河南省鄭州外國語學(xué)校2025屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試（八）數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案）

這是一份河南省鄭州外國語學(xué)校2025屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試（八）數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案），共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)全集，集合，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．8D．16
2．復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的值為（ ）
A．B．5C．D．
3．雙曲線(，)的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
5．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則取最小值時(shí)，的值為（ ）
A．14B．15C．16D．15或16
6．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為BC邊上一點(diǎn)，且，則的面積為（）
A．B．C．D．
7．色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測(cè)得數(shù)據(jù)列于表中：已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，現(xiàn)有一對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)為，則該數(shù)據(jù)的殘差為（ ）
A．B．C．0.8D．0.96
8．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是（ ）
A．每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54
B．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為
C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為
D．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是
二、多選題（本大題共3小題）
9． 已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則（ ）
A． 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B． 將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C． 在上的值域?yàn)?br>D． 在上單調(diào)遞增
10．已知函數(shù)則（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．僅有個(gè)極大值點(diǎn)
C．無最大值，有最小值
D．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程共有個(gè)實(shí)根
11．在四棱錐中，，動(dòng)點(diǎn)平面，且是的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面
B．的長(zhǎng)可能為3
C．
D．點(diǎn)在半徑為的球面上
三、填空題（本大題共3小題）
12．若曲線處的切線平行于直線的坐標(biāo)是 .
13．已知直線和互相垂直，且，則的最小值為 ．
14．P是橢圓C：（）上一點(diǎn)，、是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且．則的離心率為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在銳角中，角A?B，C所對(duì)的邊分別為a?b?c，已知.
(1)求的值；
(2)若，求b的值.
16．等差數(shù)列的公差d不為0，其中，，，成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列滿足
（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
17．如圖，在四棱臺(tái)中，平面平面ABCD，底面ABCD為正方形，，.

(1)求證：平面.
(2)點(diǎn)在直線上，且平面MCD，求與平面所成角的正弦值.
18．在橢圓中，A、B是左右頂點(diǎn)，P是橢圓E上位于x軸上方的一點(diǎn)．直線PA、PB分別交直線于M、N兩點(diǎn)，PA、PB的斜率分別記為．
(1)求的值；
(2)若線段PB的中點(diǎn)Q恰好在以MN為直徑的圓上，求m的取值范圍．
19．在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線：y=fx上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從沿曲線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)越接近，即越小，就越能精確刻畫曲線在點(diǎn)處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線在點(diǎn)處的曲率.（其中，分別表示y=fx在點(diǎn)處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
(1)求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；
(2)求橢圓在處的曲率；
(3)定義為曲線y=fx的“柯西曲率”.已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，若且處的“柯西曲率”相同，求的最小值.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?，所以或?br>又因?yàn)椋?br>所以，共4個(gè)元素，
故選：B
2．【答案】D
【詳解】方法一：由題意：，
所以，所以.
故選：D
方法二：根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，得：.
故選：D
3．【答案】A
【詳解】由題意，該雙曲線的離心率，則，
所以該雙曲線的漸近線方程為即.
故選：A.
4．【答案】B
【詳解】由題意得，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故函數(shù)最大值為，
故選：B
5．【答案】D
【詳解】由，
由，
所以數(shù)列的公差，且，
所以，且數(shù)列單調(diào)遞增，
故取最小值時(shí)，的值為15或16.
故選：D.
6．【答案】D
【詳解】因?yàn)樵谥?，，又為邊上一點(diǎn)，且，
所以，
又，
所以，
所以，解得，
所以.
故選:D.
7．【答案】C
【詳解】由題意可知，，，
將代入，即，解得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以該數(shù)據(jù)的殘差為.
故選：C.
8．【答案】D
【解析】對(duì)于選項(xiàng) ，每人有4種安排法，故有種；對(duì)于選項(xiàng) ，5名同學(xué)中有兩人工作相同，先選人再安排；對(duì)于選項(xiàng)，先分組再安排；對(duì)于選項(xiàng) ，以司機(jī)人數(shù)作為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論即可.
【詳解】解：①每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為，即選項(xiàng)錯(cuò)誤，
②每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
③如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為：（），即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
④分兩種情況：第一種，安排一人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有 ,從余下四人中安排三個(gè)崗位，
故有；第二種情況，安排兩人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選兩人當(dāng)司機(jī)有 ,
從余下三人中安排三個(gè)崗位，故有；所以每項(xiàng)工作至少有一人參加，
甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是，
即選項(xiàng)D正確，
故選：D．
1.直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算;
2.優(yōu)先法:優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;
3.捆綁法:把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列;
4.插空法:對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;
5.定序問題除法處理:對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;
6.間接法:正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.
9．【答案】ABD
【詳解】
相鄰兩對(duì)稱軸間距離為，則，∴，
∴，，
， ∴關(guān)于對(duì)稱，A對(duì).
，∴關(guān)于軸對(duì)稱，B對(duì).
當(dāng)時(shí)，有，則，所以，
∴，C錯(cuò)誤.
由，得，所以的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為，而，∴在上單調(diào)遞增，D對(duì).
故選：ABD
10．【答案】BC
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，函數(shù)在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)僅有個(gè)極大值點(diǎn)，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)的最小值為，函數(shù)無最大值，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程共有個(gè)實(shí)根，D錯(cuò).
故選：BC.
11．【答案】ACD
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，結(jié)合題設(shè)易知，且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，A正確.
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
由知，四邊形是直角梯形，且，
所以，
因?yàn)?，所以在以為球心，為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)（不經(jīng)過面），
則，B錯(cuò)誤.
，
因?yàn)榕c不共線，所以，
所以，C正確.
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，
所以在以點(diǎn)為球心，為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)，D正確.
故選：ACD
12．【答案】
【詳解】試題分析：因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)，則又
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)
13．【答案】/
【詳解】因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)?，?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．
故答案為：．
14．【答案】
【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于，
由題意知，為的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，
又，即，則，
又點(diǎn)在的平分線上,則，故是等腰直角三角形，
因此，
則，
可得，，
又，則，
因此可得，
又在中，，則，
將， 代入得，
即，由所以，
所以，.
故答案為：
15．【答案】(1)；
(2)，
【詳解】（1）為銳角，，
，
（2），，
又，即，，
所以，，從而，．
16．【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根據(jù)和，，成等比數(shù)列可列出關(guān)于公差的方程，求出公差的值，再結(jié)合，即可寫出通項(xiàng).根據(jù)前項(xiàng)和與第項(xiàng)的關(guān)系，由可求出，進(jìn)而可求出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”，可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【詳解】解：（1）由已知，又
故
解得（舍去），或
∴
∵①
故當(dāng)時(shí)，可知
∴
當(dāng)時(shí)，可知②
①②得
∴
又也滿足，故當(dāng)時(shí)，都有；
（2）由（1）知
故③
∴④
由③—④得
解得.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD，
則平面.又平面，則；
又在等腰梯形，如下圖，作，
由題可知，，又，則，結(jié)合，得.
因，則.
又平面，平面，，
則平面；
（2）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
則，又由（1）可得
.
因在直線，則，
則，即.
則.
又，平面MCD，則.
得.則，.
又由（1）得，可取為平面的一個(gè)法向量，，
設(shè)與平面所成角為，則.
即與平面所成角的正弦值為.

18．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，，，
；
（2）由題意知直線的方程為，則，
由，得，
則，則，，
則，又
所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意知，，又，
所以，
即，得，，
，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，
綜上：的取值范圍是.
19．【答案】(1)1；
(2)；
(3).
【詳解】（1）易知單位圓上圓心角為的圓弧，
所以；
（2）由題意，因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以?br>，，
故，，故；
（3），，
故，其中，
令，，則，設(shè)，則，
令，，
時(shí)，，在單調(diào)遞減，
時(shí)，，在單調(diào)遞增，
故，
令，
，
令，
則，當(dāng)時(shí)，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
可得，即，
故有，
則在單調(diào)遞增，
故，
故的最小值為.色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20