北京市廣渠門中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則下列不在直線l上的點(diǎn)是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知的兩點(diǎn)求出直線l的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求解.
【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線l的方程為，即，
將各個(gè)選項(xiàng)中的坐標(biāo)代入直線方程，
可知點(diǎn)，，都在直線l上，點(diǎn)不在直線l上．
故選：D．
2. 直線經(jīng)過第一、二、四象限，則a，b，c應(yīng)滿足（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】寫成斜截式，由斜率和與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)確定直線經(jīng)過的象限.
【詳解】若，則直線不會(huì)經(jīng)過三個(gè)象限，所以，
所以，
因?yàn)橹本€經(jīng)過第一、二、四象限，
所以斜率，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)，
解得，
故選：A
3. 已知，，，若，，共面，則等于（）
A. B. 9C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由，，共面，設(shè)，根據(jù)條件列出方程組即可求出λ的值．
【詳解】因?yàn)?，，共面，設(shè)，
又，，，得到，
所以，解得，
故選：A.
4. 若關(guān)于，的方程組，無解，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可知方程組無解等價(jià)于直線平行，即可建立關(guān)系求出.
【詳解】可得方程組無解，等價(jià)于直線和直線平行，
則，解得.
故選：C.
5. 如圖底面為平行四邊形的四棱錐，，若，則（）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算將用表示，再根據(jù)空間向量基本定理即可得解.
【詳解】由題意，
，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故選：A.
6. “”是“直線：與直線：互相垂直”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直求出參數(shù)的值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若直線：與直線：互相垂直，
則，解得或，
所以由“”推得出“直線：與直線：互相垂直”，即充分性成立；
由“直線：與直線：互相垂直”推不出“”，即必要性不成立，
所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A
7. 設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系分析求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，傾斜角為
當(dāng)時(shí)，直線的斜率，
因?yàn)椋瑒t，
所以；
綜上所述：線的傾斜角的范圍是.
故選：C．
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.
【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，
所以的最大值為，選C.
【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．
9. 如圖，三棱錐中，，且平面與底面垂直，為中點(diǎn)，，則平面與平面夾角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可.
【詳解】如圖，連接，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以，
又平面底面，平面底面平面，
所以平面，故兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，由，
可得，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，令，得，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，令，得，得，
則，
則平面與平面夾角的余弦值為.
故選：B
10. “十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，圖①是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”有兩個(gè)底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，則（）
A.
B. 點(diǎn)的坐標(biāo)為
C. ，，，四點(diǎn)共面
D. 直線與直線所成角的余弦值為
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.
【詳解】依題意，正方形的對角線，則，
，，，
對于A，，A錯(cuò)誤；
對于B，由，得，B錯(cuò)誤；
對于C，，
于是，又為三個(gè)向量的公共起點(diǎn)，因此四點(diǎn)共面，C正確；
對于D，，，
直線與直線所成角的余弦值為，D錯(cuò)誤.
故選：C
二?填空題（每小題5分，共30分）
11. 已知，，且，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)列出比例式，求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，解?
故答案為：.
12. 過點(diǎn)（-1,3）且平行于直線的直線方程為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知直線的斜率及所過的點(diǎn)，由點(diǎn)斜式則所求直線為，整理即可得其一般式.
【詳解】由直線斜率為，結(jié)合題意，知：所求直線為，
∴整理可得：.
故答案為：.
13. 若，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為_______．
【答案】6
【解析】
【分析】設(shè)向量的夾角為θ，利用空間向量的模的公式和夾角公式，分別算出，csθ．再用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出sinθ，最后由正弦定理的面積公式即可算出所求平行四邊形的面積．
【詳解】設(shè)向量的夾角為θ
∵，，
∴csθ
由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得sinθ
∴以為鄰邊的平行四邊形面積為S?sinθ6.
故答案為6.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的夾角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和正弦定理面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．
14. 已知，則向量在上的投影向量坐標(biāo)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出，再由投影向量的計(jì)算式求解即可；
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以向量在上的投影向量坐標(biāo)為.
故答案為：.
15. 若直線：經(jīng)過點(diǎn)，則直線在軸和軸截距之和的最小值是_______．
【答案】．
【解析】
【詳解】試題分析：由題意得，∴截距之和為
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即的最小值為．
考點(diǎn)：1直線的方程；2．基本不等式．
16. 在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足BP=λBC+μBB1，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請?zhí)钊胨姓_說法的序號）
①當(dāng)時(shí)，的周長為定值
②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得
④當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面
【答案】②④
【解析】
【分析】①結(jié)合得到P在線段上，結(jié)合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點(diǎn)到平面距離不變，故體積為定值；③結(jié)合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯(cuò)誤；④結(jié)合圖形得到有唯一的點(diǎn)P，使得線面垂直.
【詳解】由題意得：BP=λBC+μBB1，，，所以P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，
①，當(dāng)時(shí)，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在處時(shí)，，故①錯(cuò)誤；
②，如圖2，當(dāng)時(shí)，即，即，，所以P在上，，因?yàn)椤蜝C，平面，平面，所以點(diǎn)P到平面距離不變，即h不變，故②正確；
③，當(dāng)時(shí)，即BP=12BC+μBB1，如圖3，M為中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，P是MN上一動(dòng)點(diǎn)，易知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點(diǎn)，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因?yàn)槠矫?，則，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯(cuò)誤；
④，當(dāng)時(shí)，即BP=λBC+12BB1，如圖4所示，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，易知，若平面，只需即可，取的中點(diǎn)F，連接，又因?yàn)槠矫?，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，故只有一個(gè)點(diǎn)P符合要求，使得平面，故④正確.
故選：②④
【點(diǎn)睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點(diǎn)，特殊值進(jìn)行排除選項(xiàng)，或者用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化等思路進(jìn)行解決.
三?解答題（共50分）
17. 已知的頂點(diǎn)分別為，，.
（1）求邊的中線所在直線的方程；
（2）求邊的垂直平分線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由條件中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求所在直線的方程；
（2）根據(jù)直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系求直線的斜率，再求垂直平分線的方程.
【小問1詳解】
設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
邊的中線過點(diǎn)兩點(diǎn)，
所在直線方程為，即；
【小問2詳解】
的斜率，
的垂直平分線的斜率，
直線的方程為，即.
18. 在平行六面體中，，，.

（1）求的長；
（2）求到直線的距離；
（3）動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空間向量基本定理直接求解即可；
（2）結(jié)合長度關(guān)系，利用線面垂直得出，即得為到直線的距離，進(jìn)而求解即可；
（3）設(shè)，表示出，即可求出所求的最小值.
【小問1詳解】
由題知，，
因?yàn)椋?br>所以
，
而，
，
，
所以，
即的長度為.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
在中，，
所以，
即，
又因?yàn)椋?br>所以平面，
而平面，
所以，
即為到直線的距離，
而，
所以三角形為等邊三角形，即，
即到直線的距離為.
【小問3詳解】
設(shè)，
則
，
當(dāng)時(shí)，這時(shí)最小，且為.

19. 如圖，正方形的邊長為2，，分別為，的中點(diǎn).在五棱錐中，為棱上一點(diǎn)，平面與棱，分別交于點(diǎn)，.

（1）求證：；
（2）若底面，且，直線與平面所成角為.
（i）確定點(diǎn)的位置，并說明理由；
（ii）求線段的長.
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）F為中點(diǎn)；理由見解析（ii）2.
【解析】
【分析】（1）先由線面平行的判定定理證明平面，再由性質(zhì)定理得到；
（2）（i）建立如圖所示坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，代入空間線面角的向量公式求解即可；
（ii）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由向量共線可設(shè)可得到，再根據(jù)求出，最后計(jì)算模長即可.
【小問1詳解】
在正方形中，，又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
則；
【小問2詳解】
（i）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，有直線與平面所成角為，
證明如下：由平面，可得
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，
又為中點(diǎn)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，
則有，即，令，則，
則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的大小為.
（ii）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以可設(shè)，
即，所以，
因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄浚?br>所以，即，
解得，故，則，
所以.
20. 設(shè)正整數(shù)，集合，對于集合中的任意元素和，及實(shí)數(shù)，定義：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；；．若的子集滿足：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則稱為的完美子集．
（1）當(dāng)時(shí)，已知集合，．分別判斷這兩個(gè)集合是否為的完美子集，并說明理由：
（2）當(dāng)時(shí)，已知集合．若不是的完美子集，求的值；
（3）已知集合，其中．若對任意都成立，判斷是否一定為的完美子集．若是，請說明理由；若不是，請給出反例．
【答案】（1）為完美子集，不是的完美子集，理由見解析
（2）
（3）是，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)完美子集的定義，列方程組求值判斷即可；
（2）根據(jù)題意列方程組，解方程組即可求解；
（3）假設(shè)存在不全為0的實(shí)數(shù)，，滿足條件，不妨設(shè)，由條件得出矛盾即可求解.
【小問1詳解】
由，
顯然只有唯一解，即，
所以為的完美子集；
同理，對于，，
令，
即，方程組的解不唯一，
比如，，為方程組的一組解，故不是的完美子集；
【小問2詳解】
由題意得，
所以，
由不是的完美子集，即方程組的解不唯一，
因?yàn)椋?br>由集合的互異性得，且，
所以，，，
所以，
所以，
所以或，
檢驗(yàn)：
當(dāng)時(shí)，存在，，，使得，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，，舍?br>所以；
【小問3詳解】
假設(shè)存在不全為0的實(shí)數(shù)，，滿足，
不妨設(shè)，則否則與假設(shè)矛盾，
由，得，
所以，
與，即矛盾，
所以假設(shè)不成立，所以．所以，
所以一定是完美集.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解得到的方程組有什么樣的解，從而根據(jù)定義得到相關(guān)結(jié)論即可.

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