河南省鄭州外國語學校2024-2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試卷及參考答案-試卷下載-教習網(wǎng)

選擇題（本大題共8 小題，每小題5 分，共40 分。）
1-8：ACBC CDDD
多選題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分。）
9. BCD 10. AD 11. ABD
填空題（本大題共 3小題，每小題5分，共15分。）
12. -4或-25 13. 1 14. 22+3
解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
15．（本小題滿分13分）
解：（1）因為A（0，4），B（2，0），所以D的坐標為（1，2），
因為CD⊥AB，所以m-2-5-1×4-00-2=-1，
解得m＝﹣1． ……………………………………6分
（2）設線段BC的中點為E，由（1）知C（﹣5，﹣1），則E(-32，-12)，
所以kAE=4+120+32=3，
所以直線AE的方程為y﹣4＝3（x﹣0），化簡得3x﹣y+4＝0，
即BC邊上的中線所在直線的方程為3x﹣y+4＝0．……………………………13分
16．（本小題滿分15分）
【解答】（1）證明：因為AB＝AD＝2，BD=22，
所以AB2+AD2＝8＝BD2，
所以AB⊥AD，
因為ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱往，
所以A1A⊥AB，
因為A1A∩AD＝A，A1A，AD?面ADD1A1，
所以AB⊥面ADD1A1，
因為A1B1∥AB，
所以A1B1⊥面ADD1A1，
因為AD1?面ADD1A1，
所以A1B1⊥AD1． ……………………………………7分
（2）解：由（1）及題意知，AB，AD，A1A兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為AB＝AD＝2，BD=22，BC＝4，A1A＝2．
所以A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），D（0，2，0），
所以CB1→=(0，-4，2)，CD1→=(-2，-2，2)，BC→=(0，4，0)， ………9分
設平面B1CD1的一個法向量為n→=(x，y，z)，
則n→?CB1→=0n→?CD1→=0，即-4y+2z=0-2x-2y+2z=0，
令y＝1，解得x＝1，z＝2，
∴n→=(1，1，2)， ……………………………………12分
所以點B到平面B1CD1的距離為d=|BC→?n→||n→|=46=263． …………………15分
17．（本小題滿分15分）
【解答】解：（1）設圓心O到直線l的距離為d，因為直線l與圓O相切，
所以d=|m|1+(m-3)2=1，解得m=53；……………………………………4分
（2）當m＝4 時，直線l：x+y﹣4＝0，連接OA，OB，則OA⊥AP，OB⊥BP，
所以O，A，P，B四點共圓，切線長|AP|=|OP|2-|OA|2=|OP|2-1，
故|AP|最短當且僅當|OP|最短，即OP⊥l時最短， ……………………………8分
因為|OP|≥42，所以|AP|≥162-1=7，此時kOP＝1，
所以lOP：y＝x，
聯(lián)立y=xx+y-4=0，得P（2，2）， ……………………………………11分
故以OP為直徑的圓的方程為 x（x﹣2）+y（y﹣2）＝0，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，
因為弦AB即圓O與上述圓的公共弦，將兩圓方程相減可得2x+2y﹣1＝0，
所以弦AB所在直線方程為2x+2y﹣1＝0． ……………………………………15分
18．（本小題滿分17分）
【解答】（1）證明：取PB中點F，連接EF,CF.
?PAB中，EF//AB，且EF=12AB，
又CD//AB，且CD=12AB，
所以EF//CD，且EF=CD，
即四邊形EFCD為平行四邊形，
所以DE//CF，
又CF?面PBC，DE?面PBC，
所以DE∥平面PBC. ……………………………………4分
（2）因為PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系D﹣xyz，
由題意CD＝AD=12AB＝1，而∠PAD＝45°，又∠PDA＝90°，于是PD＝DA＝1，
故D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
所以BC→=(-1，-1，0)，CP→=(0，-1，1)，
設平面PBC的法向量為m→=(x，y，z)，則m→?BC→=0m→?CP→=0，即-x-y=0-y+z=0，
令y＝1，則x＝﹣1，z＝1，∴m→=(-1，1，1)，
設點G坐標為（1，t，0），則CG→=(1，t-1，0)，DB→=(1，2，0)，
由CG⊥BD得CG→?DB→=1+2(t-1)=0?t=12，∴G(1，12，0)，
設平面GPC的法向量為n→=(a，b，c)，CG→=(1，-12，0)，
由n→?CP→=0n→?CG→=0得-b+c=0a-12b=0，令a＝1，則n→=(1，2，2)，
則cs?m→，n→?=m→?n→|m→|×|n→|=333=33，
所以平面GPC與平面PBC夾角的余弦值為33． ………………………………10分
（3）AP→=(-1，0，1)，設AH→=λAP→=(-λ，0，λ)，λ∈[0，1]，GA→=(0，-12，0)，
∴GH→=GA→+AH→=(-λ，-12，λ)，∴cs＜GH→，n→＞=GH→?n→|GH→||n→|=2λ-23(8λ2+1)，
∵GH與平面PGC所成角的正弦值為33，∴2λ-238λ2+1=33，
整理得：20λ2+8λ﹣1＝0，解得：λ=110，λ=-12（舍），
∴存在滿足條件的點H，AH→=(-110，0，110)，且AH=210．
…………………………17分
19. （本小題滿分17分）
解：（1）如圖，若幾何系統(tǒng)中的兩點分別在兩圓上，不妨設其中一點N在⊙D上.
若另一點M在⊙E上，則MN≤ME+ED+DN=1+22，當M,E,D,N共線時取到等號；
若另一點M在⊙F上，則MN≤MF+FD+DN=1+22，當M,F,D,N共線時取到等號；
若兩點在同一圓上，則最大距離為⊙E直徑，即2.
綜上，該幾何系統(tǒng)的區(qū)徑為1+22. ……………………………………4分
（2）記棱切球的球心為O，即為正方體的中心，容易求得棱切球的半徑為．
因為?AB1C為正三角形，記它的外接圓圓心為，易知其半徑為263.
又OO1=33，則球心到?AB1C的外接圓上任意一點的距離均為，圓與球的位置關系如圖：
若兩點分別在球上和圓上，設點M在球O上，點N在⊙O1上，則有OM=2，ON=3. 所以MN≤OM+ON=2+3，當M,O,N三點共線，且M,N在的異側(cè)時取到等號.
若兩點同時在球上或圓上，則最大距離為⊙O1的直徑，即463.
綜上，該幾何系統(tǒng)的區(qū)徑為463. ……………………………………10分
（3）如圖以D為原點建立空間直角坐標系，
在xDy平面上，⊙O1的方程為x-12+y-12=1；
在xDz平面上，⊙O2的方程為x-12+z-12=1.
若兩點分別在兩圓上，設點M在⊙O1上，點N在⊙O2上，且
M1+csα,1+sinα,0,N1+csβ,0,1+sinβ.
則
MN2&=csα-csβ2+1+sinα2+1+sinβ2&=4+2sinα+sinβ-csαcsβ&=4+2(sinα+1+cs2αsinβ-φ&≤4+2sinα+1+cs2α&≤4+22sin2α+1+cs2α&=8
即MN≤22，等號成立當且僅當α=β=π2.
若兩點在同一個圓上，則最大距離為⊙O1的直徑，即2.
綜上，該幾何系統(tǒng)的區(qū)徑為22. ……………………………………17分