2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想：體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難轉(zhuǎn)簡(jiǎn)，把不熟轉(zhuǎn)熟，把未知轉(zhuǎn)為已知的問題。
第26講 圓的相關(guān)概念及性質(zhì)
目 錄
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157234086" \l "_Tc157028086" 一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu)
\l "_Tc157234087" 考點(diǎn)一 圓的相關(guān)概念
\l "_Tc157234088" 題型01 理解圓的相關(guān)概念
\l "_Tc157234089" 題型02 圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算
\l "_Tc157234090" 題型03 圓中的角度計(jì)算
\l "_Tc157234091" 題型04 圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算
\l "_Tc157234092" 題型05 求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值
\l "_Tc157234093" 考點(diǎn)二 圓的性質(zhì)
\l "_Tc157234094" 題型01 由垂徑定理及推論判斷正誤
\l "_Tc157234095" 題型02 利用垂徑定理求解
\l "_Tc157234096" 題型03 根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解
\l "_Tc157234097" 題型04 根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解
\l "_Tc157234098" 題型05 在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)
\l "_Tc157234099" 題型06 利用垂徑定理求平行弦問題
\l "_Tc157234100" 題型07 利用垂徑定理求同心圓問題
\l "_Tc157234101" 題型08 垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用
\l "_Tc157234102" 題型09 利用垂徑定理的推論求解
\l "_Tc157234103" 題型10 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc157234104" 題型11 利用垂徑定理求取值范圍
\l "_Tc157234105" 題型12 利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤
\l "_Tc157234106" 題型13 利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度
\l "_Tc157234107" 題型14 利用弧、弦、圓心角關(guān)系求線段長(zhǎng)
\l "_Tc157234108" 題型15 利用弧、弦、圓心角關(guān)系求周長(zhǎng)
\l "_Tc157234109" 題型16 利用弧、弦、圓心角關(guān)系求面積
\l "_Tc157234110" 題型17 利用弧、弦、圓心角關(guān)系求弧的度數(shù)
\l "_Tc157234111" 題型18 利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小
\l "_Tc157234112" 題型19 利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值
\l "_Tc157234113" 題型20 利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明
\l "_Tc157234114" 題型21 利用圓周角定理求解
\l "_Tc157234115" 題型22 利用圓周角定理推論求解
\l "_Tc157234116" 題型23 已知圓內(nèi)接四邊形求角度
\l "_Tc157234117" 題型24 利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值
\l "_Tc157234118" 題型25 利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明
\l "_Tc157234119" 題型26 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題
\l "_Tc157234120" 題型27 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題
\l "_Tc157234121" 題型28 利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍
\l "_Tc157234122" 題型29 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題
\l "_Tc157234123" 題型30 圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時(shí), 常添加弦心距
\l "_Tc157234124" 題型31 圓有關(guān)的常見輔助線-遇到有直徑時(shí), 常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角
考點(diǎn)一 圓的相關(guān)概念
題型01 理解圓的相關(guān)概念
【例1】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）下列說法中，正確的是（ ）
①對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對(duì)角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④弧分為優(yōu)弧和劣弧．
A．①B．①③C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】根據(jù)菱形和矩形的判定方法、圓周角定理、弧的分類，逐項(xiàng)判斷即可得出答案．
【詳解】解：①對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故該項(xiàng)正確；
②對(duì)角線相等的四邊形有可能是等腰梯形，對(duì)角線相等的平行四邊形才是矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；
綜上可知，正確的有①，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形、矩形的判定，圓周角定理，弧的分類，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說法中，正確的是（ ）
A．過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦D．圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸
【答案】D
【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：A、過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定能作一個(gè)圓，故錯(cuò)誤，不符合題意；
B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故錯(cuò)誤，不符合題意；
D、圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)性質(zhì)及定義，難度不大．
【變式1-2】（2021·河南南陽·校聯(lián)考一模）下列關(guān)于圓的說法，正確的是（ ）
A．弦是直徑，直徑也是弦
B．半圓是圓中最長(zhǎng)的弧
C．圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸
D．過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓
【答案】C
【分析】根據(jù)弧、弦的概念、對(duì)稱軸的概念、過三點(diǎn)的圓的條件判斷即可．
【詳解】解：A、弦不一定是直徑，但直徑是弦，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、半圓小于優(yōu)弧，半圓是圓中最長(zhǎng)的弧說法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；
C、圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，本選項(xiàng)說法正確，符合題意；
D、過不在同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)，靈活運(yùn)用它們解答．
【變式1-3】（2022·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）下列語句中，正確的是（ ）
①相等的圓周角所對(duì)的弧相等；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．
A．①②B．②③C．②④D．④
【答案】C
【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理判斷．
【詳解】①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，本說法錯(cuò)誤；
②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，本說法正確；
③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，本說法錯(cuò)誤；
④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，本說法正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
題型02 圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算
【例2】（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┻m時(shí)的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個(gè)同心圓，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周圍圓環(huán)面積約為（ ）

A．40000πB．1600πC．64000πD．160000π
【答案】D
【分析】圓環(huán)的面積等于大圓面積減去小圓面積，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)同心圓的圓心為O，連接OC，則大圓的半徑為OC，小圓的半徑為OB，

∴設(shè)小圓的半徑為OB=r，大圓的半徑OC=R，
∵BC=400像素，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，OB2+BC2=OC2，即r2+BC2=R2，
∴R2?r2=BC2=4002，
∵S圓環(huán)=πR2?πr2=π(R2?r2)，
∴S圓環(huán)=π(R2?r2)=π×BC2=π×4002=160000π，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與直角三角形的綜合，掌握?qǐng)A環(huán)面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？家荒＃┠彻珗@計(jì)劃砌一個(gè)形狀如圖（1）所示的噴水池，后來有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊沿（ ）
A．圖（1）需要的材料多B．圖（2）需要的材料多
C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多D．無法確定
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，將每個(gè)圓的周長(zhǎng)計(jì)算出來，找到和周長(zhǎng)L的關(guān)系即可．
【詳解】設(shè)大圓的直徑是D，圖（2）中三個(gè)小圓的直徑分別為：d1,d2,d3,
∴d1+d2+d3=D
根據(jù)圓周長(zhǎng)公式，得圖（1）中，需要2πD；
圖（2）中，需要πD +πd1+πd2+πd3=πD +π( d1+d2+d3)= 2πD
故選：C．
【點(diǎn)睛】注意：第二個(gè)圖中，計(jì)算三個(gè)小圓的周長(zhǎng)時(shí)候，提取π，所有的直徑之和是大圓的直徑．
【變式2-2】（2021·河南南陽·校聯(lián)考一模）方孔錢是我國(guó)古代銅錢的固定形式，呈“外圓內(nèi)方”．如圖所示，是方孔錢的示意圖，已知“外圓”的周長(zhǎng)為2π，“內(nèi)方”的周長(zhǎng)為4，則圖中陰影部分的面積是 ．
【答案】π﹣1
【分析】根據(jù)陰影部分面積＝圓的面積﹣中間正方形的面積即可求得．
【詳解】解：∵“外圓”的周長(zhǎng)為2π，“內(nèi)方”的周長(zhǎng)為4，
∴“外圓”的的半徑為1，“內(nèi)方”的邊長(zhǎng)為1，
∴圓的面積為π，中間正方形的面積為1，
∴圖中陰影部分面積為：π﹣1．
故答案為：π﹣1．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的面積，明確陰影部分面積的組成是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的 倍．（精確到個(gè)位）
【答案】14
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求圓的半徑和正方形的邊長(zhǎng)，利用面積公式求解即可.
【詳解】解：如圖
由題意得AC與EF共線
∵圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1
∴EF：AC=3：1
∴OE：OA=3：1
設(shè)OE=3x，OA= x
在正方形ABCD中
由勾股定理得：AD=2x
∴圓的面積為：π×（3x）2=9πx2
正方形的面積為（2x）2=2 x2
∴9πx2÷2 x2=9π2≈14
故答案為：14
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，以及圓與正方形的面積公式的求解.
【變式2-4】（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？家荒＃┌岩粋€(gè)圓心為O，半徑為r的小圓面積增加一倍，兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個(gè)圓（包括原來的小圓），則這四個(gè)圓的周長(zhǎng)之比（按從小到大順序排列）是 ．
【答案】1：2：3：2
【分析】設(shè)最小的圓的面積是a，則其它三個(gè)圓的面積分別是2a，3a，4a．由題意得四個(gè)圓是相似形，根據(jù)面積比可求得其相似比，根據(jù)周長(zhǎng)比等于相似比即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)最小的圓的面積是a，則其它三個(gè)圓的面積分別是2a，3a，4a，
所有的圓都是相似形，面積的比等于半徑的比的平方，
因而半徑的比是1:2:3:2，周長(zhǎng)的比等于相似比，即半徑的比，是1:2:3:2．
故答案為：1:2:3:2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓相似形時(shí)，解題的關(guān)鍵是：掌握面積的比等于相似比的平方，周長(zhǎng)的比等于相似比．
題型03 圓中的角度計(jì)算
【例3】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，點(diǎn)C在弦AB上，連接CO并延長(zhǎng)CO交于⊙O于點(diǎn)D，∠D=20°，則∠BAD的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】連接OA，根據(jù)圓的半徑相等證明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．
【詳解】解：連接OA，
∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的半徑相等和等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則∠ABD的度數(shù)為（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【答案】D
【分析】連接OB，即得出OB＝OD，從而得出∠OBD＝∠ODB．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可判斷∠OBC＝30°，再利用平行線的性質(zhì)可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．
【詳解】如圖：連接OB，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵OC＝12OD，
∴OC＝12OB．
∵OC⊥AB，
∴sin∠OBC=OCOB=12,
∴∠OBC＝30°．
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·河北廊坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是⊙O的直徑，弦DE ∥AO，若∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性質(zhì)得∠AOD=50°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵CD是⊙O的直徑，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OA∥DE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，本題屬基礎(chǔ)題目，難度不大．
【變式3-3】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形AOB中，D為AB上的點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若CD=OA，∠O=75°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【答案】C
【分析】連接OD，根據(jù)CD=OA，OA=OD，設(shè)∠C=α，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)可得 ∠A=3α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得
【詳解】解：如圖，連接OD，
∴OA=OD
∴∠A=∠ODA
∵ CD=OA
∴∠C=∠DOC
設(shè)∠C=α，
∴∠A=∠ODA=∠DOC+∠C=2α
在△AOC中，∠O=75°
∴∠A+∠C=105°
∴3α=105°
∴α=35°
∴∠A=2α=70°
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本概念，等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
題型04 圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算
【例4】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BC的長(zhǎng)為（ ）

A．403B．8C．245D．6
【答案】C
【分析】連接OE，證明OE∥BC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：連接OE，如圖，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴OEBC=AOAB，
∵⊙O的半徑為3，AD=2，
∴AO=AD+OD=5，AB=AO+OB=8，
∴BC=OE?ABAO=3×85=245，
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）已知AB=12，C、D是以AB為直徑的⊙O上的任意兩點(diǎn)，連接CD，且AB⊥CD，垂足為M，∠OCD=30°，則線段MB的長(zhǎng)為 ．
【答案】9
【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到OM=12OC=3，則MB=OM+OB=9．
【詳解】解：如圖，
∵AB⊥CD，∠OCD=30°，
∴OM=12OC，
∵AB=12，
∴OC=OB=6，
∴OM=3，
∴MB=OM+OB=9，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，含 30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確求出OM=12OC=3是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知A、B是圓O上的點(diǎn)，以O(shè)為圓心作弧，交OA、OB于點(diǎn)C、D．分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于12CD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E．作線段OE，交AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G．若OF=3cm，∠AOB=120°，則⊙O的半徑為 cm．
【答案】6
【分析】連接CD，根據(jù)作圖得出OE垂直平分CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，OF⊥AB，利用直角三角形的性質(zhì)，求出OA=2OF=2×3=6cm即可．
【詳解】解：連接CD，
根據(jù)作圖可知，OC=OD，OE垂直平分CD，
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，
即∠AOF=∠BOF=12∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴OF⊥AB，
∴∠AFO=90°，
∴∠OAF=30°，
∴OA=2OF=2×3=6cm．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
題型05 求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值
【例5】（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3，BC=4．點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)．∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為（ ）
A．52B．125C．13?32D．13?2
【答案】D
【分析】證明∠AMD=90°，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計(jì)算出答案．
【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓
∵四邊形ABCD為矩形
∴∠BAP+∠MAD=90°
∵∠ADM=∠BAP
∴∠MAD+∠ADM=90°
∴∠AMD=90°
∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上
連接OB交圓O與點(diǎn)N
∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)
∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí)，BM最短
∵BO2=AB2+AO2，AO=12AD=2
∴BO2=9+4=13
∴BO=13
∵BN=BO?AO=13?2
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．
【變式5-1】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，點(diǎn)D是ΔABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接AD，CD，BD，滿足∠ADC=90°，則BD的最小值是（ ）
A．5B．6C．8D．13
【答案】C
【分析】如圖，取AC中點(diǎn)O，連接DO．則點(diǎn)D在以點(diǎn)O為圓心，AC長(zhǎng)為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O、D、B在同一直線上時(shí)，OB最短，此時(shí)BD=OB?OD=OB?5為最短．所以BD=OB?OD=OB?5=13?5=8，即為BD的最小值．
【詳解】解：如圖，取AC中點(diǎn)O，連接DO．
∵∠ADC=90°，
∴點(diǎn)D在以點(diǎn)O為圓心，AC長(zhǎng)為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，且DO=12AC=12×10=5，
當(dāng)O、D、B在同一直線上時(shí)，OB最短，此時(shí)BD=OB?OD=OB?5為最短．
在RtΔOCB中，
OC=5，BC=12，
則OB=122+52=13，
∴BD=OB?OD=OB?5=13?5=8，
即BD的最小值是8．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間最短距離的問題，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造圓和運(yùn)用勾股定理．
【變式5-2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=5，P是半徑為3的⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC，若E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則DE長(zhǎng)的最大值為（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
【答案】A
【分析】連接BP，根據(jù)三角形中位線定理可得DE=12BP，從而得到當(dāng)BP最大時(shí)，DE最大，再由當(dāng)PB過圓心A時(shí)，PB最大，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接BP，
∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴BD=CD=12，
∵E是PC的中點(diǎn)，
∴DE=12BP，
∴當(dāng)BP最大時(shí)，DE最大，
∵P是半徑為3的⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)PB過圓心A時(shí)，PB最大，此時(shí)P、A、B三點(diǎn)共線，
∵AD=5，BD=12，
∴AB=13，
∴PB的最大值為13+3=16，
∴DE的最大值為8．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線定理，明確當(dāng)PB取最大值時(shí)，DE的長(zhǎng)最大是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC=2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（ ）
A．322+1B．32+2C．322D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2，
∴C在⊙B上，且半徑為2，
取OD=OA=3，連接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM=12=CD，
當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，
∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，
∴BD=32，
∴CD=32+2，
∴OM=12CD=322+1，即OM的最大值為322+1；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．
考點(diǎn)二 圓的性質(zhì)
1. 圓的對(duì)稱性
2. 垂徑定理及推論
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
垂徑定理模型（知二得三）
如圖，可得①AB過圓心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④AC=AD ⑤BC=BD
【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧，若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.
常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；
2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.
2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
【易錯(cuò)點(diǎn)】求兩條弦間的距離時(shí)要分類討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)．
3. 弧、弦、圓心角的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.
【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓心角、圓周角也都相等．運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．
4. 圓周角定理
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角= 12 圓心角）
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.
【補(bǔ)充】圓的一條?。ㄏ遥┲粚?duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度數(shù)和為180°
【解題思路】
1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.
2）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?
3）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角．
4）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．
1）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來轉(zhuǎn)化.
3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.
5. 圓內(nèi)接四邊形
性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).
2) 圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.
題型01 由垂徑定理及推論判斷正誤
【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是⊙O是直徑，AB是弦且不是直徑，CD⊥AB，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）

A．AE=BEB．OE=DEC．AO=COD．AD=BD
【答案】B
【分析】由于CD⊥AB, 根據(jù)垂徑定理有AE=BE, AD=BD, 不能得出OE=DE, 圓的半徑都相等.
【詳解】解：如圖所示，
∵CD⊥AB,
∴AE=BE, AD=BD,
⊙O的半徑都相等，那么
AO=CO,
不能得出OE=DE.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容.
【變式1-1】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)F是⊙O直徑AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)F作弦CD⊥AB，點(diǎn)E是AD上不與點(diǎn)D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）
A．CF=DFB．AC=AD
C．∠BAC=∠BEDD．∠ABC>∠BED
【答案】D
【分析】根據(jù)垂徑定理，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可．
【詳解】∵AB是直徑，CD是弦，CD⊥AB，垂足為F，
∴CF=DF，CB=DB，AC=AD，
∴∠BAC=∠BED，∠CAB=∠BED，
∴A、B、C正確；
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠BED+∠ABC=90°，但是不能確定∠ABC和∠BED的大小關(guān)系，
∴∠ABC>∠BED不一定正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理的運(yùn)用．
【變式1-2】（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，則下列說法中不正確的是（ ）
A．CE=EOB．OC=2CDC．∠OCE=45°D．∠BOC=2∠BAD
【答案】B
【分析】由AB⊥CD，AB是⊙O的直徑， 得CE=DE，BC?=BD?，進(jìn)而得出△OCE為等腰直角三角形，進(jìn)而得出∠OCE=45°，OC=2CE，CE=OE，從而得出答案．
【詳解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，
∴CE=DE，BC?=BD?，
∴∠BOC=2∠BAD=2×22.5°=45°，
∴△OCE為等腰直角三角形，
∴∠OCE=45°，OC=2CE，CE=OE，
∴OC=22CD．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
題型02 利用垂徑定理求解
【例2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長(zhǎng)為16，OE長(zhǎng)為6，則⊙O半徑是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】D
【分析】連接OB，由垂徑定理可得BE=AE=8，由勾股定理計(jì)算即可獲得答案．
【詳解】解：如圖，連接OB，
∵線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，AB=16，
∴BE=AE=12AB=12×16=8，
∴在Rt△OBE中，可有OB=OE2+BE2=62+82=10，
∴⊙O半徑是10．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理等知識(shí)，理解并掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·重慶·重慶八中?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AC＝CD，⊙O的半徑為22，則△AOC的面積為（ ）
A．3B．2C．23D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)垂徑定理求出CE=12CD=12AC，則在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根據(jù)OC=OA=２2，得到∠CAO=∠ACO=30°，則有∠OEC=30°，則在Rt△OCE中有OE=12OC=２，CE=3OE=6，則△AOC的面積得解．
【詳解】∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴直徑AB平分弦CD，E為CD中點(diǎn)，
∴CE=12CD=12AC，
∴∠CAO=30°，
∴∠ACE=60°，
又∵OC=OA=22，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠OEC=30°，
∴ Rt△OCE中有OE=12OC=2，CE=3OE=6，
則△AOC的面積為：S=12×OA×CE=23，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理以及解特殊直角三角形的知識(shí)，靈活運(yùn)用垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？级＃┤鐖D，⊙O是ΔABC的外接圓，∠BAC=60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．23C．3D．3
【答案】B
【分析】過點(diǎn)O作OM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．
【詳解】解：過點(diǎn)O作OM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，
∵⊙O是ΔABC的外接圓，∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵OB=OC，OM⊥BC，
∴∠COM=12∠BOC=60°，MB=MC，
∴在RtΔCOM中，∠OCM=30°，
∴OM=12OC=1，CM=OC2?OM2=3，
∴BC=2CM=23，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．25cmB．43cmC．25cm或45cmD．23cm或43cm
【答案】C
【分析】先畫好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；
【詳解】連接AC，AO，
∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm，
當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2?AM2=52?42=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=AM2+CM2=42+82=45cm；
當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=42+22=25cm．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進(jìn)行分類討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．
題型03 根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解
【例3】（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，AE=8，DB=2，則⊙O的半徑為（ ）
A．6B．5C．42D．43
【答案】B
【分析】如圖，連接CO，延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)T．設(shè)⊙O的半徑為r．證明△AOT?△CODAAS，推出CD=AT=4，在Rt△COD中，根據(jù)OC2=CD2+OD2，構(gòu)建方程求解．
【詳解】解：如圖，連接CO，延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)T，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AC=CE，
∴CT⊥AE，
∴AT=TE=12AE=4，
在△AOT和△AOD中，
∠ATO=∠CDO=90°∠AOT=∠CODAO=CO，
∴△AOT?△CODAAS，
∴CD=AT=4，
在Rt△COD中，OC2=CD2+OD2，
∴r2=42+(r?2)2，
∴r=5，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解答該題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，該題屬于中考常考題型．
【變式3-1】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點(diǎn)G，連接CD，AD，BF．
(1)求證：ΔBFG?ΔCDG；
(2)若AD=BE=2，求BF的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析；(2)BF=23.
【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)和垂徑定理可證CD=BF，再利用AAS即可證得結(jié)論；
(2)解法一：連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，由CF=BD列出關(guān)于r的方程就能求解；
解法二：如圖，作輔助線，構(gòu)建角平分線和全等三角形，證明RtΔAHC?RtΔAEC，得AE=AH，再證明RtΔCDH?RtΔCBEHL，得DH=BE=2，進(jìn)而可得AE和AB的長(zhǎng)，易證ΔBEC～ΔBCA，列比例式可求得BC的長(zhǎng)，也就是BF的長(zhǎng)；
解法三：連接OC，根據(jù)垂徑定理和三角形的中位線定理可得OH=1，再證明ΔCOE?ΔBOH，然后利用勾股定理即可求出結(jié)果．
【詳解】證明：(1)∵C是BD的中點(diǎn)，∴CD=BC，
∵AB是⊙O的直徑，且CF⊥AB，∴BC=BF，
∴CD=BF，∴CD=BF，
在ΔBFG和ΔCDG中，
∵∠F=∠CDG∠FGB=∠DGCBF=CD，
∴ΔBFG?ΔCDGAAS；
(2)解法一：如圖，連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，
RtΔADB中，BD2=AB2?AD2，即BD2=2r2?22，
RtΔOEF中，OF2=OE2+EF2，即EF2=r2?r?22，
∵CD=BC=BF，∴BD=CF，∴BD=CF，
∴BD2=CF2=2EF2=4EF2，
即2r2?22=4r2?r?22，
解得：r=1(舍)或3，
∴BF2=EF2+BE2=32?3?22+22=12，
∴BF=23；

解法二：如圖，過C作CH⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AC、BC，
∵CD=BC，∴∠HAC=∠BAC，
∵CE⊥AB，∴CH=CE，
∵AC=AC，∴RtΔAHC?RtΔAEC，
∴AE=AH，
∵CH=CE，CD=CB，
∴RtΔCDH?RtΔCBEHL，
∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC=90°，
∵∠EBC=∠ABC，∴ΔBEC～ΔBCA，
∴BCAB=BEBC，
∴BC2=AB?BE=6×2=12，
∴BF=BC=23．

解法三：如圖，連接OC，交BD于H，
∵C是BD的中點(diǎn)，∴OC⊥BD，∴DH=BH，
∵OA=OB，∴OH=12AD=1，
∵OC=OB，∠COE=∠BOH，∠OHB=∠OEC=90°，
∴ΔCOE?ΔBOHAAS，
∴OH=OE=1，OC=OB=3，
∴CE=EF=32?12=22，
∴BF=BE2+EF2=22+222=23．

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、一元二次方程的求解、三角形全等的性質(zhì)和判定以及勾股定理等知識(shí)．第二問有難度，注意掌握輔助線的作法和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【變式3-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖AB為圓O的直徑，AE為圓O的弦，C為O上一點(diǎn)，AC=CE，CD⊥AB，垂足為D．

(1)連接CO，判斷CO與AE的位置關(guān)系，并證明；
(2)若AE=8，BD=2，求圓O的半徑；
【答案】(1)CO⊥AE，證明見詳解
(2)5
【分析】（1）CO⊥AE，理由如下：延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)G，連接OE，再根據(jù)圓的基本性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可；
（2）由（1）中結(jié)論，CO⊥AE，AG=12AE=4，先證明△AGO≌△CDO(AAS)，再根據(jù)勾股定理即可．
【詳解】（1）解：CO⊥AE，理由如下：
延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)G，連接OE，

∵AC=CE，
∴∠AOC=∠COE,
∵∠AOG=180°?∠AOC,∠GOE=180°?∠EOC,
∴∠AOG=∠GOE,
∵OA=OE，
∴CO⊥AE；
（2）解：由（1）中結(jié)論，CO⊥AE，AG=12AE=4,
∠AGO=∠CDO=90°,∠AOG=∠COD,AO=CO,
△AGO≌△CDO(AAS)，
∴AG=CD=4，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r?2，OC=r,
在Rt△CDO中，CD2+OD2=OC2，即42+(r?2)2=r2，
解得：r=5，即⊙O的半徑為5．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．
題型04 根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解
【例4】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作⊙O的直徑CD，P是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若點(diǎn)P為FG中點(diǎn)，csF=35，⊙O的半徑長(zhǎng)為3則CE的長(zhǎng)為（ ）
A．75B．85C．32D．43
【答案】B
【分析】連接OP，由切線的性質(zhì)得OP⊥FG，證明ΔOPG～ΔFEG得OPFE=PGEG=OGFG，∠POG=∠F，由cs∠F=35可進(jìn)一步求出OG=5，由勾股定理求出PG=4，故可得FG=8，從而求出GE=325,OE=75，故可得CE=85．
【詳解】解：連接OP，如圖，
∵FG是圓的切線，點(diǎn)P是切點(diǎn)，
∴OP⊥FG，即∠OPG=90°,
又點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且CD是直徑，
∴CD⊥AB，即∠GEF=90°，
∴∠OPG=∠GEF=90°,
又∠G=∠G,
∴ΔOPG～ΔFEG,
∴OPFE=PGEG=OGFG,∠POG=∠F，
∵cs∠F=35
∴cs∠GOP=35=OPOG,
∵OP=3,
∴35=3OG,
∴OG=5,
由勾股定理得，PG=OG2?OP2=4,
∵點(diǎn)P是FG的中點(diǎn)，
∴FG=2PG=8,
又OPFE=PGEG=OGFG,
∴PGOG=EGFG，即45=EG8,
∴EG=325,
∴OE=EG?GO=325?5=75,
∴CE=OC?OE=3?75=85,
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等投放一款，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2022·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長(zhǎng)度是（ ）
A．9.6B．45C．53D．10
【答案】A
【分析】根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，易證：△AEO∽△AFC，求出CF長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】解：∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEO＝90°，
∵OE＝3，OB＝OA=5，
∴AE＝AO2?OE2=4，
∴AC＝8，
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，
∴△AEO∽△AFC，
∴AOAC=EOFC，即：58=3FC，
∴FC=245，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CF＝485＝9.6．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，三角形相似的判定和性質(zhì)定理，勾股定理，熟練掌握應(yīng)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2019·新疆阿克蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長(zhǎng)度是（ ）
A．3cmB．6 cmC．2.5cmD．5 cm
【答案】D
【詳解】分析：根據(jù)垂徑定理得出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
詳解：連接OB，
∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=8．
在Rt△EBC中，BC=BE2+EC2=42+82=45．
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴OFBE=OCBC，即OF4=545，
解得：OF=5．
故選D．
點(diǎn)睛：本題考查了垂徑定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出OE的長(zhǎng)．
【變式4-3】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)．
(1)過點(diǎn)B作⊙O的切線PB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，若OD⊥BC，垂足為D，OD=2，PC=9，求PB的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)313
【分析】（1）以B為圓心，小于OB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，再以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)的長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)和點(diǎn)B的連線所在的直線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P；
（2）由垂徑定理得BD=CD，則OD為△ABC的中位線，得AC=2OD=4，由圓周角定理得∠ACB=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PBA=90°，推出Rt△PBC∽R(shí)t△PAB，從而利用相似三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】（1）解：如圖，PB為所作；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∵OB=OA，
∴OD為△ABC的中位線，
∴AC=2OD=4，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PB為⊙O的切線，
∴AB⊥PB，
∴∠PBA=90°，
∵∠BPC=∠APB，
∴Rt△PBC∽R(shí)t△PAB，
∴PB:PA=PC:PB，
即PB:4+9=9:PB，
解得：PB=313，
即PB的長(zhǎng)為313．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
題型05 在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)
【例5】（2021·吉林松原·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，⊙P與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過矩形AOBC的頂點(diǎn)C，與BC相交于點(diǎn)D，若⊙P的半徑為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,8)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）

A．(9,2)B．(9,3)C．(10,2)D．(10,3)
【答案】A
【分析】在Rt△CPF中根據(jù)勾股定理求出PF的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OB，BD的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為G，E，連接PG，PE，PC，PD，并延長(zhǎng)EP交BC與F，則PG=PE=PC=5，四邊形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF過圓心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，以及垂徑定理等知識(shí)，正確做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），點(diǎn)M是⊙P上的一動(dòng)點(diǎn)，那么△ABM面積的最大值為（ ）

A．64B．48C．32D．24
【答案】C
【分析】過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接PC，PA易得PC=PA=5，PD=3，然后由垂徑定理，即可求得AD的長(zhǎng)，繼而求得AB的長(zhǎng)，繼而求得答案．
【詳解】解：過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，在AB上方，PD與⊙P的交點(diǎn)即△ABM面積最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，連接PC，PA，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3)，
∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，
∴PC=5，PD=3，
∴PC=PA=5，DM=PD+PM=8
在Rt△PAD中，AD=PA2?PD2=4，
∵PD⊥AB，
∴AB=2AD=8，
當(dāng)點(diǎn)M位于(3,8)時(shí)，△ABM面積最大，最大值為：12AB?MD=12×8×8=32．
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，添設(shè)輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M3,5為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A、C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
【答案】(6,1)
【分析】如圖，連接BC，設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)D，連接MD交BC與點(diǎn)E，結(jié)合已知條件，則可得BC⊥MD，勾股定理求解EM，進(jìn)而即可求得B的坐標(biāo)．
【詳解】解：如圖，連接BC，設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)D，連接MD交BC與點(diǎn)E，
則MD⊥x軸，
∵AB為直徑，則∠ACB=90°，
∴BC⊥MD，
∴BC∥x軸，
∵M(jìn)3,5
∴MB=MD=5，CE=EB=3，
∴ME=MB2?EB2=52?32=4，CB=6，
∴DE=MD?ME=5?4=1，
∵BC∥x軸，
∴B(6,1)．
故答案為：(6,1)．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．
【答案】(0,?4)
【詳解】設(shè)圓心為P，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進(jìn)而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進(jìn)而可得點(diǎn)D坐標(biāo)．
【解答】解：設(shè)圓心為P，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，則EA＝EB＝AB2＝4，F(xiàn)C＝FD，
∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，
∴E（2，0），
設(shè)P（2，m），則F（0，m），
連接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，
在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，
∴（3﹣m）2+22＝m2+42，
∴m＝±12（舍正），
∴F（0，?12），
∴CF＝DF＝3?(?12)＝72，
∴OD＝OF+DF＝12+72＝4，
∴D（0，﹣4），
故答案為：（0，﹣4）．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標(biāo)系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程．
【變式5-4】（2022·新疆昌吉·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)分別為B、C，圓心M的坐標(biāo)是（4，5），則弦BC的長(zhǎng)度為 ．
【答案】6
【分析】連接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂徑定理得到BC=2HB，根據(jù)切線的性質(zhì)及M點(diǎn)的坐標(biāo)得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的長(zhǎng)度．
【詳解】解：如圖，連接BM、AM，作MH⊥BC于H，
則BH=CH，
∴BC=2HB，
∵⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，
∴MA⊥OA，
∵圓心M的坐標(biāo)是(4，5)，
∴MA=5，MH=4，
∴MB=MA=5，
在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH=MB2?MH2=52?42=3，
∴BC=2×3=6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的知識(shí)．解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．
【變式5-5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C上．

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)試確定經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線解析式；
(3)在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)A1?3,0,B1+3,0
(2)y=?x2+2x+2或y=13x2?23x?23
(3)D0,2
【分析】（1）作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA,OB，根據(jù)C1,1，半徑AC=BC=2，得到CE=1,利用勾股定理求出AE=BE=3，即可得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3或1,?1，分別設(shè)出解析式代入點(diǎn)B的坐標(biāo)求出解析式；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y軸，確定點(diǎn)D在y軸上，根據(jù)PC得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，檢驗(yàn)是否符合解析式即可．
【詳解】（1）作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA,OB，
∵C1,1，半徑AC=BC=2，
∴CE=1，
∴AE=BE=AC2?CE2=22?12=3，
∴A1?3,0,B1+3,0；

（2）由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3或1,?1，
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax?12+3，
將點(diǎn)B1+3,0代入，解得a=?1，
∴y=?x?12+3=?x2+2x+2；
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,?1時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax?12?1，
將點(diǎn)B1+3,0代入，解得a=13，
∴y=13x?12?1=13x2?23x?23；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，
∴PC∥OD且PC=OD，
∵PC∥y軸，
∴點(diǎn)D在y軸上，
當(dāng)拋物線為y=?x2+2x+2時(shí)，
∵PC=2，
∴OD=2，即D0,2，
又D0,2滿足y=?x2+2x+2，
∴點(diǎn)D在拋物線上，
存在D0,2使線段OP與CD互相平分；
當(dāng)拋物線為y=13x2?23x?23時(shí)，
∵PC=3，
∴OD=3，即D0,?3，
∵D0,?3不滿足y=13x2?23x?23，
∴不存在D0,?3使線段OP與CD互相平分；
綜上，存在D0,2使線段OP與CD互相平分．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)及判定，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
題型06 利用垂徑定理求平行弦問題
【例6】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知⊙O的直徑為10cm， AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD之間的距離為（ ）．
A．1B．7C．1或7D．3或4
【答案】C
【分析】作OE⊥AB于E，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接OA、OC，如圖，利用平行線的性質(zhì)OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=4cm，CF=DF=3cm，則利用勾股定理可計(jì)算出OE=3cm，OF=4cm，討論：當(dāng)點(diǎn)O在AB與CD之間時(shí)，EF=OF+OE；當(dāng)點(diǎn)O不在AB與CD之間時(shí)，EF=OF?OE．
【詳解】作OE⊥AB于E，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接OA、OC，如圖

∵AB∥CD，OE⊥AB
∴OF⊥CD
∴AE=BE=12AB=4cm
CF=DF=12CD=3cm
在Rt△OAE中，OE=AO2?AE2=52?42=3cm
在Rt△OCF中，OF=CO2?CF2=52?32=4cm
當(dāng)點(diǎn)O在AB與CD之間時(shí)，如圖1，EF=OF+OE=4+3=7cm
當(dāng)點(diǎn)O不在AB與CD之間時(shí)，如圖2，EF=OF?OE=4?3=1cm
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。⒁夥诸愑懻摚?br>【變式6-1】（2022·江蘇宿遷·校聯(lián)考一模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD之間的距離為 cm．
【答案】7或1．
【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O同一側(cè)時(shí)，當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長(zhǎng)度，即可得到答案．
【詳解】解：分兩種情況考慮：
當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，

過O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，
∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根據(jù)勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根據(jù)勾股定理得：OE═4cm，
則EF=OE?OF=4cm?3cm=1cm；
當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm．
故答案為：7或1．
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF∥AB．
(1)在圖1中，請(qǐng)僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧EF的中點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點(diǎn)Q，現(xiàn)有以下三個(gè)選項(xiàng)：①△PQF的面積為32；②EF=6；③PF=10，請(qǐng)你選擇兩個(gè)合適選項(xiàng)作為條件，求⊙O的半徑，你選擇的條件是 （填序號(hào)）
【答案】(1)見解析
(2)①②；①③；②③；半徑為5
【分析】（1）直接連接AF，BE交于點(diǎn)C，連接OC并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)P，此點(diǎn)即為所求點(diǎn)．
（2）連接OF，設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可得出答案．
【詳解】（1）如圖所示，連接AF，BE交于點(diǎn)C，連接OC并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)P．
（2）第一種情況：選①②，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，
由題意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，
∵SΔPQF=12QF?PQ=32，
∴12×3PQ=32，即PQ=1，
∴OQ=r?1，
∵OQ2+QF2=OF2，
∴(r?1)2+32=r2，解得r=5．
第二種情況：選①③，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，
由題意可知：OP⊥EF，
∵SΔPQF=12QF?PQ=32，
∴QF?PQ=3，
∵QF2+PQ2=PF2，
∴QF2+PQ2=10，即(QF+PQ)2?2QF?PQ=10，
∴QF+PQ=4，
∵∠FPQ>45°，
∴PQ0，
則AB=3kk>0,
∴AF=AC+CF=2k+5，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF2+AF2=AB2，
即200+2k+52=3k2，
解得k1=9,k2=?5（不合題意，舍去），
∴AB=3k=27，
即AB的長(zhǎng)為27
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型27 利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題
【例27】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=4經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)M，N，則線段MN長(zhǎng)度的最小值是（ ）
A．3B．23C．22D．6
【答案】D
【分析】如圖所示，設(shè)△CMN的外接圓圓心為O，過點(diǎn)O作OE⊥MN于E，連接OM，ON，利用垂徑定理，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)證明MN=3OM，可以得到要使MN最小，則⊙O的直徑要最小，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，以CF為直徑作圓與CB?CA分別相交于點(diǎn)M,N，連接OM,ON，此時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最小，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)△CMN的外接圓圓心為O，過點(diǎn)O作OE⊥MN于E，連接OM，ON，
∴∠MON=2∠MCN=120°，
∴∠EOM=12∠MON=60°，
∴∠OME=30°，
∴OE=12OM，
∴MN=2ME=2OM2?OE2=3OM，
∴要使MN最小，則⊙O的直徑要最小，
過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，以CF為直徑作圓與CB?CA分別相交于點(diǎn)M,N，連接OM,ON，此時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最小，
∵∠CFA=90°，∠A=45°，AC=4，
∴CF=AC2=22，
∴OM=OC=12CF=2，
∴MN=3OM=6．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，正確確定MN最小值時(shí)的情形是解題的關(guān)鍵．
【變式27-1】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)分別為（?2，0），（2，0），（4，3），以點(diǎn)C為圓心，2為半徑畫⊙C，點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，連接AP，交⊙C于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，連接MN，則線段MN的最小值為（ ）
A．21?63B．3C．13D．10
【答案】B
【分析】以點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，連接ON交⊙O于點(diǎn)M'，連接CM， 由點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，得CM⊥AP，從而得點(diǎn)M在⊙O上，由勾股定理得ON=42+32=5，進(jìn)而求得MN的最小值．
【詳解】解：以點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，連接ON交⊙O于點(diǎn)M'，連接CM，

∵點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，
∴ CM⊥AP，
∴點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)，
∵N（4，3），
∴ ON=42+32=5，
∵ MN+OM≥ON即MN+2≥5，
∴ MN≥3，
∴MN的最小值為3，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理以及勾股定理，構(gòu)造輔助線，找出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
【變式27-2】（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O半徑為2，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在ADC上運(yùn)動(dòng)，連接BE，作AF⊥BE，垂足為F，連接CF．則CF長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．5?1B．1C．2?1D．22
【答案】A
【分析】取AB的中點(diǎn)K，連接FK，CK，根據(jù)CF≥CK?FK即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接AO,DO，取AB的中點(diǎn)K，連接FK，CK，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∵AK=BK，
∴KF=AK=BK，
∵正方形ABCD的外接圓的半徑為2，
∴AD=OA2+OD2=22+22=2，
∴AB=BC=2，
∴KF=AK=KB=1，
∵∠CBK=90°，
∴CK=BK2+BC2=12+22=5，
∵CF≥CK?KF，
∴CF≥5?1，
∴CF的最小值為5?1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定CF的最小值是解決本題的關(guān)鍵．
【變式27-3】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖， A，B是半圓O上的兩點(diǎn)，CD是⊙O的直徑，∠AOD=80°，B是AD的中點(diǎn)．
(1)在CD上求作一點(diǎn)P，使得AP+PB最短；
(2)若CD=4，求AP+PB的最小值．
【答案】(1)作圖見解析
(2)23
【分析】（1）作出B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，交CD于P點(diǎn)，P就是所求的點(diǎn)；
（2）延長(zhǎng)AO交圓與E，連接OB',B'E，可以根據(jù)圓周角定理求得∠AOB'的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠A的度數(shù)，然后在直角△AEB'中，解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）解： 作BB'⊥CD，交圓于B'，然后連接AB'，交CD于P點(diǎn)，P就是所求的點(diǎn)；
此時(shí)：PA+PB=PA+PB'=AB'.
（2）延長(zhǎng)AO交圓于E，連接OB',B'E．
∵BB'⊥CD，
∴BD=B'D，
∵∠AOD=80°，B是AD的中點(diǎn)，
∴∠DOB'=12∠AOD=40°．
∴∠AOB'=∠AOD+∠DOB'=120°，
又∵OA=OB'，
∴∠A=12(180°?∠AOB')=30°．
∵AE是圓的直徑，
∴∠AB'E=90°， 而CD=AE=4,
∴直角△AEB'中，B'E=12AE=2，
∴AB'=AE2?B'E2=23,
∴PA+PB=AB'=23.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及圓周角的性質(zhì)定理，正確求得∠AOB'的度數(shù)是關(guān)鍵．
題型28 利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍
【例28】（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在⊙O中，直徑AB=10，CD⊥AB于點(diǎn)E，CD=8．點(diǎn)F是弧BC上動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)B、C不重合，P是直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)m=PC+PF，則m的取值范圍是( )
A．8

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