（考試時間：120分鐘總分：150分）
命題學(xué)校：永定一中
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若函數(shù)，則函數(shù)從到的平均變化率為
A．6B．3C．2D．1
2.已知空間中三角形ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則BC邊上的中線的長度為
A．B．C．2D．
3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則
A．B．1C．D．
4.2024年4月4日是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“清明節(jié)”.這天，李華的媽媽煮了五個青團(tuán)子，其中兩個肉餡，三個豆沙餡，李華隨機(jī)拿了兩個青團(tuán)子，若李華拿到的兩個青團(tuán)子為同一種餡，則這兩個青團(tuán)子都為肉餡的概率為
A．B．C．D．
5.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，則的最小值為
A．B．C．D．
6.已知函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如下，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為
A．B．C．D．
7.在平行六面體中，M，N分別為線段，上的點(diǎn)，則“且”是“M，N，三點(diǎn)共線”的
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
8.已知正方體的棱長為1m.平面與正方體的每條棱所成的角均相等，記為.平面與正方體表面相交形成的多邊形記為M，下列結(jié)論正確的是
A．M可能為三角形、四邊形或六邊形
B．
C．M的面積的最大值為
D．正方體內(nèi)可以放下直徑為1.2m的圓
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知函數(shù)，則
A．有兩個極值點(diǎn)B．有三個零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線
10.甲口袋中有3個紅球、2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球、3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出1個球放入乙口袋，分別用，和表示從甲口袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙口袋中隨機(jī)取出1個球，用B表示從乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯誤的是
A．，，是兩兩互斥的事件B．
C．事件與事件B相互獨(dú)立D．
11.如圖，正方體ABCD-EFGH的棱長等于2，K為正方形ABCD的中心，M，N分別為棱BF，EF的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的有
A．B．
C．D．△KMN的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.設(shè)表示事件M發(fā)生的概率，若，，，則 .
13.若函數(shù)，則 .
14.某生物科學(xué)研究院為了研究新科研項目需建造如圖所示的全封閉生態(tài)穹頂，該建筑（不計厚度，長度單位：m）的上方為半球形，下方為圓柱形，符合設(shè)計要求的生態(tài)穹頂建筑的容積為，且（其中l(wèi)為圓柱的高，r為半球的半徑），假設(shè)該生態(tài)穹頂建筑的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米的建造費(fèi)用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費(fèi)用為c（）萬元，當(dāng) m時，該生態(tài)穹頂建筑的總建造費(fèi)用最少.
四、解答題：本題共5小題，共77分（13＋15＋15＋17＋17）.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.如圖，在空間四邊形OABC中，，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，設(shè)，，.
（1）試用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值.
16.甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品.
（1）從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；
（2）若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取1個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率.
17.已知函數(shù)，.
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，求該切線的方程.
（2）若，求證：當(dāng)時，.
（3）若的極小值為，求a的值.
18.如圖，在長方體中，，，點(diǎn)E在棱AB上移動.
（1）求證：.
（2）當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時，求點(diǎn)E到平面的距離.
（3）在棱AB上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面AMC所成的角為？若存在，求出AM的值；若不存在，請說明理由.
19.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示，谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO＇為鉛垂線（O＇在AB上）.經(jīng)測量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離（米）與D到OO＇的距離a（米）之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離（米）與F到OO＇的距離b（米）之間滿足關(guān)系式.已知點(diǎn)B到OO＇的距離為40米.
（1）求橋AB的長度.
（2）計劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO＇的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上（不包括端點(diǎn)）.橋墩EF每米的造價為k（萬元），橋墩CD每米的造價為（萬元），，問OE為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？
龍巖市一級校聯(lián)盟2023—2024學(xué)年第二學(xué)期半期考聯(lián)考
高二數(shù)學(xué)參考答案
1.B（改編自《湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修》P3例2
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>故函數(shù)從到的平均變化率為.
故選B.
2.D
【分析】利用空間的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】由題可得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以BC邊上的中線的長度為.
故選D.
3.C
【詳解】由函數(shù)，可得，
令，可得，解得，所以，，.
故選C.
4.A
【詳解】設(shè)事件A為“李華拿到的兩個青團(tuán)子為同一種餡”，事件B為“兩個青團(tuán)子都為肉餡”，則事件A包含的基本事件的個數(shù)為，事件AB包含的基本事件的個數(shù)為，所以.
故選A.
5.B（改編自《湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修》P83第9題）
【詳解】
∵，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，
∴可設(shè).
又向量，，
∴，，
則.
易得當(dāng)時，取得最小值.
故選B.
6.A（改編自《湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》P32練習(xí)第1題）
【分析】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調(diào)性，再探討的正負(fù)及零點(diǎn)個數(shù).
【詳解】觀察圖象知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，選項BD不滿足.
當(dāng)時，函數(shù)先遞增，再遞減，然后又遞增，有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)，
則的值先為正，再為負(fù)，然后又為正，有兩個不同的零點(diǎn)，A滿足，C錯誤.
故選A.
7.B（改編自《湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》P66例3）
【詳解】設(shè)，，，則.
又，所以，
.
因?yàn)?，?br>所以，
所以，
所以，可知.
又是直線和的公共點(diǎn)，
所以和共線，即M，N，三點(diǎn)在一條直線上.
又易知由M，N，共線無法確定且.
故選B.
8.D
【分析】A選項，建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識可知平面可為與垂直的平面，即可判斷選項正誤；B選項，由A選項分析及線面角計算公式可判斷選項正誤；C選項，由A選項分析可表示出兩種情況下M的面積表達(dá)式，即可判斷選項正誤；D選項，問題等價于判斷M內(nèi)部最大圓直徑的最大值是否大于1.2m.
【詳解】A選項，如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，.
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)槠矫媾c正方體的每條棱所成的角均相等，
所以
.
由對稱性，不妨取，則法向量可為，又，
所以平面可為與垂直的平面.
如圖1，連接，BD，，AC.
圖1
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，
又，，AC，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得.
又BD，平面，，所以平面，
即平面可為與平面平行的平面.
當(dāng)平面與（不含A）相交時，M為與相似的正三角形；
當(dāng)平面與（不含，）相交時，M為如圖2所示的六邊形；
圖2
當(dāng)平面與（不含）相交時，M為與相似的正三角形.
所以M可能為三角形或六邊形，故A錯誤.
B選項，由A選項分析可知，，故B錯誤.
選項，由A選項分析可知，當(dāng)平面過，B，D或，，C時，
所得正三角形的面積最大，由題可得其邊長為，則相應(yīng)面積為.
當(dāng)M為六邊形時，如圖3所示，，，，
圖3
結(jié)合圖形可知，且由題可知六邊形RSUVWT為中心對稱圖形.
設(shè)其對稱中心為O，則四邊形四邊形四邊形UVOS，
則六邊形的面積為相應(yīng)四邊形面積的3倍.
設(shè)RS，RT的中點(diǎn)分別為F，E，連接EF，OE，OF.
因?yàn)?，所以?br>四邊形RSOT的面積為四邊形REOF面積的2倍，則六邊形的面積為四邊形REOF面積的6倍.
設(shè)，，，
由題結(jié)合圖形可知，，，，.
在△EFR中，由余弦定理得.
注意到，，則R，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，則△REF外接圓的直徑等于OR，
由正弦定理可得，
，.
六邊形的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
又，所以M的面積的最大值為，故C錯誤.
D選項，先判斷M內(nèi)部的最大圓直徑的最大值是否超過1.2m.
當(dāng)M為正三角形時，M內(nèi)部的最大圓為三角形的內(nèi)切圓.
易知當(dāng)平面過，B，D或，，C時，所得內(nèi)切圓半徑最大.
設(shè)此時內(nèi)切圓的半徑為r，三角形的面積為S＇，周長為C，
則內(nèi)切圓的直徑.
當(dāng)M為六邊形時，M內(nèi)部的最大圓半徑滿足，
由C選項分析，可知，，則當(dāng)時，取得最大值，
此時M內(nèi)部的最大圓的直徑為.
因?yàn)?，所以，即正方體內(nèi)可以放下直徑為1.2m的圓，故D正確.
故選D.
圖4
【點(diǎn)睛】本題首先需要通過向量方法，得到滿足題意的平面的具體特征，后利用幾何知識，結(jié)合正余弦定理可得圖形M的面積的最大值及其內(nèi)部最大圓的直徑.
9.AC
【詳解】由題知，令，得或，
令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以是極值點(diǎn)，故A正確.
因?yàn)?，，?br>所以在上有一個零點(diǎn).
當(dāng)時，，即在上無零點(diǎn).
綜上，有一個零點(diǎn)，故B錯誤.
令，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，
，
則是奇函數(shù)，點(diǎn)是圖象的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位長度得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確.
令，可得，又，
所以當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，故D錯誤.
故選AC.
10.CD
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的概念和條件概率公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，，是兩兩互斥的事件，故A正確.
∵，，，
∴，故B正確.
由，
得，
，則事件與事件B不獨(dú)立，故CD錯誤.
故選CD.
11.ACD（改編自《湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》P83練習(xí)第12題）
【詳解】以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF，EH，EA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，.
A：，，，，∴A正確.
B：，∴B錯誤.
C：，∴C正確.
D：因?yàn)?，則，所以，，
，所以△KMN的面積，∴D正確.
故選ACD.
12.
【分析】根據(jù)題意分別求出，，進(jìn)而利用即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
13.2023?。ǜ木幾浴断娼贪娓咧袛?shù)學(xué)選擇性必修二》P51第15題
【詳解】設(shè)，則，
，.
14.2
【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓柱以及球的體積公式表示出l，r的關(guān)系式，確定r的取值范圍，利用面積確定總建造費(fèi)用與半徑的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)確定總建造費(fèi)用最少時r的值.
【詳解】設(shè)該建筑的容積為，由題意知，
又，所以.
由于，即，因此.
設(shè)該建筑的總建造費(fèi)用為y萬元，則
，，
于是，
由于，所以.
當(dāng)時，，所以y在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，建筑的總建造費(fèi)用y取得最小值.
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是由題意求出建筑的總建造費(fèi)用的表達(dá)式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解其最值問題.
15.解：
（1）因?yàn)?，所以?br>所以.
因?yàn)辄c(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以.
（2）因?yàn)?，?br>所以
.
16.解：
（1）從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事件數(shù)為，
這2個產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為.
∴這2個產(chǎn)品都是次品的概率為.
（2）設(shè)事件A為“從乙箱中取出的1個產(chǎn)品是正品”事件為“從甲箱中取出的2個產(chǎn)品都是正品”事件為“從甲箱中取出1個正品和1個次品”，事件為“從甲箱中取出的2個產(chǎn)品都是次品”，則事件，事件，事件兩兩互斥.
，，，
，，，
∴.
17.
（1）解：由函數(shù)，可得，
所以，可得，所以，即切點(diǎn)為，
所以切線方程為，即.
（2）證明：當(dāng)時，，可得.
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
所以的最小值為，
所以當(dāng)時，成立.
（3）解：對于函數(shù)，，可得，
①若，可得，此時無極值點(diǎn)，不符合題意（舍去）.
令，解得或.
②若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得極小值，
令，解得.
③若，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得極小值，不符合題意（舍去）.
綜上，實(shí)數(shù)a的值為.
18.（改編自《湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》P112第19題）
（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，，
則，，，，.
因?yàn)?，所以?br>所以.
（2）解：因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以，
從而，，.
設(shè)平面的法向量為，則，
即，得，
從而，
所以點(diǎn)E到平面的距離.
（3）解：設(shè)這樣的點(diǎn)M存在，且，，平面與平面AMC所成的角為，
則，，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，得.
平面AMC的一個法向量，
所以，
由，解得.
所以滿足題意的點(diǎn)M存在，此時.
19.解：
（1）如圖，設(shè)，，，都與MN垂直，，，，是相應(yīng)垂足.由條件知，
當(dāng)時，，則.
由，得.
所以（米）.
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OO＇為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示.
設(shè)，，則，
.
因?yàn)?，所?
設(shè)，則，
所以.
記橋墩CD和EF的總造價為萬元，
則
（）.
，
令，得.
當(dāng)x變化時，，的變化情況如下：
所以當(dāng)時，取得最小值.
答：
（1）橋AB的長度為120米；
（2）當(dāng)O＇E為20米時，橋墩CD和EF的總造價最低.
x
20
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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