一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.命題“，”的否定為（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.對(duì)于函數(shù)，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是偶函數(shù)”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.已知實(shí)數(shù)，，，若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A.B.C.D.
5.若，則（ ）
A.B.C.D.
6.函數(shù)的圖象大致是（ ）
A.B.C.D.
7.若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A.有最大值為B.有最小值為
C.有最小值為D.有最大值為
8.自“ChatGPT”橫空出世，全球科技企業(yè)抓起一場(chǎng)研發(fā)AI大模型的熱潮，隨著AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大規(guī)模應(yīng)用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意、虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領(lǐng)域已出現(xiàn)較為成熟的落地應(yīng)用.Sigmid函數(shù)和Tanh函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，Tanh函數(shù)的解析式為，經(jīng)過某次測(cè)試得知，則當(dāng)把變量減半時(shí)，（ ）
A.B.C.D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9.下列說法正確的是（ ）
A.已知，則；
B.已知，則；
C.已知一次函數(shù)滿足，則；
D.定義在上的函數(shù)滿足，則
10.定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，下列函數(shù)中，是在其定義域上的有界函數(shù)的有（ ）
A.B.
C.D.（表示不大于的最大整數(shù)）
11.已知函數(shù)，則（ ）
A.B.
C.D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.________.
13.設(shè)函數(shù)，若，則的值________.
14.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（本小題13分）已知集合，集合.
（1）若是成立的必要不充分條件，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
16.（本小題15分）銷售甲、乙兩種商品所得利潤(rùn)分別是，萬元，它們與投入資金萬元的關(guān)系分別為，（其中，，都為常數(shù)），函數(shù)，對(duì)應(yīng)的曲線，如圖所示.
（1）求函數(shù)與的解析式；
（2）若該商場(chǎng)一共投資10萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，求該商場(chǎng)所獲利潤(rùn)的最大值.
17.（本小題15分）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)，的值：
（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18.（本小題17分）已知關(guān)于的不等式.
（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；
（2）求關(guān)于的不等式的解集.
19.（本小題17分）若函數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“倒函數(shù)”.
（1）判斷函數(shù)和是否為“倒函數(shù)”（不必說明理由）；
（2）若為“倒函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，的值；
（3）若（恒為正數(shù)），其中是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，求證：是“倒函數(shù)”.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查交集運(yùn)算、利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題.
化簡(jiǎn)集合，，利用交集的概念，即可求出結(jié)果.
【解答】
解：因?yàn)椋?br>，
所以.
故選B.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查命題的否定，全稱量詞命題與存在量詞命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.
直接利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題寫出結(jié)果即可.
【解答】
解：因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，
所以命題“，”的否定是命題：，.
故選C.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查偶函數(shù)的定義、判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的條件問題常用判斷是否相互推出，利用條件的定義得到結(jié)論，是中檔題。
通過舉反例判斷出前面的命題推不出后面的命題；利用偶函數(shù)的定義，后面的命題能推出前面的命題；利用充要條件的定義得到結(jié)論。
【解答】
解：例如滿足的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，但不是偶函數(shù)，
“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”推不出“是偶函數(shù)”，
“是偶函數(shù)”，，
，為偶函數(shù)
“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”，
“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是偶函數(shù)”的必要而不充分條件.
故選：B.
4.【答案】D
【解析】解：由題知，
不妨取，，，
則有，，
故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；
關(guān)于選項(xiàng)C，
不妨取，，，，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
關(guān)于選項(xiàng)D，，，，
故選項(xiàng)D正確.
故選：D.
由不妨取特殊值將選項(xiàng)A，B，C排除，關(guān)于D，由，即有，取倒數(shù)即可證明選項(xiàng)正誤.
本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由，，，，均大于0.通過作商法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.
【解答】
解：，.
，，均大于0.
，，，，
即.
，，，，
即..
故選C.
6.【答案】A
【解析】【分析】本題考查了函數(shù)定義域與值域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的應(yīng)用和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型，屬于基礎(chǔ)題.
利用函數(shù)定義域與值域得，排除B，再利用偶函數(shù)圖象的特征，結(jié)合特例，排除C，當(dāng)近于正無窮時(shí)，趨近近于0，排除D，從而得結(jié)論.
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，因此排除B；
又因?yàn)椋?，即?br>所以函數(shù)不是偶函數(shù)，因此排除C；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)近于正無窮時(shí)，和都當(dāng)近于正無窮，
但是增大的速度大于增大的速度，
所以當(dāng)趨近于0，因此排除D.
故選A.
7.【答案】D
【解析】解：，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，A正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故B正確；
，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，這與，均為正實(shí)數(shù)矛盾，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
利用基本不等式求最值逐一分析即可.
本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題.
根據(jù)題意，由得到求解.
【解答】
解：，
，，（舍）.
，
所以.
故選：A.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本題考查了函數(shù)的解析式，是基礎(chǔ)題.
根據(jù)函數(shù)解析式的求法逐一判定即可.
【解答】
解：A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，，
由，可得，
所以，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，設(shè)，
則，
所以，解得或，
所以或，所以C選項(xiàng)不正確；
對(duì)于D，由可得，
所以由可得，D選項(xiàng)正確.
故選ABD.
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本題考查函數(shù)的新定義，指數(shù)函數(shù)的值域，屬于中檔題.
根據(jù)已知的新定義，逐項(xiàng)判斷是否存在常數(shù)，對(duì)任意，都有成立即可.
【解答】
解：對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
即對(duì)于任意，，
所以存在常數(shù)，使得成立，故為有界函數(shù)；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知可以無窮大，
所以對(duì)于任意，不存在常數(shù)，使得成立，故不為有界函數(shù)；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知可以無窮大，所以可以無窮小，所以不存在常數(shù)，使得成立，故不為有界函數(shù)；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，
所以存在常數(shù)，使得成立，故為有界函數(shù).
故選AD
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)各命題進(jìn)行逐一判定即可.
【解答】
解：A、，故A正確；
B、，故B不正確；
C、C選項(xiàng)，，因?yàn)?，函?shù)單調(diào)遞增，故，則，故C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，，，因?yàn)椋鶕?jù)均值不等式得，即，故D選項(xiàng)正確.
故選ACD.
12.【答案】1
【解析】【分析】
本題主要考查指數(shù)冪運(yùn)算的應(yīng)用，熟悉對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
利用指對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算可得結(jié)果.
【解答】
解：原式，
故答案為1.
13.【答案】3
【解析】【分析】
本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.
分段得關(guān)于的方程，解方程可得的值.
【解答】
解：當(dāng)時(shí)，，得，舍去；
當(dāng)時(shí)，，得，符合要求.
故答案為3.
14.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查由函數(shù)的值域求參，考查學(xué)生推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
利用條件計(jì)算出和，再對(duì)的單調(diào)性進(jìn)行討論，得到的取值范圍.
【解答】
解：解方程，
解得或，
解方程，解得，
由于函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
則或，
此時(shí)取得最小值2；
若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，且當(dāng)取最大值時(shí)，，
所以的最大值為4.
所以的取值范圍是.
15.【答案】解：（1）由是成立的必要不充分條件，得集合真包含于集合，
則或，解得或，
所以的取值范圍是.
（2）依題意，，由，得，
則，解得，
所以的取值范圍是.
【解析】（1）利用必要不充分條件的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解即得.
（2）求出，結(jié)合已知可得，進(jìn)而列式求解即可.
本題考查充分必要條件與集合間的關(guān)系，屬于中檔題.
16.【答案】解：（1）由題意，解得，，
，，
又由題意，得，.
（2）設(shè)銷售甲商品投入資金萬元，利潤(rùn)為萬元，則乙投入萬元，
由（1）得，，
令，，則有，
，，
當(dāng)，即時(shí)，取最大值，
答：該商場(chǎng)所獲利潤(rùn)的最大值為萬元.
【解析】本題考查了函數(shù)模型的構(gòu)建以及換元法、配方法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題.
（1）根據(jù)所給的圖象知，列出關(guān)于，的方程組，解出，的值，同理解出的值，即可得到函數(shù)、的解析式；
（2）對(duì)甲種商品投資（萬元），對(duì)乙種商品投資（萬元），根據(jù)公式可得甲、乙兩種商品的總利潤(rùn)（萬元）關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；再利用配方法確定函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求得總利潤(rùn)的最大值.
17.【答案】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，即，則.
又因?yàn)槎?br>，
當(dāng)，時(shí)，
，符合題意，
故，；
（2）由（1）知，
，在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞減，
則在上為減函數(shù)，
又是奇函數(shù)，由得：
，
，即在上有解，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
在上的最大值為－2，
，即，.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及不等式恒成立問題，屬于一般題.
（1）由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可知，則可求出.再令，可求出，；
（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知不等式成立，即為在上有解，此而可求出答案.
18.【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)，
因?yàn)榈慕饧癁椋?br>所以方程的兩個(gè)根為，，
由根與系數(shù)關(guān)系得：，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.
（2），
當(dāng)時(shí)，不等式，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為：，1.
①時(shí)，，故不等式的解集為；
②時(shí)，，不等式的解集為；
③時(shí)，，不等式的解集為.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
【解析】本題考查了一元二次不等式的解法，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，分類討論的數(shù)學(xué)思想.屬于較難題.
（1）由已知得1與是方程的根，利用韋達(dá)定理，即可得解；
（2）因式分解得，討論的正負(fù)以及1與的大小，即可得解.
19.【答案】解：（1）依題意，函數(shù)為“倒函數(shù)”，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的定義域?yàn)椋@然－1在定義域內(nèi)，而1不在定義域內(nèi)，即不是“倒函數(shù)”，函數(shù)定義域?yàn)椋?，即不是“倒函?shù)”，所以函數(shù)和都不是“倒函數(shù)”.
（2）顯然，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又是倒函數(shù)，于是得，則，又，解得，，所以實(shí)數(shù)、的值分別為，.
（3）證明：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則它們的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，依題意，的定義域是函數(shù)與定義域的交集，也必關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，因此，，所以是倒函數(shù).
【解析】（1）求出函數(shù)定義域即可判斷；利用給定定義計(jì)算判斷即可作答.
（2）利用給定定義直接計(jì)算可得、的值.
（3）探討的定義域，再利用給定的定義計(jì)算即可作答.
本題主要考查函數(shù)的新定義，屬于中檔題.

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