于60歲的概率，
由題意可知：，的可能取值為0，1，2，3
所以，
，
，
所以的分布列為：
所以（或者）.
【小問2詳解】
因為使用5G手機（A類）和使用4G及以下或不使用手機（B類）的人數(shù)占總人數(shù)的比例統(tǒng)計如下表：
所以可得列聯(lián)表
因為，，，都是正整數(shù)，
且：：：=2:3:6:9
所以是20的正整數(shù)倍，
因為，
當時，，
當時，，
所以當且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為喜歡旅游與性別有關；
當且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為喜歡旅游與性別有無關.
19. 在四棱雉中，四邊形為矩形，，，點為線段的中點．已知點在平面上的射影在四邊形外，且直線與平面所成的角為．
（1）設點為線段的中點，求證：；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】（1）詳解見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出，即得證
（2）利用空間向量法可求得平面PAC的法向量和平面ABCD的一個法向量，利用向量的夾角公式求解即可.
【小問1詳解】
作平面ABCD，連接OA，OD，OE
所以直線與平面所成的角即為，
又因為在等腰三角形APD中，，
所以，
因為，所以，故，
以O為坐標原點，以垂直于OF所在直線，OF，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
所以
所以，
，
所以
【小問2詳解】
點，設平面PAC的法向量為 ，
則有，又，
所以，不妨令，則，
所以，
取平面ABCD的一個法向量，
則
20. 在中，角所對的邊分別為，其中，．
（1）求角的大?。?br>（2）如圖，為外一點，，，求最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理將邊化為角，可得角的方程，化簡計算，即可得到結果；
（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由余弦定理分別得到，再由基本不等式代入計算，即可得到結果.
【小問1詳解】
因為，所以，
由正弦定理，可得，
整理可得，
又因，
化簡可得，
而，則，又，則
【小問2詳解】
在中，由可得，
在中，由可得，
所以，
設，
由余弦定理，
，
可得，，
因此，
當且僅當時，即等號成立，
所以的最大值為，此時.
21. 已知雙曲線中，焦距為，且雙曲線過點．斜率不為零的直線與雙曲線交于兩點，且以為直徑的圓過點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）是否存在直線，使得點到直線的距離最大？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解雙曲線方程；
（2）方法一：設直線，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)得到，即或，分兩種情況討論，得到直線過定點，要想到直線的距離最大，則⊥，從而求出直線的方程；
方法二：齊次化求解，平移雙曲線得，設平移后的直線方程為，變形得到，根據(jù)斜率之積為-1得到則直線過定點，從而原直線過定點，要想到直線的距離最大，則⊥，從而求出直線的方程；
【小問1詳解】
由題意得，且，
又，解得，
故雙曲線方程為；
【小問2詳解】
設直線，
聯(lián)立得，
設，
則，
由題意得，
即
，
將代入上式，
，
即，
化簡得，
變形為，
故或，
當時，直線，經(jīng)過定點，與重合，不合要求，
當時，直線，經(jīng)過定點，
要想到直線的距離最大，則⊥，其中
故直線的斜率，故直線的方程為，
即.
經(jīng)檢驗，滿足要求.
方法二：平移雙曲線得，即，
設平移后的直線方程為，
則有，
即，
兩邊同除以得，
由題意得，
設，則，
則直線過定點，
將向左平移3個單位，向上平移1個單位，則原直線過定點，
要想到直線的距離最大，則⊥，其中
故直線的斜率，故直線的方程為，
即，經(jīng)檢驗，滿足要求.
【點睛】處理定點問題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設為），
（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關與的等式，
（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，
①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關系，可消去變?yōu)槌?shù).
22. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，且滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)，）．
（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：．
【答案】（1）答案見解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明過程見解析
【解析】
【分析】（1）求定義域，求導，令，根據(jù)的正負分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）（?。┰冢?）的基礎上得到，并根據(jù)得到不等式，求出，得到的取值范圍；
（ⅱ）結合，，得到，根據(jù)的范圍得到，令，，求導得到其單調(diào)性，故，要證明，只需證，結合且，放縮后得到結論.
【小問1詳解】
定義域為，
，
令，其判別式為，
若，即時，恒成立，故在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
若，解得或，
設的兩個根分別為，
解得，
當時，，，所以，且，
當時，，，
當時，，，
故在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
當時，，，所以，
則，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
綜上，當時，在上單調(diào)遞增，
當時，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
【小問2詳解】
（ⅰ）由（1）可知，，
，即，
，
兩邊平方得，
解得，負值舍去，
其中，綜上，，
實數(shù)的取值范圍為；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
將代入上式得，
，
由于，故，
所以，
因為，所以，
令，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
故，
要證明，只需證，
因為，所以，且，
所以，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：導函數(shù)處理零點或極值點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷極值點或零點個數(shù)，較為復雜和綜合的函數(shù)極值點或零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方
等級
劃分范圍（分數(shù)由高到低）
A+
前20%（包括20%）
A
前20%~35%（包括35%）
B+
前35%~65%（包括65%）
B
前65%~85%（包括85%）
C+
前85%~95%（包括95%）
C
最后5%
A類
B類
大于或等于60歲
小于60歲
0.05
0.01
0001
3.841
6.635
10.828
A類
B類
大于或等于60歲
小于60歲
A類
B類
總計
大于或等于60歲
小于60歲
總計

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