模塊四 題型全通關專題3 解答型題型第6講 閱讀題 -最新中考數(shù)學二輪專題復習訓練（含解析）

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專題3 解答題題型
第6講 閱讀題
數(shù)學為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實世界的思考方式．通過數(shù)學的思維，可以提示客觀事物的本質屬性，建立數(shù)學對象之間、數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的邏輯聯(lián)系；能夠根據(jù)已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數(shù)學的邏輯體系；能夠運用符號運算、形式推理等數(shù)學方法，分析、解決數(shù)學問題和實際問題．
閱讀題為我們提供了一種情境，一種思想，一種方法，一種策略，再利用這些思想、方法、策略去解決問題．
考點講解：題目以”閱讀材料”的形式呈現(xiàn)，材料可以是一種情境，一種數(shù)學思想，一種數(shù)學方法，一種數(shù)學策略，閱讀后用材料里面出現(xiàn)的方法或策略去完成一些數(shù)學任務．
【例1】
（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）
1．閱讀下面材料：
將邊長分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．
則
例如：當，時，
根據(jù)以上材料解答下列問題：
(1)當，時，______，______；
(2)當，時，把邊長為的正方形面積記作，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；
(3)當，時，令，，，…，，且，求T的值．
【變1】
（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）
2．［材料閱讀]
用數(shù)形結合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知
的結果等于該正方形的面積，
即．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖②可知
的結果等于，，，…，…等各條豎直線段的長度之和，
即兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距為1，
所以，．

【實踐應用】
任務一 完善的求值過程．

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知______．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖④可知
因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為______，
所以，______．
任務二 參照上面的過程，選擇合適的方法，求的值．
任務三 用方法2，求的值（結果用表示）．
【遷移拓展】
長寬之比為的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形．
觀察圖⑤，直接寫出的值．

考點講解：閱讀過程，就是閱讀用數(shù)學知識解決問題的過程，過程不完整的需要補充完整，過程中有錯誤的需要指出錯誤，再做正確的解題過程，類比這種方法去解決其它數(shù)學問題．
【例1】
（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）
3．解不等式組
下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任務一：該同學的解答過程第_______步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；
任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
【變1】
（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形分割成的小正方形網格．在該矩形邊上取點，來表示的度數(shù)．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：
（答題卷用）
(1)分別求點表示的度數(shù)．
(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點，使該點表示（保留作圖痕跡，不寫作法）．
考點講解：閱讀與思考，就是先閱讀，從中提煉一些數(shù)學思想、數(shù)學方法、數(shù)學策略，用它們去解決數(shù)學問題或實際問題．
【例1】
（2022·山西·中考真題）
5．閱讀與思考
下面是小宇同學的數(shù)學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務
任務：
(1)上面小論文中的分析過程，主要運用的數(shù)學思想是 （從下面選項中選出兩個即可）；
A．數(shù)形結合
B．統(tǒng)計思想
C．分類討論．
D．轉化思想
(2)請參照小論文中當時①②的分析過程，寫出③中當時，一元二次方程根的情況的分析過程，并畫出相應的示意圖；
(3)實際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學還有一些知識也可以用函數(shù)觀點來認識，例如：可用函數(shù)觀點來認識一元一次方程的解．請你再舉出一例為
【變1】
（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）
6．閱讀與思考
下面是小宇同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀并完成相應的任務．
任務：
（1）填空；“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學定理是_____________________________________；
（2）根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明；
（3）①尺規(guī)作圖：請在圖③的木板上，過點作出的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）；
②說明你的作法依據(jù)的數(shù)學定理或基本事實（寫出一個即可）
（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）
7．
請閱讀以上材料，解決下列問題（說明：以上僅展示部分報告內容）．
(1)求本次被抽樣調查的員工人數(shù)；
(2)該公司總的員工數(shù)量為900人，請你估計該公司意向前往保山市騰沖市的員工人數(shù)．
（2022·寧夏·中考真題）
8．下面是某分式化簡過程，請認真閱讀并完成任務．
第一步
第二步
第三步
第四步
任務一：填空
①以上化簡步驟中，第______步是通分，通分的依據(jù)是______．
②第______步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是______．
任務二：直接寫出該分式化簡后的正確結果．
（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）
9．閱讀材料，解答問題：
材料1
為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設，則原方程可化為，經過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2
已知實數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
(1)直接應用：
方程的解為_______________________；
(2)間接應用：
已知實數(shù)a，b滿足：，且，求的值；
(3)拓展應用：
已知實數(shù)x，y滿足：，且，求的值．
（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）
10．【閱讀材料】
【解答問題】
請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形是菱形．
（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）
11．閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：
在中， CD=asinB
在中，
根據(jù)上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，
（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）
12．閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點在上．
求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
(2)【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點在上．
①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．
（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖1，正五邊形內接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點M，N；③連接．
(1)求的度數(shù)．
(2)是正三角形嗎？請說明理由．
(3)從點A開始，以長為半徑，在⊙上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．
（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）
14．閱讀下面方框內的內容，并完成相應的任務．
任務：
(1)不等式的解集為_____________；
(2)3種方法都運用了___________的數(shù)學思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；
A.分類討論 B.轉化思想 C.特殊到一般 D.數(shù)形結合
(3)請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖像的簡圖，并結合圖像作出解答．
（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）
15．閱讀下列材料，回答問題
(1)補全小明求解過程中①②所缺的內容；
(2)小明求得用到的幾何知識是___________；
(3)小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母，，表示，角度用，，表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．
（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）
16．閱讀與思考：下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
任務：
(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．
依據(jù)2是指：_____________．
(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時畫出四邊形的對角線）
(3)在圖1中，分別連接得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線長度的關系，并證明你的結論．

作法（如圖）
結論

①在上取點，使．
，點表示．
②以為圓心，8為半徑作弧，與交于點．
，點表示．
③分別以為圓心，大于長度一半的長為半徑作弧，相交于點，連結與相交于點．
…
④以為圓心，的長為半徑作弧，與射線交于點，連結交于點．
…
用函數(shù)觀點認識一元二次方程根的情況
我們知道，一元二次方程的根就是相應的二次函數(shù)的圖象（稱為拋物線）與x軸交點的橫坐標．拋物線與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、無交點．與此相對應，一元二次方程的根也有三種情況：有兩個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、無實數(shù)根．因此可用拋物線與x軸的交點個數(shù)確定一元二次方程根的情況
下面根據(jù)拋物線的頂點坐標（，）和一元二次方程根的判別式，分別分和兩種情況進行分析：
（1）時，拋物線開口向上．
①當時，有．∵，∴頂點縱坐標．
∴頂點在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個交點（如圖1）．
②當時，有．∵，∴頂點縱坐標．
∴頂點在x軸上，拋物線與x軸有一個交點（如圖2）．
∴一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．
③當時，
……
（2）時，拋物線開口向下．
……
×年×月×日 星期日
沒有直角尺也能作出直角
今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已經在木板上畫出一條裁割線，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過上的一點，作出的垂線，用鋸子進行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？
辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分別以，為圓心，以與為半徑畫圓弧，兩弧相交于點，作直線，則必為．
辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出，兩點，然后把木棒斜放在木板上，使點與點重合，用鉛筆在木板上將點對應的位置標記為點，保持點不動，將木棒繞點旋轉，使點落在上，在木板上將點對應的位置標記為點．然后將延長，在延長線上截取線段，得到點，作直線，則．
我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？
……
調查主題
某公司員工的旅游需求
調查人員
某中學數(shù)學興趣小組
調查方法
抽樣調查
背景介紹
某公司計劃組織員工前往5個國家全域旅游示范區(qū)（以下簡稱示范區(qū)）中的1個自費旅游，這5個示范區(qū)為：
A．保山市騰沖市； B．昆明市石林彝族自治縣； C．紅河哈尼族彝族自治州彌物市； D．大理白族自治州大理市； E．麗江市古城區(qū)．
某中學數(shù)學興趣小組針對該公司員工的意向目的地開展抽樣調查，并為該公司出具了調查報告（注：每位被抽樣調查的員工選擇且只選擇1個意向前往的示范區(qū)）．
報告內容

老師的問題：
已知：如圖，．
求作：菱形，使點C，D分別在上．
小明的作法：
（1）以A為圓心，長為半徑畫弧，交于點D；
（2）以B為圓心，長為半徑畫弧，交于點C；
（3）連接．
四邊形就是所求作的菱形，
小麗學習了方程、不等式、函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式的解集？
通過思考，小麗得到以下3種方法：
方法1 方程的兩根為，，可得函數(shù)的圖像與x軸的兩個交點橫坐標為、，畫出函數(shù)圖像，觀察該圖像在x軸下方的點，其橫坐標的范圍是不等式的解集．
方法2 不等式可變形為，問題轉化為研究函數(shù)與的圖像關系．畫出函數(shù)圖像，觀察發(fā)現(xiàn)：兩圖像的交點橫坐標也是、3；的圖像在的圖像下方的點，其橫坐標的范圍是該不等式的解集．
方法3 當時，不等式一定成立；當時，不等式變?yōu)?；當時，不等式變?yōu)椋畣栴}轉化為研究函數(shù)與的圖像關系…
任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠大于南北走向的最大寬度，如圖1．
工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；
測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點處，對其視線可及的，兩點，可測得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程：
（?。┰谛∷赝膺x點，如圖4，測得，；
（ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解過程：
由測量知，， ，，，
∴，又∵①___________，
∴，∴．
又∵，∴②___________．
故小水池的最大寬度為___________．
瓦里尼翁平行四邊形
我們知道，如圖1，在四邊形中，點分別是邊，的中點，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數(shù)學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．
③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：
證明：如圖2，連接，分別交于點，過點作于點，交于點．
∵分別為的中點，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．
∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．
∵，即，
∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．
∵，∴．同理，…
參考答案：
1．(1)，
(2)猜想結論：，證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；
（2）根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；
（3）結合題意利用（2）中結論求解即可．
【詳解】（1）解：
當，時，
原式；
當，時，
原式；
（2）猜想結論：
證明：
；
（3）
．
【點睛】題目主要考查利用完全平方公式進行計算，理解題意，得出相應規(guī)律是解題關鍵．
2．任務一，方法1：；方法2：，；任務二，；任務三，；[遷移拓展]
【分析】任務一，仿照例題，分別根據(jù)方法1，2進行求解即可；
任務二，借助函數(shù)和得出交點坐標，進而根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點到軸的距為2，即可得出結果；
任務三 參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，得出交點坐標，即可求解；
[遷移拓展]觀察圖⑤第一個正方形的面積為，第二個正方形的面積為，……進而得出則的值等于長寬之比為的矩形減去1個面積為的正方形的面積，即可求解．
【詳解】解：任務一，方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知
故答案為：．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖④可知
因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為，
所以，．
故答案為：，．
任務二：參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，，
解得：
∴兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為，
．
任務三 參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為，
∴
[遷移拓展]根據(jù)圖⑤，第一個正方形的面積為，第二個正方形的面積為，……
則的值等于長寬之比為的矩形減去1個面積為1的正方形的面積，
即
【點睛】本題考查了一次函數(shù)交點問題，正方形面積問題，理解題意，仿照例題求解是解題的關鍵．
3．任務一：4，不等號的方向沒有發(fā)生改變，；任務二：，
【分析】任務一：系數(shù)化1時，系數(shù)小于0，不等號的方向要發(fā)生改變，即可得出結論；
任務二：移項，合并同類項，系數(shù)化1，求出不等式②的解集，進而得出不等式組的解集即可．
【詳解】解：任務一：∵，
∴；
∴該同學的解答過程第4步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是不等號的方向沒有發(fā)生改變，不等式①的正確解集是；
故答案為：4，不等號的方向沒有發(fā)生改變，；
任務二：，
，
，
；
又，
∴不等式組的解集為：．
【點睛】本題考查解一元一次不等式，求不等式組的解集．解題的關鍵是正確的求出每一個不等式的解集，注意系數(shù)化1時，系數(shù)是負數(shù)，不等號的方向要發(fā)生改變．
4．(1)點表示；點表示
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可求出度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質度數(shù)，即可求出的度數(shù)，從而知道點表示度數(shù)；利用半徑相等即可求出，再根據(jù)平行線的性質即可求出以及對應的度數(shù)，從而知道點表示度數(shù)．
（2）利用角平分線的性質作圖即可求出答案．
【詳解】（1）解：①四邊形是矩形，
．
由作圖可知，是的中垂線，

．
．
．
點表示．
②由作圖可知，．
．
又，
．
．
∴點表示．
故答案為：點表示，點表示．
（2）解：如圖所示，
作的角平分線等．如圖2，點即為所求作的點．

∵點表示，點表示．
．
∴表示．
【點睛】本題考查的是尺規(guī)作圖的應用，涉及到的知識點有線段垂直平分線、角平分線性質、圓的相關性質，解題的關鍵需要正確理解題意，清楚知道用到的相關知識點．
5．(1)AC
(2)分析見解析；作圖見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）解一元二次方程的解轉化為拋物線與x軸交點的橫坐標；還體現(xiàn)了分類討論思想；
（2）依照例題，畫出圖形，數(shù)形結合，可以解答；
（3）結合所學知識，找到用轉化思想或數(shù)形結合或分類討論思想解決問題的一種情況即可．
【詳解】（1）解：上面解一元二次方程的過程中體現(xiàn)了轉化思想、數(shù)形結合、分類討論思想，
故答案為：AC；
（2）解：a>0時，拋物線開口向上．
當△=b2?4ac0﹒
∵a>0，
∴頂點縱坐標﹒
∴頂點在x軸的上方，拋物線與x軸無交點（如圖）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根．
（3）解：可用函數(shù)觀點認識二元一次方程組的解．（答案不唯一．又如：可用函數(shù)觀點認識一元一次不等式的解集，等）
【點睛】本題考查的二次函數(shù)與一元二次方程的關系，根據(jù)轉化思想將一元二次方程的解的問題轉化成拋物線與x軸交點的橫坐標的問題，再根據(jù)數(shù)形結合的思想用拋物線與x軸的交點個數(shù)確定一元二次方程根的情況是本題的關鍵．
6．（1）勾股定理的逆定理；（2）詳見解析；（3）①詳見解析；②答案不唯一，詳見解析
【分析】（1）利用說明△DCE是直角三角形，說明，進而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作圖的方法可以得出：，，得出，，利用三角形內角和得出，即，說明垂直即可；
（3）①以點為圓心，任意長為半徑畫弧，與有兩個交點，分別以這兩個交點為圓心，以大于這兩個交點之間的距離的一半為半徑畫弧，這兩段弧交于一點，連接即可；
②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，即可說明垂直．
【詳解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形）；
（2）證明：由作圖方法可知：，，
，．
又，
．
．
即．
（3）解：①如圖，直線即為所求；
圖③
②答案不唯一，如：三邊分別相等的兩個三角形全等（或）；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合（或等腰三角形“三線合一”）；到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上等．
【點睛】本題主要考查了垂直的判定，熟練掌握說明垂直的方法是解決本題的關鍵．
7．(1)100人
(2)270人
【分析】（1）根據(jù)保山市騰沖市的員工人數(shù)除以所占百分比即可求出本次被抽樣調查的員工人數(shù)；
（2）用該公司總的員工數(shù)乘以樣本中保山市騰沖市的員工人數(shù)除以所占百分比即可估計出該公司意向前往保山市騰沖市的員工人數(shù)．
【詳解】（1）本次被抽樣調查的員工人數(shù)為：（人），
所以，本次被抽樣調查的員工人數(shù)為100人；
（2）（人），
答：估計該公司意向前往保山市騰沖市的員工人數(shù)為270人．
【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖及相關計算．熟練掌握用樣本估計總體是解答本題的關鍵．
8．任務一：①一 ，分式的性質； ②二，去括號沒有變號；任務二：
【分析】任務一：①根據(jù)分式的基本性質分析即可；②利用去括號法則得出答案；
任務二：利用分式的混合運算法則計算得出答案．
【詳解】任務一：以上化簡步驟中，第一步是通分，通分的依據(jù)是分式的性質．
第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是去括號沒有變號．
故答案為：一，分式的性質；②二，去括號沒有變號．
任務二：




．
【點睛】本題考查了分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式的基本性質．
9．(1)，，，
(2)或
(3)15
【分析】（1）利用換元法降次解決問題；
（2）模仿例題解決問題即可；
（3）令=a，-n=b，則+a-7=0， +b=0，再模仿例題解決問題．
【詳解】（1）解：令y=，則有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案為：，，，；
（2）解：∵，
∴或
①當時，令，，
∴則，，
∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
此時；
②當時，，
此時；
綜上：或
（3）解：令，，則，，
∵，
∴即，
∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
故．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，冪的乘方與積的乘方，換元法，解一元二次方程等知識，解題的關鍵是理解題意，學會模仿例題解決問題．
10．見解析
【分析】由作圖可知AD＝AB＝BC，然后根據(jù)可得四邊形ABCD是平行四邊形，再由AD＝AB可得結論．
【詳解】解：由作圖可知AD＝AB＝BC，
∵，即，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AD＝AB，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作線段，平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握相關判定定理是解題的關鍵．
11．(1)見解析
(2)
【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關聯(lián)并求解；
（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖2，過點作于點，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如圖3，過點作于點，
，，
，
在中，
又，
即，
，
．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．
12．(1)鈍角三角形；證明見詳解
(2)①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABCD=
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再證△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC為鈍角三角形即可；
（2）①以、、為邊的三角形是直角三角形，連結CG，根據(jù)正方形性質，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再證△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可證△AGC為直角三角形即可；②連結BD，根據(jù)勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC為鈍角三角形，
∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（2）證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．
連結CG，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG為正方形的對角線，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC為直角三角形，
∴以、、為邊的三角形是直角三角形；
②連結BD，
∵△AGC為直角三角形，，
由（2）可知，AE=CG，
∴AC=，
∴四邊形ABCD為正方形，
∴AC=BD=，
∴S四邊形ABCD=．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質，三角形全等判定與性質，正方形的性質，勾股定理，掌握等邊三角形的性質，三角形全等判定與性質，正方形的性質，勾股定理是解題關鍵．
13．(1)
(2)是正三角形，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質以及圓的性質可得，則(優(yōu)弧所對圓心角)，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結論；
（2）根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結論；
（3）運用圓周角定理并結合（1）（2）中結論得出，即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵正五邊形．
∴，
∴，
∵，
∴(優(yōu)弧所對圓心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
連接，
由作圖知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運用圓周角定理是解本題的關鍵．
14．(1)
(2)D
(3)圖像見解析，不等式的解集為
【分析】（1）如圖1，作的圖像，由方法1可知，不等式的解集為；
（2）由題意知，3種方法都運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法；
（3）如圖2，作函數(shù)與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，進而可得的解集．
【詳解】（1）解：如圖1，作的圖像，

由方法1可知，不等式的解集為，
故答案為：；
（2）解：由題意知，3種方法都運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，
故選：D；
（3）解：如圖2，作函數(shù)與的圖像，

由圖像可得，的解集為，或，
綜上，的解集為．
【點睛】本題考查了數(shù)形結合求一元二次不等式的解集，作二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像．解題的關鍵在于理解題意并正確的作函數(shù)圖象．
15．(1)①；②
(2)相似三角形的判定與性質
(3)最大寬度為，見解析
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質求解即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質進行回答即可；
（3）測量過程：在小水池外選點，用測角儀在點處測得，在點處測得；用皮尺測得；
求解過程：過點作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得，，，根據(jù)，即可求得．
【詳解】（1）∵， ，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故小水池的最大寬度為．
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質求得，
故答案為：相似三角形的判定與性質．
（3）測量過程：
（?。┰谛∷赝膺x點，如圖，用測角儀在點處測得，在點處測得；

（ⅱ）用皮尺測得．
求解過程：
由測量知，在中，，，．
過點作，垂足為．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池的最大寬度為．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形的實際應用，根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型是解題的關鍵．
16．(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）
(2)答案不唯一，見解析
(3)平行四邊形的周長等于對角線與長度的和，見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；
（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；
（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結論．
【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）
平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）
（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形的周長等于四邊形的兩條對角線與長度的和，
證明如下：∵點分別是邊的中點，
∴．
∴．
同理．
∴四邊形的周長．
即瓦里尼翁平行四邊形的周長等于對角線與長度的和．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．