1．（3分）紋樣是我國(guó)古代藝術(shù)中的瑰寶．下列四幅紋樣圖形是軸對(duì)稱圖形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下面各組線段中，能組成三角形的是（ ）
A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14
3．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（3分）等腰三角形的一個(gè)角是30°，則它的底角是（ ）
A．30°B．30°或75°C．75°D．65°
5．（3分）如圖，由∠1＝∠2，BC＝DC，AC＝EC，得△ABC≌△EDC的根據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
6．（3分）如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F分別是BA、BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BE，PN⊥BC垂足分別是點(diǎn)M、N，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（ ）
①CP平分∠ACF；
②PC＝AP；
③AM+CN＝AC；
④∠ABC+2∠APC＝180°．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，則∠B的度數(shù)為 ．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是 ．
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D，若△ACD的周長(zhǎng)為15cm，則AC+BC＝ ．
11．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，則∠ADE＝ ．
12．（3分）如圖，已知∠MON＝60°，在射線OM上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)畫射線交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)O、點(diǎn)B重合）．若△AOC中，有一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍，則∠ACB的度數(shù)是 ．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（6分）一個(gè)三角形的兩邊b＝2，c＝7．
（1）當(dāng)各邊均為整數(shù)時(shí)，可以組成 個(gè)不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，則其周長(zhǎng)是多少？
14．（6分）如圖，已知AB∥CD，AC平分∠BAD．
（1）求證：AD＝DC；
（2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度數(shù)．
15．（6分）放風(fēng)箏是中國(guó)民間的傳統(tǒng)游戲之一，風(fēng)箏又稱風(fēng)琴，紙鷂，鷂子，紙鳶．如圖1，小華制作了一個(gè)風(fēng)箏，示意圖如圖2所示，AB＝AC，DB＝DC，他發(fā)現(xiàn)AD不僅平分∠BAC，且平分∠BDC，你覺(jué)得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．（6分）（1）如圖1，已知BE，CD是△ABC的角平分線，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺作出∠BAC的平分線；
（2）如圖2，已知∠ABC＝∠DCB，且BD，CA分別平分∠ABC與∠DCB，AC與BD相交于O，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺作出∠BOC的平分線．
17．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；
（2）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)： ；
（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使得△PAC周長(zhǎng)最?。ūＡ糇鲌D痕跡）
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的長(zhǎng)．
19．（8分）如圖，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求證：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度數(shù)．
20．（8分）如圖，△ABC為等邊三角形，D為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，以CD為一邊作等邊三角形CDE，連接AE．
（1）求證：BD＝AE；
（2）判斷AE與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．（9分）如圖1，在△ABC中，AD是它的角平分線．求證：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（1）請(qǐng)你完成這道題的證明；
（2）若添加一個(gè)條件∠C＝2∠B，如圖2，請(qǐng)同學(xué)們?nèi)ヌ骄烤€段AB、AC、CD三者的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜想它們的數(shù)量關(guān)系，并完成證明過(guò)程．
22．（9分）在△ABC中，∠B＝60°，D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．
（1）如圖1，若點(diǎn)F恰好落在邊BC上，判斷△BDF的形狀，并證明；
（2）如圖2，若點(diǎn)F落在△ABC內(nèi)，且DF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，CF＝EF，求∠A的度數(shù)；
（3）若AB＝9，當(dāng)△BDF是直角三角形時(shí)，直接寫出AD的長(zhǎng)．
六、解答題（本大題共12分）
23．（12分）CD是經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面三個(gè)問(wèn)題：
①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則∠BCE ∠CAF，BE CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；并證明這兩個(gè)結(jié)論．
②如圖2，若∠BCA＝80°，要使∠BCE與∠CAF有①中的結(jié)論，則∠α＝ ．
③如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件 使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明這兩個(gè)結(jié)論．
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．
2024-2025學(xué)年江西省南昌一中等校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．（3分）紋樣是我國(guó)古代藝術(shù)中的瑰寶．下列四幅紋樣圖形是軸對(duì)稱圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、圖形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；
C、圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，熟知軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）下面各組線段中，能組成三角形的是（ ）
A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14
【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵5+6＝11，∴不能組成三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵8+8＝16，∴不能組成三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵5+4＜10，∴不能組成三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵6+9＞14，∴能組成三角形，故D選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，是基礎(chǔ)題，熟記三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】多邊形的外角和是360°，則內(nèi)角和是2×360＝720°．設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，這樣就得到一個(gè)關(guān)于n的方程組，從而求出邊數(shù)n的值．
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得
（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝6．
即這個(gè)多邊形為六邊形．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記內(nèi)角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題來(lái)解決．
4．（3分）等腰三角形的一個(gè)角是30°，則它的底角是（ ）
A．30°B．30°或75°C．75°D．65°
【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)；當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角為30°；然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：分兩種情況：
當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，
∴它的兩個(gè)底角的度數(shù)都＝＝75°；
當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角為30°，
∴它的頂角度數(shù)＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
綜上所述：它的底角度數(shù)為75°或30°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，由∠1＝∠2，BC＝DC，AC＝EC，得△ABC≌△EDC的根據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】根據(jù)∠1＝∠2，求出∠BCA＝∠DCE，根據(jù)SAS證△ABC≌△ECD即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DCA＝∠2+∠DCA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中
，
∴△ABC≌△ECD（SAS），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到證明△ABC和△ECD全等的三個(gè)條件，題目比較好，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．
6．（3分）如圖，△ABC中，點(diǎn)E、F分別是BA、BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BE，PN⊥BC垂足分別是點(diǎn)M、N，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（ ）
①CP平分∠ACF；
②PC＝AP；
③AM+CN＝AC；
④∠ABC+2∠APC＝180°．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD和Rt△PCD≌Rt△PCN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出可判斷③和④．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴點(diǎn)P在∠ACF的角平分線上，故①正確；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°．
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，AM＝AD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，CN＝CD，
∴AM+CN＝AD+CD＝AC，故③正確；
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故④正確；
PA與PC不一定相等，故②錯(cuò)誤，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （1，5） ．
【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：點(diǎn)P（1，﹣5）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（1，5）．
故答案為：（1，5）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確得出掌握對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，則∠B的度數(shù)為 53° ．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，
∴∠B的度數(shù)為180°﹣90°﹣37°＝53°，
故答案為：53°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是 80° ．
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，再由BD平分∠ABC得出∠DBC的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝180°﹣70°﹣30°＝80°．
故答案為：80°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D，若△ACD的周長(zhǎng)為15cm，則AC+BC＝ 15cm ．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線得出AD＝DB，進(jìn)而利用三角形的周長(zhǎng)解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D，
∴AD＝DB，
∵△ACD的周長(zhǎng)為15cm，
即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝15cm，
故答案為：15cm．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)線段垂直平分線得出AD＝DB解答．
11．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，則∠ADE＝ 20° ．
【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得：∠B＝∠C＝40°，從而可得∠BDE＝∠BED＝70°，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠ADB＝90°，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝＝70°，
∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝20°，
故答案為：20°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，已知∠MON＝60°，在射線OM上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)畫射線交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)O、點(diǎn)B重合）．若△AOC中，有一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍，則∠ACB的度數(shù)是 90°或100°或140° ．
【分析】根據(jù)題意，對(duì)“有一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍”這個(gè)條件進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形的內(nèi)角和進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵∠MON＝60°，AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
①當(dāng)∠AOC是∠OAC的2倍時(shí)，則∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝90°；
②當(dāng)∠AOC是∠ACO的2倍時(shí)，則點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，不符合題意；
③當(dāng)∠OAC是∠ACO的2倍時(shí)，則∠OAC+∠ACO＝180°﹣∠AOB＝120°，
∴∠OAC＝80°，∠ACO＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝140°；
④當(dāng)∠ACO是∠OAC的2倍時(shí)，則∠OAC+∠ACO＝180°﹣∠AOB＝120°，
∴∠OAC＝40°，∠ACO＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝100°；
綜上所述，∠ACB的度數(shù)為：90°或100°或140°．
故答案為：90°或100°或140°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角的關(guān)系．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（6分）一個(gè)三角形的兩邊b＝2，c＝7．
（1）當(dāng)各邊均為整數(shù)時(shí)，可以組成 3 個(gè)不同的三角形．
（2）若此三角形是等腰三角形，則其周長(zhǎng)是多少？
【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出第三邊長(zhǎng)的范圍，進(jìn)而解答即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）設(shè)第三邊長(zhǎng)為a，則5＜a＜9，
由于三角形的各邊均為整數(shù)，則a＝6或7或8，因此有三個(gè)三角形，
故答案為：3；
（2）①當(dāng)b為腰時(shí)，a＝2＝b．2+2＜7不能構(gòu)成三角形，所以不成立；
②當(dāng)c為腰時(shí)，a＝7＝c．7+2＞7能構(gòu)成三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為7+7+2＝16；
所以當(dāng)此三角形是等腰三角形時(shí)，其周長(zhǎng)是16．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)解答．
14．（6分）如圖，已知AB∥CD，AC平分∠BAD．
（1）求證：AD＝DC；
（2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠3，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1＝∠3，等量代換得出∠1＝∠2，進(jìn)而證得AD＝DC；
（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根據(jù)∠D＝120°求出∠3，根據(jù)AC⊥CB得出∠ACB＝90°，進(jìn)而求出∠B．
【解答】（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
AD＝DC；
（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，
∵∠D＝120°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠3＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用．
15．（6分）放風(fēng)箏是中國(guó)民間的傳統(tǒng)游戲之一，風(fēng)箏又稱風(fēng)琴，紙鷂，鷂子，紙鳶．如圖1，小華制作了一個(gè)風(fēng)箏，示意圖如圖2所示，AB＝AC，DB＝DC，他發(fā)現(xiàn)AD不僅平分∠BAC，且平分∠BDC，你覺(jué)得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】利用SSS證明△ABD≌△ACD即可解決問(wèn)題．
【解答】解：結(jié)論正確．
證明如下：
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，
即AD不僅平分∠BAC，且平分∠BDC，
∴結(jié)論正確．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，比較簡(jiǎn)單．
16．（6分）（1）如圖1，已知BE，CD是△ABC的角平分線，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺作出∠BAC的平分線；
（2）如圖2，已知∠ABC＝∠DCB，且BD，CA分別平分∠ABC與∠DCB，AC與BD相交于O，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺作出∠BOC的平分線．
【分析】（1）連接A點(diǎn)和BE與CD的交點(diǎn)，并延長(zhǎng)交BC于F，則AF滿足條件；
（2）BA、CD的延長(zhǎng)線相交于P點(diǎn)，可證明△PAB和△OBC都為等腰三角形，同時(shí)可判斷O點(diǎn)為△PBC的角平分線的交點(diǎn)，則延長(zhǎng)PO交BC于Q，所以O(shè)Q滿足條件．
【解答】解：（1）如圖1，AF為所作；
（2）如圖2，OQ為所作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖．也考查了三角形三條角平分線相交于點(diǎn)．
17．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；
（2）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)： （1，2） ；
（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使得△PAC周長(zhǎng)最?。ūＡ糇鲌D痕跡）
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)
（3）連接AC′交y軸于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可使得△PAC周長(zhǎng)最?。?br>【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（1，2）；
故答案為：（1，2）；
（3）如圖，點(diǎn)P即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD＝DE，根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB＝90°，DE＝1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．
【解答】（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
19．（8分）如圖，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求證：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度數(shù)．
【分析】（1）由“ASA”可證△ABC≌△CDE；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，即可求解．
【解答】（1）證明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°．
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠AED＝37°+45°＝82°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，△ABC為等邊三角形，D為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，以CD為一邊作等邊三角形CDE，連接AE．
（1）求證：BD＝AE；
（2）判斷AE與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，然后證明出△BCD≌△ACE（SAS），進(jìn)而求解即可；
（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠CAE＝60°，然后利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝60°，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到∠EAD＝60°，進(jìn)而得到∠B＝∠EAD＝60°，進(jìn)而求解即可．
【解答】（1）證明：∵△ABC，△CDE為等邊三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BAC+∠ACD＝∠DCE＝+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）解：∵△BCD≌△ACE，
∴∠B＝∠CAE＝60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝180°﹣∠BAC﹣∠CAE＝60°，
∴∠B＝∠EAD＝60°，
∴BC∥AE．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明出△BCD≌△ACE（SAS）．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．（9分）如圖1，在△ABC中，AD是它的角平分線．求證：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（1）請(qǐng)你完成這道題的證明；
（2）若添加一個(gè)條件∠C＝2∠B，如圖2，請(qǐng)同學(xué)們?nèi)ヌ骄烤€段AB、AC、CD三者的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜想它們的數(shù)量關(guān)系，并完成證明過(guò)程．
【分析】（1）根據(jù)AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分線性質(zhì)可知DE＝DF，△ABD與△ACD等高，面積比即為底邊的比．
（2）在AB上截取AE＝AC，證明△ADE≌△ADC，得出AE＝AC，DE＝DC，∠C＝∠AED，由外角性質(zhì)可得∠B＝∠BDE，得出BE＝DE＝DC，可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、F，如圖1，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝
＝AB：AC．
（2）解：AB＝AC+CD．
證明：在AB上截取AE＝AC，連接DE，如圖2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
又AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴AE＝AC，DE＝DC，∠C＝∠AED，
又∠AED＝∠B+∠BDE＝∠C，且∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝DC，
∴AB＝AE+EB＝AC+CD，即AB＝AC+CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，三角形計(jì)算面積的方法等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．
22．（9分）在△ABC中，∠B＝60°，D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．
（1）如圖1，若點(diǎn)F恰好落在邊BC上，判斷△BDF的形狀，并證明；
（2）如圖2，若點(diǎn)F落在△ABC內(nèi)，且DF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，CF＝EF，求∠A的度數(shù)；
（3）若AB＝9，當(dāng)△BDF是直角三角形時(shí)，直接寫出AD的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出相等的角，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知角相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意分兩種情況，再根據(jù)圖形以及折疊的性質(zhì)得到AD的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）△BDF是等邊三角形，理由如下：
∵∠B＝60°，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
由折疊可得∠FDE＝∠ADE＝60°，
∴∠BDF＝60°，
∴∠DFB＝∠B＝∠BDF＝60°，
∴△BDF是等邊三角形；
（2）由折疊可得∠A＝∠DFE，
∵∠FDE＝∠ADE＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵CF＝EF，
∴∠FEC＝∠FCE，
設(shè)∠FEC＝∠FCE＝x，則∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，
在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即2x+x+120°＝180°，
解得x＝20°，
∴∠A＝2x＝40°；
（3）AD的長(zhǎng)是3或6，理由如下：
當(dāng)∠BFD＝90°時(shí)，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)（如圖所示），
∵∠BDF＝60°，
∴∠DBF＝30°，
∴BD＝2DF，
由折疊得DF＝AD，
∴BD＝2AD，
∴3AD＝9，
∴AD＝3；
當(dāng)∠DBF＝90°時(shí)，點(diǎn)F在△ABC外，
同理可得AD＝DF＝2BD，
∴AD＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
六、解答題（本大題共12分）
23．（12分）CD是經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面三個(gè)問(wèn)題：
①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則∠BCE ＝ ∠CAF，BE ＝ CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；并證明這兩個(gè)結(jié)論．
②如圖2，若∠BCA＝80°，要使∠BCE與∠CAF有①中的結(jié)論，則∠α＝ 100° ．
③如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件 ∠α+∠BCA＝180° 使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明這兩個(gè)結(jié)論．
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．
【分析】（1）①證明△BCE≌△CAF（AAS），得出BE＝CF，∠BCE＝∠CAF，
②由三角形外角的性質(zhì)可得出結(jié)論；
③證明△BCE≌△CAF（AAS），得出BE＝CF，CE＝AF，∠BCE＝∠CAF，則可得出結(jié)論；
（2）證明△BEC≌△CFA（AAS），推出BE＝CF，CE＝AF即可．
【解答】解：（1）①∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BEC＝∠AFC＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，∠BCE＝∠CAF，
故答案為：＝，＝．
②∠α＝100°時(shí)，①中的結(jié)論仍然成立；
證明：∵∠BEC＝∠CFA＝a＝100°，
∴∠BCE+∠CBE＝80°，
∵∠ACB＝∠BCE+∠ACF＝80°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∴∠BCE＝∠CAF；
③∠α+∠BCA＝180°，①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立．
證明：∵∠BCE+∠BED＝180°，
∴∠BCA＝∠BED，
∵∠BED＝∠CBE+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ACF，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，∠BCE＝∠CAF，
∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF；
故答案為：∠α+∠BCA＝180°；
（2）EF＝BE+AF．
理由：∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC＝∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF＝CE，BE＝CF，
∵EF＝CE+CF，
∴EF＝BE+AF．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．

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