2025.1
本試卷共4頁，19小題．滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卷上的有關(guān)項目．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．
4．請考生保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求.
【詳解】因為，故，
故選：B.
2. 已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合是否為空集進(jìn)行分類討論，由此求得取值范圍.
【詳解】當(dāng)時，，滿足，
當(dāng)時，，由，
可知，
綜上所述，.
故選：D
3. 等比數(shù)列中，，設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比中項可判斷兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】因為為等比數(shù)列，故為等比數(shù)列，且三者同號，
若，則由可得，故甲是乙的充分條件；
若，則由及可得，故甲是乙的必要條件；
故甲是乙的充要條件，
故選：C.
4. 函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式可得或，故可求零點個數(shù).
【詳解】令，則，
故或，而，
所以或或或或，
故共有5個零點，
故選：B.
5. 隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式，某景區(qū)的旅游人數(shù)大約每年以的增長率呈指數(shù)增長，那么至少經(jīng)過多少年后，該景區(qū)的旅游人數(shù)翻一倍？（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件列不等式，由此quiet正確答案.
【詳解】設(shè)經(jīng)過年后，人數(shù)翻一倍，
則，
兩邊取以為底的對數(shù)得，
所以，
所以至少經(jīng)過年后，該景區(qū)的旅游人數(shù)翻一倍.
故選：B
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點表示的區(qū)域面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系來求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以不等式組表示的區(qū)域是圓與圓公共的內(nèi)部區(qū)域，
畫出圖象如下圖所示，，兩圓半徑都是，
設(shè)兩個圓相交于兩點，則，
由于，，
所以是圓的切線，是圓的切線，
同理是圓的切線，是圓的切線，
，所以四邊形是正方形，
所以區(qū)域面積為.
故選：D
7. 若直線與曲線相切，則的最小值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】通過設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值.
【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為.
對求導(dǎo)，根據(jù)，可得.
因為直線的斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，
在切點處，即.
又因為切點既在直線上又在曲線上，
所以且，即.
將代入可得：，即.
將代入可得：
，
所以當(dāng)，時，取得最小值為.
故選：A
8. 已知直線與平面所成的角為，若直線，直線，設(shè)與的夾角為，與的夾角為，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】把直線和平面放置在錐體中，然后利用異面直角夾角定義，結(jié)合三余弦定理及余弦函數(shù)的單調(diào)性得，根據(jù)二面角平面角的定義，結(jié)合最大角定理及正弦函數(shù)單調(diào)性得，即可得解.
【詳解】如圖，設(shè)斜線為直線，平面為平面，且，
由圖可知，當(dāng)恰為時，此時與的夾角為；
當(dāng)為時，，
由于，知，
故由在上單調(diào)遞減得，知.綜上可知；
由于，故是二面角所成角，即，，
由于，則，
故由在上單調(diào)遞增得，即，可知.
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 有一組成對樣本數(shù)據(jù)，，，，設(shè)，，由這組數(shù)據(jù)得到新成對樣本數(shù)據(jù)，下面就這兩組數(shù)據(jù)分別先計算樣本相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)最小二乘法計算經(jīng)驗回歸直線，最后計算出殘差平方和，則（ ）
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．相關(guān)系數(shù)．
A. 兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同B. 兩組數(shù)據(jù)的殘差平方和相同
C. 兩條經(jīng)驗回歸直線的斜率相同D. 兩條經(jīng)驗回歸直線的截距相同
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用公式求相關(guān)系數(shù)，通過對公式的理解，可以作出判斷.
【詳解】由于新成對樣本數(shù)據(jù)，
其平均數(shù)分別為，
同理，
這樣根據(jù)公式，
用樣本數(shù)據(jù)減去平均數(shù)得與新成對數(shù)據(jù)，
用樣本數(shù)據(jù)減去平均數(shù)得與新成對數(shù)據(jù)，
即它們每一個對應(yīng)數(shù)據(jù)的差值都是一樣的，
這就說明兩條經(jīng)驗回歸直線的斜率相同，兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同， 故A、C正確；
由于回歸直線經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)的樣本點為，而新數(shù)據(jù)的樣本點為，
即樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，而新數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，
故兩條經(jīng)驗回歸直線的截距不相同，故D錯誤；
由于樣本數(shù)據(jù)回歸直線和新數(shù)據(jù)回歸直線是平行關(guān)系，所以實際值與估計值的差的平方和應(yīng)該是相同的，即兩組數(shù)據(jù)的殘差平方和相同，故B正確；
故選：ABC.
10. 在中，，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量為D. 若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項對題干條件直接根據(jù)數(shù)量積定義，化簡成，然后根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化求解；B選項利用兩角和的正切公式求解；C選項結(jié)合正弦定理，投影向量公式求解；D選項根據(jù)正弦定理算出三邊長度之后根據(jù)數(shù)量積定義求解.
【詳解】A選項，對于，根據(jù)數(shù)量積的定義展開可得，，
即，即，由正弦定理，，
即，則為銳角，由，
解得，，A選項正確，
B選項：由A選項和題干可知，，
，故，B選項錯誤.
C選項：在方向上的投影向量為，
由B知，，，且，解得，
由正弦定理，，則，C選項正確.
D選項：由正弦定理，，即，解得，
于是，，D選項錯誤.
故選：AC
11. 已知定義域為的函數(shù)滿足，且，為的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A. 為偶函數(shù)B. 為周期函數(shù)
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】通過對給定的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行賦值等操作來分析函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷各個選項的正確性，從而確定正確答案.
【詳解】令，代入可得：
，即，所以，
令，則，即，
令得，
以替換，則，
以替換，則，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).
令，則，即，
所以是偶函數(shù)，A選項正確.
因為是周期為的周期函數(shù)，對兩邊求導(dǎo)得：
，即.
替換，則.
以替換，則，
所以是周期為的周期函數(shù)，B選項正確.
由的周期為，且，，，.
，C選項錯誤.
因為的周期為，，所以.
又，兩邊求導(dǎo)得，即，
所以
而，令，
可得，即，.
對兩邊求導(dǎo)得，令，得.
對兩邊對求導(dǎo)，
得，
即
令，
可得，所以，則，D選項正確.
故選：ABD
【點睛】方法點睛：
對于抽象函數(shù)性質(zhì)的研究，賦值法是一種重要手段，通過合理選取賦值，能夠挖掘出函數(shù)的奇偶性、周期性等關(guān)鍵性質(zhì).
函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間存在緊密聯(lián)系，對函數(shù)等式兩邊求導(dǎo)，能從函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，反之亦然.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 的展開式中的系數(shù)是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).
【詳解】的展開式的通項公式為，
的展開式的通項公式為，
令，則的展開式中的系數(shù)為，
的展開式中的系數(shù)為，
故的展開式中的系數(shù)為，
故答案為：.
13. 記的內(nèi)角的對邊分別為且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】切化弦后結(jié)合正余弦定理可得，故可求.
【詳解】因，
故，
所以，
整理得到：，故，
故答案為：.
14. 直線過雙曲線的左焦點，交的漸近線于兩點．若，且，則的離心率為______．
【答案】
【解析】
【分析】先判斷出直線的斜率，由此求得直線的方程，通過聯(lián)立方程求得兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)比例列方程，化簡求得雙曲線的離心率.
【詳解】雙曲線的左焦點F?c,0，到漸近線的距離為
所以直線與漸近線垂直，所以直線的斜率為，
直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立，消去并化簡得點橫坐標(biāo)為.
聯(lián)立，消去并化簡得點橫坐標(biāo).
因為，所以.
即，，
，.
，
，
，
，
，，
又因為，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：
【點睛】方法點睛：
利用雙曲線焦點到漸近線的距離與已知條件建立聯(lián)系，確定直線與漸近線的位置關(guān)系，進(jìn)而得到直線方程，這是解決本題的關(guān)鍵之一.
通過聯(lián)立直線與漸近線方程求出交點坐標(biāo)，再結(jié)合向量關(guān)系列出等式，最后利用雙曲線的基本性質(zhì)和離心率公式求解離心率，這是處理此類雙曲線與直線、向量綜合問題的常見方法.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，直三棱柱的體積為，側(cè)面是邊長為1的正方形，，點分別在棱上．
（1）若分別是的中點，求證：平面；
（2）若，，求．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，可得，根據(jù)線面平行的判定定理可證平面；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量的垂直表示可求的坐標(biāo)，從而可求.
【小問1詳解】
如圖，連接，則彼此平分，而為的中點，
故為的中點，而為的中點，故，
而平面，平面，故平面.
【小問2詳解】
由直三棱柱的體積為可得，
而，故，而為三角形內(nèi)角，故，
故即，結(jié)合直三棱柱可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，，
則，而，
由，可得，解得.
故，故
16. ACE球是指在網(wǎng)球?qū)种校环桨l(fā)球，球落在有效區(qū)內(nèi)，但接球方卻沒有觸及到球而使發(fā)球方直接得分的發(fā)球．甲、乙兩人進(jìn)行發(fā)球訓(xùn)練，規(guī)則如下：每次由其中一人發(fā)球，若發(fā)出ACE球，則換人發(fā)球，若未發(fā)出ACE球，則兩人等可能地獲得下一次發(fā)球權(quán)．設(shè)甲，乙發(fā)出ACE球的概率均為，記“第次發(fā)球的人是甲”．
（1）證明：；
（2）若，，求和．
【答案】（1）證明見解析
（2）,
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件概率的意義可證明；
（2）利用（1）中的結(jié)果可求，結(jié)合全概率公式可得，利用構(gòu)造法可求.
【小問1詳解】
若第次為甲發(fā)球條件下第次還是甲發(fā)球，
則第次甲沒有發(fā)出ACE球，故此時，
若第次不是甲發(fā)球的條件下第次是甲發(fā)球，
（1）乙發(fā)ACE球，則第次是甲發(fā)球；
（2）乙沒有發(fā)出ACE球，則有的概率第次是甲發(fā)球；
故，
故.
【小問2詳解】
，,
故，所以即，
所以，
故
而，故為等比數(shù)列，
故即.
17. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時，討論關(guān)于的方程的實根個數(shù)；
（2）當(dāng)時，證明：對于任意的實數(shù)，都有．
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合圖象確定正確答案.
（2）將要證明的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來證得不等式成立.
【小問1詳解】
當(dāng)時，
方程解的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為與y=fx有交點的個數(shù)，
y=fx的定義域為，
令f′x>0得，令f′x

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