1．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則的最小值為（ ）
A．6B．8C．9D．10
3．加強(qiáng)學(xué)生心理健康工作已經(jīng)上升為國(guó)家戰(zhàn)略，為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，W區(qū)心理協(xié)會(huì)派遣具有社會(huì)心理工作資格的3位專(zhuān)家去定點(diǎn)幫助5名心理特異學(xué)生.若要求每名學(xué)生只需一位專(zhuān)家負(fù)責(zé)，每位專(zhuān)家至多幫助兩名學(xué)生，則不同的安排方法共有（ ）種
A．90B．125C．180D．243
4．表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A．B．C．D．
5．拋物線C：的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，P為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，線段PF與拋物線交于M點(diǎn)，若是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，則（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，是圓上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為的右焦點(diǎn)，的離心率為2，若為右支上一點(diǎn)，，記，則（ ）
A．B．1C．D．2
二、多選題（20分）
9．下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)說(shuō)法中正確的是（ ）
A．兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱
B．設(shè)隨機(jī)變量，若，則
C．在回歸分析中，為0.89的模型比為0.98的模型擬合得更好
D．某人解答10個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題數(shù)為，則
10．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．
C．D．若，則
11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．直線的斜率是
C．線段的中點(diǎn)到軸的距離是D．的面積是
12．在三棱錐中，平面為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），與平面所成的角為，則（ ）
A．的最小值為B．的最大值為
C．有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．所有滿足條件的線段形成的曲面面積為
三、填空題（20分）
13．的展開(kāi)式中的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）．
14．函數(shù)的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為 .
15．若關(guān)于x的方程在區(qū)間上至少有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
16．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍為 .
四、解答題（70分）
17．在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，為在方向上的投影向量．
(1)求；
(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
18．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，證明：．
19．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，．

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)H，使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
20．某連鎖餐飲公司為了解顧客的用餐體驗(yàn)，要求各分公司對(duì)本地顧客進(jìn)行了大量的電話訪談，并邀請(qǐng)顧客對(duì)用餐體驗(yàn)評(píng)分，分值設(shè)定范圍為0~100分.其中北京、太原分公司針對(duì)本地顧客的訪談結(jié)果及評(píng)分進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到如下評(píng)分的頻率分布表：
請(qǐng)根據(jù)上述信息，回答下列問(wèn)題：
(1)若兩個(gè)分公司分別訪談了500位顧客，設(shè)評(píng)分為70分以上的為評(píng)價(jià)滿意，否則記作評(píng)價(jià)不滿意，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析評(píng)價(jià)滿意與否和分公司所在地是否有關(guān)聯(lián)；
(2)現(xiàn)太原分公司邀請(qǐng)了2位評(píng)價(jià)滿意和2位評(píng)價(jià)不滿意的本地顧客，北京分公司從大量的本地受訪顧客中隨機(jī)邀請(qǐng)了3位，這7位顧客受邀參加總公司的試餐活動(dòng).活動(dòng)后，總公司又從這兩個(gè)分公司邀請(qǐng)的顧客中各隨機(jī)邀請(qǐng)了2位顧客作為顧問(wèn).設(shè)這4位顧問(wèn)中原評(píng)價(jià)為滿意的人數(shù)為，求的分布列.
附：，其中.
21．已知函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
22．已知，M為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)若，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交曲線E于P，Q（不同于A，B）兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ的斜率分別記為，，求證：為定值，并求出定值.
江西省宜春市宜豐縣宜豐中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)參考答案
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D
6．B【詳解】解：設(shè)，則，所以，
因?yàn)?，所以?dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最大值，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在圓上，求的最大值，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，設(shè)點(diǎn)所在的直線為，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，
所以圓心到直線的距離不大于半徑，即，所以，解得，即，
所以，所以的最大值是12，故選：B
7．A【詳解】設(shè)，，則，則在單調(diào)遞增，故，即，則，且.，且所以，
則；因?yàn)?，則，則，
所以，由，則，即.
所以.故選：A
8．A【詳解】設(shè)的焦距為，點(diǎn)，由的離心率為2可知，因?yàn)椋?，將代入的方程得，即，所以，故．故選:A．
9．BD 10．ABD
11．ACD【詳解】由題意可得直線的斜率不為0，則可設(shè)直線，聯(lián)立整理得，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，則，即，解得，因?yàn)?，所以，解得，則A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則直線的斜率是，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以直線的斜率大于0，所以直線的斜率是，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，即線段的中點(diǎn)到軸的距離是，則C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則的面積，故D正確.故選：ACD.
12．ACD【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，所以，取的中點(diǎn)，則，所以平面，過(guò)作于，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面，所以為與平面所成的角的平面角（或補(bǔ)角），因?yàn)槠矫?，平面，則，又在中，，則，所以，
因?yàn)?，所以，，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，以為半徑的圓在內(nèi)部的一部分，如圖，所以的最小值為，故正確；由于軌跡圓部分在平面外部，所以的最大值不等于，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妫矫?，所以，若，則點(diǎn)在線段上，有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足題意，故C正確；動(dòng)線段形成的曲面為圓錐側(cè)面積的一部分，易知三棱錐是正三棱錐，平面，故為等邊的中心，所以，
因?yàn)?，所以，因?yàn)椋郧婷娣e為圓錐側(cè)面面積的，圓錐側(cè)面積為，所以所有滿足條件的動(dòng)線段形成的曲面面積為，故D正確.故選：ACD.
13． 14．1
15．【詳解】因?yàn)椋?br>.
所以由得，
即.當(dāng)時(shí)，無(wú)解，即.下面討論方程，在上至少有一個(gè)實(shí)根的情況：因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間上至少有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以，得且方程，在上至少有一個(gè)實(shí)根.
令，則.當(dāng)時(shí)，，方程不成立；當(dāng)時(shí).
令，易知在上單調(diào)遞減，得，
在上也單調(diào)遞減，得，所以，使得方程在上至少有一個(gè)實(shí)根要滿足，在上至少有一個(gè)實(shí)根要滿足.綜上所述，方程在區(qū)間上至少有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.
16．【詳解】設(shè)，則.顯然當(dāng)靠近右頂點(diǎn)時(shí)，，所以存在點(diǎn)使等價(jià)于，在中由余弦定理得，即，解得 ，同理可得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由得，所以.
17．(1) (2)
【詳解】（1）由為在方向上的投影向量知，，所以，
由正弦定理得，又，所以，又．所以；
（2）由正弦定理得．所以
，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故的周長(zhǎng)的取值范圍是．
18．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，則，當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，顯然符合，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）知，，所以.
19．【詳解】（1）連接交于M，，，，，
，，又平面，平面，平面．
（2）設(shè)線段上存在一點(diǎn)H，使得與平面所成角的余弦值為，即與平面所成角的正弦值為，設(shè)，取中點(diǎn)O，連接，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，
底面，∵，，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則令，則，∴平面的一個(gè)法向量為，又，，又，，設(shè)與平面所成角，則，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
故在線段上存在一點(diǎn)H，使得與平面所成角的余弦值為，或
20．【詳解】（1）由題意及表格得，北京分公司顧客用餐體驗(yàn)評(píng)價(jià)滿意的有人，則不滿足的有人，太原分公司顧客用餐體驗(yàn)評(píng)價(jià)滿意的有人，則不滿足的有人，填寫(xiě)列聯(lián)表如下：零假設(shè)為：評(píng)價(jià)滿意與否和分公司所在地相互獨(dú)立，即兩個(gè)分公司的評(píng)價(jià)滿意沒(méi)有差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有充分證據(jù)推斷不成立，所以認(rèn)為評(píng)價(jià)滿意與否和分公司所在地有關(guān)聯(lián).
（2）由題意及（1）得，所有可能的取值為0，1，2，3，4.；；；
；所以的分布列如下：
21．【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，得，令，則，
令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以，所以．
（2），兩式相減，得．令，則，故，記，則，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由于，所以當(dāng)時(shí)，，所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即，而，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即．
22．【詳解】（1）由題可知，則的軌跡是實(shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)為即的雙曲線的右支，則，所以曲線的方程為：(或).
（2）由題可知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線斜率存在且不為，則設(shè)斜率為，
所以直線的方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立 ，可得，
則 ，可得，即或，
則
，所以為定值，定值為.北京分公司顧客用餐體驗(yàn)評(píng)分統(tǒng)計(jì)
分值區(qū)間
頻率
0.01
0.04
0.05
0.2
0.1
0.15
0.25
0.1
0.05
0.05
太原分公司顧客用餐體驗(yàn)評(píng)分統(tǒng)計(jì)
分值區(qū)間
頻率
0.01
0.01
0.02
0.06
0.1
0.2
0.2
0.25
0.1
0.05
評(píng)價(jià)滿意
評(píng)價(jià)不滿意
合計(jì)
北京
太原
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
評(píng)價(jià)滿意
評(píng)價(jià)不滿意
合計(jì)
北京
100
400
500
太原
200
300
500
合計(jì)
300
700
1000
0
1
2
3
4
P

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