模塊四 題型全通關(guān)專題3 解答型題型第5講 探究題 -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練（含解析）

這是一份模塊四 題型全通關(guān)專題3 解答型題型第5講 探究題 -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練（含解析），共67頁。
第5講 探究題
義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)主動的過程，認(rèn)真聽講、獨(dú)立思考、動手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，初步養(yǎng)成獨(dú)立思考、探究質(zhì)疑、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，初步形成自我反思的意識．
考點(diǎn)講解：規(guī)律探究就是探究數(shù)與式的規(guī)律和圖形的規(guī)律．一般需要求解一部分，根據(jù)求解的這部分來發(fā)現(xiàn)變化中的不變、找出變化規(guī)律、得出結(jié)論．
【例1】
2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）
1．觀察下面的等式：
(1)寫出的結(jié)果．
(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(3)請運(yùn)用有關(guān)知識，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．
【變1】
（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）
2．【觀察思考】
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
請用含的式子填空：
(1)第個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為 ；
(2)第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，……，第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為______________．
【規(guī)律應(yīng)用】
(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)，使得連續(xù)的正整數(shù)之和等于第個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)的倍．
考點(diǎn)講解：類比探究就是依照A類的研究方法或結(jié)論去研究B類．可以借助解法，也可以借助結(jié)論的形式．
【例1】
（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）
3．矩形ABCD中，＝（k＞1），點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點(diǎn)F．
(1)【特例證明】如圖（1），當(dāng)k＝2時(shí)，求證：AE＝EF；
小明不完整的證明過程如下，請你幫他補(bǔ)充完整．
(2)【類比探究】如圖（2），當(dāng)k≠2時(shí)，求的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)k＝3時(shí)，P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的長．
【變1】
（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）
4．綜合與實(shí)踐．

(1)提出問題．如圖1，在和中，，且，，連接，連接交的延長線于點(diǎn)O．
①的度數(shù)是___________．
②__________．
(2)類比探究．如圖2，在和中，，且，連接并延長交于點(diǎn)O．
①的度數(shù)是___________．
②___________．
(3)問題解決．如圖3，在等邊中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段上（不與A重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．
①試說明為等腰三角形．
②求的度數(shù)．
考點(diǎn)講解：拓展探究就是改變條件后探究結(jié)論是否改變，或由特例探究一般情況是否成立．
【例1】
（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）
5．問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；
(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

【變1】
（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）
6．【問題情境 建構(gòu)函數(shù)】
（1）如圖1，在矩形中，是的中點(diǎn)，，垂足為．設(shè)，試用含的代數(shù)式表示．

【由數(shù)想形 新知初探】
（2）在上述表達(dá)式中，與成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結(jié)合 深度探究】
（3）在“取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值隨的增大而增大；②函數(shù)值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖像上存在四點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
【抽象回歸 拓展總結(jié)】
（4）若將（1）中的“”改成“”，此時(shí)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是__________；一般地，當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3條即可）．
考點(diǎn)講解：應(yīng)用探究就是通過探究解決實(shí)際應(yīng)用中的問題．一般針對實(shí)際情境，提出問題，通過探究解決問題．
【例1】
（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）
7．小明觀察到一個(gè)水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費(fèi)情況，小明用一個(gè)帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量簡中的總水量，但由于操作延誤，開始計(jì)時(shí)的時(shí)候量筒中已經(jīng)有少量水，因而得到如下表的一組數(shù)據(jù)：
(1)探究：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，請判斷和（k，b為常數(shù)）哪一個(gè)能正確反映總水量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系?并求出y關(guān)于t的表達(dá)式；
(2)應(yīng)用：
①請你估算小明在第20分鐘測量時(shí)量筒的總水量是多少毫升?
②一個(gè)人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個(gè)水龍頭一個(gè)月（按30天計(jì)）的漏水量可供一人飲用多少天．
【變1】
（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）
8．問題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？
探究：圖是“橋”側(cè)面示意圖，為橫梁與地面的交點(diǎn)，為圓心，是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn)．測得，點(diǎn)到的距離為．試判斷四邊形的形狀，并求的值．
探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形．
①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形，求的值；
②若有根橫梁繞成的環(huán)（為偶數(shù)，且），試用關(guān)于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長．

（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）
9．觀察下面的等式：，，，，…．
(1)嘗試：___________．
(2)歸納：___________（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．
(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．
（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）
10．設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．
(1)嘗試：
①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；
②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；
③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝ ；
……
(2)歸納：與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．
(3)運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．
（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）
11．觀察以下等式：
第1個(gè)等式：，
第2個(gè)等式：，
第3個(gè)等式：，
第4個(gè)等式：，
……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：
(1)寫出第5個(gè)等式：________；
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）
12．問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：
（1）當(dāng)在上時(shí)，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明；
（2）小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷的形狀，并說明理由；
規(guī)律探究：
（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．
（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
13．在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．
(1)操作判斷
小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片和拼成“L”形圖案，如圖①．
試判斷：的形狀為________．

(2)深入探究
小紅在保持矩形不動的條件下，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若，．
探究一：當(dāng)點(diǎn)恰好落在的延長線上時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖②．求的面積．
探究二：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖③．
求線段長度的最大值和最小值．

（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）
14．探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，探究過程如下：

(1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對應(yīng)值列表如下
其中，________．根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過描點(diǎn)畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
(2)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一動點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在圖2中，當(dāng)在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點(diǎn)）于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形和矩形，點(diǎn)、在邊上（），且點(diǎn)、、、在直線的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動；第三步，畫出邊的中點(diǎn)，射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），射線與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)、不重合），觀測、的長度．

(1)如圖，小麗取，滑動矩形，當(dāng)點(diǎn)、重合時(shí)，______；
(2)小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對于任意的總成立．請說明理由；
(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．
（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）
16．小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1，的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長．
(2)探究拓展：如圖2，連接，點(diǎn)G是上一動點(diǎn)，連接，延長交的延長線于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)G是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
②設(shè)，，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；
③如圖3，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請計(jì)算的長．
（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）
17．綜合與實(shí)踐
問題背景
數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．

探究發(fā)現(xiàn)
如圖1，在中，，．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則_______，設(shè)，，那么______（用含的式子表示）；
（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個(gè)比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：；
拓展應(yīng)用：
當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，，．求這個(gè)菱形較長對角線的長．

（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）
18．在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：
如圖1，中，（）．點(diǎn)D是邊上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；
(3)已知，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，此時(shí)是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值．
（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）
19．如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過點(diǎn)作射線，垂足為，點(diǎn)在上．

(1)【動手操作】
如圖②，若點(diǎn)在線段上，畫出射線，并將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為_______度；
(2)【問題探究】
根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)【拓展延伸】
如圖③，若點(diǎn)在射線上移動，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）
20．某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
(1)請分別直接寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；
【技能訓(xùn)練】
(2)如圖2，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【能力提升】
(3)如圖3，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動點(diǎn)P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與x軸平行．當(dāng)動點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線l：的距離．
請閱讀上面的材料，探究下題：
(4)如圖4，點(diǎn)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，請求出的面積．
（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）
21．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；
【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；
【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．
（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）
22．裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以為直徑的半圓，，如圖1和圖2所示，為水面截線，為臺面截線，．
計(jì)算：在圖1中，已知，作于點(diǎn)．
（1）求的長．
操作：將圖1中的水面沿向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當(dāng)時(shí)停止?jié)L動，如圖2．其中，半圓的中點(diǎn)為，與半圓的切點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)．

探究：在圖2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）連接OQ并延長交GH于點(diǎn)F，求線段與的長度，并比較大?。?br>（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）
23．問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：
(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的大??；
(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．
問題拓展：
(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．
證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答題卡對應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過程）
時(shí)間t（單位：分鐘）
1
2
3
4
5
…
總水量y（單位：毫升）
7
12
17
22
27
…
圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁夾住橫梁，使得橫梁不能移動，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．
圖是長為，寬為的橫梁側(cè)面示意圖，三個(gè)凹槽都是半徑為的半圓．圓心分別為，縱梁是底面半徑為的圓柱體．用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì)．

參考答案：
1．(1)
(2)
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；
（3）將因式分解，展開化簡求解即可．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）
．
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)前幾個(gè)圖案的規(guī)律，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形規(guī)律，即可求解．
（3）根據(jù)題意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：第1個(gè)圖案中有個(gè)，
第2個(gè)圖案中有個(gè)，
第3個(gè)圖案中有個(gè)，
第4個(gè)圖案中有個(gè)，
……
∴第個(gè)圖案中有個(gè)，
故答案為：．
（2）第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，
第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，
第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，
第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，……，
第n個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，
（3）解：依題意，，
第個(gè)圖案中有個(gè)，
∴，
解得：（舍去）或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
3．(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）證明△AHE≌△ECF（ASA）即可；
（2）在BA上截取BH=BE，連接EH．證明△AHE∽△ECF，即可求解；
（3）以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，設(shè)AB=3a，則BC=2a，連接P'E，HE，延長P'H交CD于點(diǎn)G，連接EG，證明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四邊形APEP'是正方形，再證明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，過點(diǎn)P作PK⊥AE交于K，進(jìn)而證明四邊形PKEF是矩形，則有PF==a，即可求出BC=．
【詳解】（1）證明：如圖，在BA上截取BH=BE，連接EH．
∵k=2，
∴AB=BC．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AHE=180°-∠1=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠3=∠DCG=45°，
∴∠ECF=∠3+∠4=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB=90°，
∵∠5+∠AEB=90°，
∴∠5=∠6，
∵AB=BC，BH=BE，
∴AH=EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：在BA上截取BH=BE，連接EH．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠DCF=∠DCG=45°．
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
∴，
∵，E是BC邊的中點(diǎn)，
∴EC=HB=BC，
∴AH=AB-BC=BC，
∴；
（3）解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，
∵k=3，
∴，
設(shè)AB=3a，則BC=2a，
∵∠PAE=45°，
∴∠P'AP=90°，
連接P'E，HE，延長P'H交CD于點(diǎn)M，連接EM，
∵AH=AD=2a，
∴BH=a，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=a，
∴HE=a，∠BHE=45°，
∴∠P'HE=135°，
∵CG=EC=a，
∴∠MEC=45°，
∴∠PME=135°，
∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE=P'E，
∴△PEM≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG=∠P'EH，
∵∠HEG=∠EGH=45°，
∴∠HEG=90°，
∴∠PEP'=90°，
∴∠AEP=∠AEP'=45°，
∴∠APE=∠AP'E=90°，
∴四邊形APEP'是正方形，
∴AP=PE，
∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，
∴∠DAP=∠EPC，
∵AP=PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD=PC=2a，PD=ED=a，
∴PE=a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
∴，
∵
∴，
∵∠HEM=∠AEF=90°，
∴∠HEA=∠MEF，
∵∠PEM=∠P'EH，
∴∠PEF=∠P'EH=45°，
過點(diǎn)P作PK⊥AE交于K，
∵EF⊥AE，
∴PKEF，
∵，
∴PK=EF，
∴四邊形PKEF是矩形，
∴PF=KE，
∵，
∴，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形是判定及性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．(1)①．②
(2)①．②
(3)①見解析；②
【分析】（1）①證明得到，進(jìn)而證明，即可求出；②由全等三角形的性質(zhì)可得，則；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證明，得到，推出，則；②由相似三角形的性質(zhì)可得；
（3）①連接，延長交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)O，證明分別是、的中位線，得到，再證明，得到，則，由此即可證明為等腰三角形；②由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出，則，再由平行線的性質(zhì)可得．
【詳解】（1）解：①，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵即，
∴，即
∴，
故答案為：；
②∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：①∵在和中，，且，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
②∵，
∴，
故答案為：；
（3）解：①連接，延長交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)O
在等邊中，于點(diǎn)D，
為的中點(diǎn)
又為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，
分別是、的中位線
∵都是等邊三角形，
∴
，

在和中
，
為等腰三角形．
②
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
又，即
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確理解題意通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
5．(1)正方形，見解析
(2)①，見解析；②
【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，則易得，點(diǎn)G是的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)知識可求得的長，進(jìn)而求得的長，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四邊形為矩形．
∵，
∴．
∴矩形為正方形．
（2）：①．
證明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如圖：設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的長為．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點(diǎn)，適當(dāng)添加的輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
6．（1）；（2）取任意實(shí)數(shù)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，見解析；（3）①④；（4），見解析
【分析】（1）證明，得出，進(jìn)而勾股定理求得，即，整理后即可得出函數(shù)關(guān)系式；
（2）若為圖像上任意一點(diǎn)，則．設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則．當(dāng)時(shí)，可求得．則也在的圖像上，即可得證，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)補(bǔ)全函數(shù)圖象即可求解；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，以及中心對稱的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解；
（4）將（1）中的4換成，即可求解；根據(jù)（2）的圖象探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）在矩形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，∴．
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．
在中，，
∴．∴．
∴關(guān)于的表達(dá)式為：．
（2）取任意實(shí)數(shù)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱．
理由如下：
若為圖像上任意一點(diǎn)，則．
設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則．
當(dāng)時(shí)，
．
∴也在的圖像上．
∴當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．
函數(shù)圖像如圖所示．

（3）根據(jù)函數(shù)圖象可得①函數(shù)值隨的增大而增大，故①正確，
②由(1)可得函數(shù)值，故函數(shù)值的范圍為，故②錯(cuò)誤；
③根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，不存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
④因?yàn)槠叫兴倪呅问侵行膶ΨQ圖形，則在圖像上存在四點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，故④正確；
故答案為：①④．
（4）關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為；
當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，有如下相關(guān)性質(zhì)：
當(dāng)時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三象限，函數(shù)值隨的增大而增大，的取值范圍為；
當(dāng)時(shí)，圖像經(jīng)過第二、四象限，函數(shù)值隨的增大而減小，的取值范圍為；
函數(shù)圖像經(jīng)過原點(diǎn)；
函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，根據(jù)題意求得解析式是解題的關(guān)鍵．
7．(1)能正確反映總水量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；
(2)①102毫升；②144天
【分析】（1）觀察表格，可發(fā)現(xiàn)前一分鐘比后一分鐘少5毫升的水，故可得能正確反映總水量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，再選取兩組數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到y(tǒng)關(guān)于t的表達(dá)式；
（2）①將代入函數(shù)，即可解答；
②由解析式可知，每分鐘滴水量為毫升，故可算出1個(gè)月的總滴水量，再除以一個(gè)人每天的飲水量，即可解答．
【詳解】（1）解：觀察表格，可發(fā)現(xiàn)前一分鐘比后一分鐘少5毫升的水，故可得能正確反映總水量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，
把，代入，
可得，
解得，
y關(guān)于t的表達(dá)式；
（2）①當(dāng)時(shí)，，
故小明在第20分鐘測量時(shí)量筒的總水量是102毫升，
答：小明在第20分鐘測量時(shí)量筒的總水量是102毫升．
②由解析式可知，每分鐘的滴水量為毫升，
30天分鐘分鐘，
可供一人飲水天數(shù)天，
答：這個(gè)水龍頭一個(gè)月（按30天計(jì)）的漏水量可供一人飲用144天．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確讀懂題意，求得正確的一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
8．探究1：四邊形是菱形，；探究2：①；②
【分析】探究1：根據(jù)圖形即可判斷出形狀；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出長度，利用勾股定理即可求出長度，從而求出值．
探究2：①根據(jù)十二邊形的特性可知，利用特殊角正切值求出長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長度，從而求得值．②根據(jù)正多邊形的特性可知的度數(shù)，利用特殊角正切值求出和長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長度，從而求得值．
【詳解】解：探究1：四邊形是菱形，理由如下：
由圖1可知，，，
為平行四邊形．
橋梁的規(guī)格是相同的，
∴橋梁的寬度相同，即四邊形每條邊上的高相等，
∵的面積等于邊長乘這條邊上的高，
每條邊相等，
為菱形．
②如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，得，．
∴．
在中，，
∴．
∴．
故答案為：．
探究2：①如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，得，
．
．
又四邊形是菱形，
∴．
∴．
故答案為：．
②如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，形成的多邊形為正邊形，
外角．
在中，．
又，
∴．
形成的多邊形的周長為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是一道生活實(shí)際應(yīng)用題，考查的是菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于將生活實(shí)際和有關(guān)數(shù)學(xué)知識有效結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．
9．(1)6
(2)n
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以直接得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題目中給出的式子,可以直接得到答案；
（3）將（2）中等號左邊用平方差公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵，，，，
∴，，
故答案為：6；
（2）由題意得：，
故答案為：n；
（3）
．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，平方差公式，正確理解題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
10．(1)③；
(2)相等，證明見解析；
(3)
【分析】（1）③仔細(xì)觀察①②的提示，再用含有相同規(guī)律的代數(shù)式表示即可；
（2）由再計(jì)算100a(a＋1)＋25，從而可得答案；
（3）由與100a的差為2525，列方程，整理可得再利用平方根的含義解方程即可．
【詳解】（1）解：①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；
②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；
③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝；
（2）解：相等，理由如下：

100a(a＋1)＋25=
（3） 與100a的差為2525，

整理得： 即
解得：
1≤a≤9，
【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，完全平方公式的應(yīng)用，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，利用平方根的含義解方程，理解題意，列出運(yùn)算式或方程是解本題的關(guān)鍵．
11．(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；
（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．
【詳解】（1）解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：，
故答案為：；
（2）解：第n個(gè)等式為，
證明如下：
等式左邊：，
等式右邊：
，
故等式成立．
【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．
12．（1）見解析；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）的形狀不改變，見解析
【分析】（1）連接，，，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明，推出，再利用余角的性質(zhì)求出，推出即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（3）延長至點(diǎn)M，使，連接，證明，得到，推出，設(shè)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)N，得到，由得到，推出，進(jìn)而得到，再證明，得到，，證得，再由，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出，即可證得是等腰直角三角形．
【詳解】（1）證明：連接，，，如圖，

∵四邊形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵四邊形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）的形狀不改變，
延長至點(diǎn)M，使，連接，

∵四邊形、四邊形都是正方形，
∴，，
∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
設(shè)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，（3）中作輔助線利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的難點(diǎn)，熟練掌握各性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．
13．(1)等腰直角三角形
(2)探究一：；探究二：線段長度的最大值為，最小值為
【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推導(dǎo)出，即可判斷出是等腰直角三角形，
（2）探究一：證明，可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面積；
探究二：連接，取的中點(diǎn)，連接，取、的中點(diǎn)為、，連接，，，分別得出四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，則，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，，即可得出的最大值與最小值．
【詳解】（1）解：兩個(gè)完全相同的矩形紙片和，
，
是等腰三角形，
，．，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形；
（2）探究一：，，，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，
解得，
，
的面積；
探究二：連接，取的中點(diǎn)，連接，，取、的中點(diǎn)為、，連接，，，

是的中點(diǎn)，
，且，
，
，，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，
設(shè)的中點(diǎn)為，
，
的最大值為，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能夠確定H點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．
14．(1)2，圖見解析，圖象關(guān)于軸對稱
(2)或或
(3)是定值，
【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描點(diǎn)，連線畫出函數(shù)圖形，根據(jù)圖形寫出一條性質(zhì)即可；
（2）利用，進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)題意，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立拋物線的解析式，根據(jù)兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，得到，得到，分別聯(lián)立直線和直線的解析式，求出的坐標(biāo)，利用銳角三角形函數(shù)求出的長，再進(jìn)行求解即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
根據(jù)題干中的表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)，連線，得到函數(shù)圖象，如下：
由圖象可知：圖象關(guān)于軸對稱；
故答案為：．
（2）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)：，
解得：，
∴或，
當(dāng)時(shí)：，
解得：，
∴；
綜上：或或；
（3）是定值；
∵，當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，
∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，
∴，
設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
則：，解得：，
∴，
設(shè)直線：，
聯(lián)立和，得：，
∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴，
∴，
聯(lián)立，，得：，
聯(lián)立，，得：，
如圖：∵關(guān)于對稱，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，
則：，
∴，
∴
；
∴與的和為定值：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解直角三角形．解題的關(guān)鍵是掌握描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考壓軸題．
15．(1)；
(2)見解析；
(3)小麗的猜想正確，理由見解析．
【分析】（1）證，利用相似三角形的性質(zhì)即矩形的性質(zhì)即可得解；
（2）證得，同理可得，由，，得，進(jìn)而有，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得證；
（3）當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接、，由，恰為邊的中點(diǎn)，得，進(jìn)而證，得，于是有，由平行線分線段成比例得，同理可證：，于是有，從而即可得解．
【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形都是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）證明：如下圖，
解：∵小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點(diǎn)，
∴，，
∵四邊形和四邊形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：小麗的猜想正確，當(dāng)時(shí)，總成立，理由如下：
如下圖，取的中點(diǎn)，連接、，

∵四邊形和四邊形都是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵恰為邊的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可證：，
∵，
∴，
∴，
∴小麗的猜想正確．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，比例的性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)以及中點(diǎn)的定義，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．(1)；
(2)①見解析；②；③的長為或．
【分析】（1）先求得的直徑為10，再利用垂徑定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①連接，由點(diǎn)G是的中點(diǎn)，推出，根據(jù)等角的余角相等即可證明結(jié)論成立；
②利用勾股定理求得，利用垂徑定理得到，推出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
③分兩種情況討論，當(dāng)和時(shí)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）解：連接，

∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①連接，

∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，

∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③當(dāng)時(shí)，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
當(dāng)時(shí)，

在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
綜上，的長為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
17．（1）（2）證明見解析，拓展應(yīng)用：
【分析】（1）利用等邊對等角求出的長，翻折得到，，利用三角形內(nèi)角和定理求出，，，表示出即可；
（2）證明，利用相似比進(jìn)行求解即可得出；
拓展應(yīng)用：連接，延長至點(diǎn)，使，連接，得到為黃金三角形，進(jìn)而得到，求出的長即可．
【詳解】解：（1）∵，，
∴，
∵將折疊，使邊落在邊上，
∴，，
∴，；
故答案為：；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：（負(fù)值已舍掉）；
經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解．
∴；
拓展應(yīng)用：
如圖，連接，延長至點(diǎn)，使，連接，

∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為黃金三角形，
∴，
∴．即菱形的較長的對角線的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是理解并掌握黃金三角形的定義，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，得到黃金三角形的底邊與腰長的比為．
18．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，進(jìn)而證明，可以得到，由，可得，即可證明A、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）如圖所示，連接，根據(jù)等邊對等角得到，由圓周角定理得到，再由，得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，即，由此即可證明是的切線；
（3）如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，先求出，再由三線合一定理得到，，解直角三角形求出，則，再解得到，則；由是四邊形的外接圓，可得點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，故當(dāng)時(shí)，有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）證明：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵是四邊形的外接圓，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半徑，
∴是的切線；

（3）解：如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，
∵，
∴，
∵點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是四邊形的外接圓，
∴點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P在直線上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，
∵，
∴在中，，
∴圓心P與點(diǎn)M距離的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外接圓的性質(zhì)，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
19．(1)作圖見解析；135
(2)；理由見解析
(3)或；理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；先求出，根據(jù)，求出；
（2）根據(jù)，，證明、P、B、E四點(diǎn)共圓，得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段延長線上時(shí)，分別畫出圖形，求出之間的數(shù)量關(guān)系即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：135．
（2）解：；理由如下：
連接，如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，
∵，
∴、P、B、E四點(diǎn)共圓，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，連接，延長，作于點(diǎn)F，如圖所示：

根據(jù)解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
即；
當(dāng)點(diǎn)P在線段延長線上時(shí)，連接，作于點(diǎn)F，如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，
∵，
∴、B、P、E四點(diǎn)共圓，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
即；
綜上分析可知，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理，四點(diǎn)共圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形和相關(guān)的輔助線，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論．
20．(1)，；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；
（2）利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得，然后根據(jù)，求出，進(jìn)而可得，問題得解；
（3）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最??；待定系數(shù)法求直線的解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)是直線和直線m的交點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求得和的值，即可求得；
（4）根據(jù)題意求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，則，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最??；求得，即可求得的面積．
【詳解】（1）解：∵拋物線中，
∴，，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，
故答案為：，；
（2）解：由（1）知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，即此刻的值最??；
∵直線與直線垂直，故設(shè)直線的解析式為，
將代入解得：，
∴直線的解析式為，
∵點(diǎn)是直線和拋物線的交點(diǎn)，
令，解得：，（舍去），
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵點(diǎn)是直線和直線m的交點(diǎn)，
令，解得：，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
．
即的最小值為．
（4）解：∵拋物線中，
∴，，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，
過點(diǎn)作準(zhǔn)線交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，則，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，即此刻的值最??；如圖：

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入解得，
即，，
則的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等，解決問題的關(guān)鍵是充分利用新知識的結(jié)論．
21．[探究一]見解析；[探究二]見解析；[探究三]
【分析】[探究一]證明，即可得證；
[探究二]根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，加上公共角，進(jìn)而即可證明
[探究三]先證明，得出，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)在直線上．得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】[探究一]
∵把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上，
∴，
∴，
∴，
在與中
∴
∴
[探究二]證明：如圖所示，

∵四邊形是正方形，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵公共角，
∴；
[探究三] 證明：∵是正方形的對角線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
如圖所示，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)在直線上．

∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
22．（1）；（2）；（3），，．
【分析】（1）連接，利用垂徑定理計(jì)算即可；
（2）由切線的性質(zhì)證明進(jìn)而得到，利用銳角三角函數(shù)求，再與（1）中相減即可；
（3）由半圓的中點(diǎn)為得到，得到分別求出線段與的長度，再相減比較即可．
【詳解】解：（1）連接，
∵為圓心，于點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
．

（2）∵與半圓的切點(diǎn)為，
∴
∵
∴于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴操作后水面高度下降高度為：
．
（3）∵于點(diǎn)，
∴，
∵半圓的中點(diǎn)為，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓的切線的性質(zhì)、求弧長和解直角三角形的知識，解答過程中根據(jù)相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延長過點(diǎn)F作，證明即可得出結(jié)論．
（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關(guān)系即可證明．
（3）過點(diǎn)A作的垂線交的延長線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．
【詳解】（1）延長過點(diǎn)F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．

故答案為：．
（2）解：在上截取，使，連接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．

（3）解：過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長為，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，連接，作于點(diǎn)O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．