精品解析：湖南省邵陽市武岡市2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷考試時量120分鐘，滿分150分；
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上；
3．請將答案填寫在答題卡上，寫在本試卷上無效，請勿折疊答題卡，答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔.
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1. 設(shè)集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題知，，再求集合交集運算即可.
【詳解】解：因為，所以，即，
因為，解得，所以，
所以，.
故選：D
2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】因為
，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限.
故選：B
3. 已知則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)的定義及對數(shù)運算法則計算即得.
【詳解】依題意，
由，得，則，，
所以.
故選：D
4. 若向量滿足，則（）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．
【詳解】因為向量，滿足，，，
所以，即，
所以，則．
故選：A．
5. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計算可得.
【詳解】因為，
所以
.
故選：C
6. 已知在四邊形中，，，，則的長為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【詳解】在中，由，且，可得，
由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，
所以．
故選：D.
7. 已知函數(shù)在上有且僅有4個零點，直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以為整體，根據(jù)題意結(jié)合零點可得，結(jié)合對稱性可得，進而可求.
【詳解】因為，且，則，
由題意可得：，解得，
又因為直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，
則，解得，
可知，即，
所以.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：以為整體，可得，結(jié)合正弦函數(shù)零點分析可知右端點的取值范圍，進而可得的取值范圍.
8. 已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)為空間內(nèi)一點，且五點在同一個球面上，若，則點的軌跡長度為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將四面體放入長方體中，求解長方體的長寬高，求解外接球的半徑，判斷的軌跡，然后求解即可．
【詳解】將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為，，，
依題意，可知，，

則，，，解得，，
由于，即異面直線和的距離為，
由于長方體的左右側(cè)面為正方形，所以，
取中點，連接，則左側(cè)面，在左側(cè)面，所以，
又平面，故平面，
四面體外接球半徑為，球心為，
由，知點的軌跡為一個圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，圓心為，
過作球的一個軸截面，
所以，且，
，且，
解得，
所以的軌跡長度為．
故選：D．
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9 若，則（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對A、B：利用作差法分析判斷；對C、D：根據(jù)基本不等式分析判斷.
【詳解】對A、B：∵，則，
∴，即，，A、B正確；
對C∵，例如，則，顯然不滿足，C錯誤；
對D：∵，則，
∴，D正確.
故選：ABD.
10. 如圖，在邊長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點，P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若DP∥平面CEF，則點P的軌跡長度為
B. 若AP=，則點P的軌跡長度為
C. 若AP=，則直線AP與平面CEF所成角的正弦值的最小值是
D. 若Р是棱A1B1的中點，則三棱錐的外接球的表面積是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，從而可得點Р的軌跡是線段，即可判斷AB，建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算即可判斷C，結(jié)合條件可得外接球的半徑，即可判斷D
【詳解】
分別取棱，的中點M，N，連接，
易證，，
平面，平面，所以平面，
且平面，平面，所以平面，
又平面，則平面平面，
因為平面，且P是正方形內(nèi)的動點，
所以點Р的軌跡是線段.
因為，所以，因為，所以，
故A正確.
因為，所以點P的軌跡是以為圓心，1為半徑的個圓，
則點Р的軌跡長度為，則B錯誤.
以A為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，
建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系.
由題中數(shù)據(jù)可知則，，.
設(shè)平面CEF的法向量為，則，得.
設(shè)直線AР與平面CEF所成的角為，則.
因為，所以，所以，
所以，則，故C正確.
Р是棱的中點，則外接圓的圓心為正方形的中心，半徑為2.
如圖2，設(shè)，則三棱錐的外接球的半徑滿足，解得，
從而三棱錐P-CEF的外接球的表面積是，故D正確.
故選：ACD
11. 已知數(shù)列的前項和為，且，若，則（）
A. 是等比數(shù)列B. 是等比數(shù)列
C. 是等差數(shù)列D. 是等差數(shù)列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的定義和等差數(shù)列的定義及判定方法，逐項判定，即可求解.
【詳解】因為數(shù)列前項和為，且，
對于A中，由，且，
所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以A正確；
對于B中，由，且，
所以數(shù)列是以，公比為的等比數(shù)列，所以B正確；
對于C中，由，可得，
即時，，
又由，，所以的奇數(shù)項均為0，偶數(shù)項均為．
所以的奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等差數(shù)列，所以C錯誤．
對于D中，當(dāng)時，即，
所以是每項均為的常數(shù)列，也是等差數(shù)列，所以D正確．
故選：ABD.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分)
12. 已知點為平面內(nèi)不同的四點，若，且，則______
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的線性運算，即可得解.
【詳解】由得：，即，
又因為，所以,
故答案為：.
13. 在中，角A，，所對的邊分別為，，，．且，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】由余弦定理得到，并化切為弦，結(jié)合正弦定理和余弦定理求出，從而得到，，從而利用余弦定理求出答案.
【詳解】由得，，
由余弦定理得，
故，
所以，
，
故，
所以，
即，
由正弦定理得，
因為，所以，
故，即，
由和得，故
故，故
故.
故答案為：
14. 對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為，記，則原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，畫出f(x)的圖像，然后用數(shù)形結(jié)合和圖像變換的思想來解題即可.
【詳解】解：不等式等價于，
記，則原不等式等價于.
所以，不等式恒成立等價于不等式恒成立.
而，且圖像如下圖所示：
若，則不等式恒成立；
若，可以看作是f(x)向左或向右平移個單位，
不等式恒成立可以看作是的圖像在f(x)的上方或函數(shù)值相等.
所以要使的圖像在f(x)的上方或函數(shù)值相等只能把f(x)的圖像向左平移至少1個單位得到，如下圖所示：
所以：.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查絕對值不等式、圖像變換、數(shù)形結(jié)合的思想，屬于綜合性題目.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 已知橢圓C：（）的一個焦點為，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點，若面積為，求直線方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)和離心率求出，從而求出，即可求解方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，韋達(dá)定理求出弦長，利用點到直線距離求出高，根據(jù)面積建立方程求解即可.
【小問1詳解】
由焦點為得，又離心率，得到，
所以，所以橢圓C的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，消y得，
，得到，
由韋達(dá)定理得，，，
又因為，
又原點到直線的距離為，
所以，
所以，所以，即，滿足，
所以直線l的方程為.
16. “九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毽子、頂核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、摜結(jié)子、抽陀子九種不同的游戲項目，某小學(xué)為豐富同學(xué)們的課外活動，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項目均采用局勝的單敗淘汰制，即先贏下局比賽者獲勝.造房子游戲是同學(xué)們喜愛的項目之一，經(jīng)過多輪淘汰后，甲、乙二人進入造房子游戲的決賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.
（1）若，設(shè)比賽結(jié)束時比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）現(xiàn)有兩種賽制：賽制一：采用3局2勝制，賽制二：采用5局3勝制，乙選手要想獲勝概率大，應(yīng)選哪種賽制？并說明理由.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）選方案一3局2勝制，理由見解析
【解析】
【分析】（1）因為，所以比賽采用3局2勝制，求出的所有可能取值及其概率，再由均值公式求解即可.
（2）由獨立事件的概率公式分別求出3局2勝制和5局3勝制的概率，比較大小即可得出答案.
【小問1詳解】
因為，所以比賽采用3局2勝制，的所有可能取值為2，3，
，，
的分布列為
所以.
【小問2詳解】
應(yīng)選擇方案一3局2勝制，理由如下：
若選賽制一3局2勝制時，記乙獲勝為事件A，
則，
若選賽制二5局3勝制時，記乙獲勝為事件B，
則
因為，所以選方案一3局2勝制.
17. 如圖，已知四棱臺中，，，，，，，且，為線段中點，
（1）求證：平面；
（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分別延長線段，，，交于點，將四棱臺補成四棱錐，取的中點，連接，，由四邊形為平行四邊形，得到，然后利用線面平行的判定定理證明；
（2）先證明平面，再以A為坐標(biāo)原點，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為m=x,y,z，易得平面的一個法向量為n=0,1,0，然后由求解.
【小問1詳解】
證明：如圖所示：
分別延長線段，，，交于點，將四棱臺補成四棱錐.
∵，∴，∴，
取的中點，連接，，
∵，且，∴四邊形為平行四邊形.
∴，又平面，平面，
∴平面；
【小問2詳解】
由于，所以，
又梯形面積為，
設(shè)到平面距離為，則，得.
而，平面，平面，
所以平面，
所以點C到平面的距離與點D到平面的距離相等，
而，所以平面.
以A為坐標(biāo)原點，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
易得為等邊三角形，所以A0,0,0，，，，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則，
得，，不妨取，
又平面的一個法向量為n=0,1,0.
則，
平面與平面夾角的余弦值為.
18. 設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點，曲線是函數(shù)的圖象．若過點恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點”．
（1）判斷點與點是否為函數(shù)的1度點，不需要說明理由；
（2）已知，．證明：點是的0度點；
（3）求函數(shù)的全體2度點構(gòu)成的集合．
【答案】（1）是函數(shù)的一個1度點；不是函數(shù)的1度點
（2）證明見解析（3）或
【解析】
【分析】（1）求出曲線在點處的切線方程，該切線過點時，列出方程，求出一個根，滿足要求，該切線過點，構(gòu)造函數(shù)，解超越方程，無解，不合要求；
（2）求出在點處的切線方程，轉(zhuǎn)化為無解，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，證明出無解，故證畢；
（3）求出切線方程，得到的一個2度點當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解，設(shè)，分，與三種情況，進行求解.
【小問1詳解】
設(shè)，則曲線在點處的切線方程為．
則該切線過點當(dāng)且僅當(dāng)，即．故原點是函數(shù)的一個1度點，
該切線過點，故，
令，則，令得，令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在x=1處取得極小值，也時最小值，且，
故無解，點不是函數(shù)的一個1度點
【小問2詳解】
設(shè)，，
則曲線在點處的切線方程為．
則該切線過點當(dāng)且僅當(dāng)（*）．
設(shè)，則當(dāng)時，，故在區(qū)間上嚴(yán)格增．
因此當(dāng)時，，（*）恒不成立，即點是y=gx的一個0度點．
【小問3詳解】
，
對任意，曲線在點處的切線方程為．
故點為函數(shù)的一個2度點當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個不同的實數(shù)解．
設(shè)．則點為函數(shù)的一個2度點當(dāng)且僅當(dāng)兩個不同的零點．
若，則在R上嚴(yán)格增，只有一個實數(shù)解，不合要求．
若，因為，
由或時得嚴(yán)格增；而當(dāng)時，得嚴(yán)格減．
故在時取得極大值，在時取得極小值．
又因為，，
所以當(dāng)時，由零點存在定理，在、、上各有一個零點，不合要求；
當(dāng)時，僅上有一個零點，不合要求；
當(dāng)時，僅上有一個零點，也不合要求．
故兩個不同的零點當(dāng)且僅當(dāng)或．
若，同理可得兩個不同的零點當(dāng)且僅當(dāng)或．
綜上，的全體2度點構(gòu)成的集合為或．
【點睛】方法點睛：針對一般的函數(shù)新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.
19. 已知無窮數(shù)列中，，記，，．
（1）若為2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一個周期為4的數(shù)列（即，），直接寫出，，，的值；
（2）若為周期數(shù)列，證明：，使得當(dāng)時，是常數(shù)；
（3）設(shè)是非負(fù)整數(shù)，證明：的充分必要條件為為公差為的等差數(shù)列．
【答案】（1），，，
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義可求出的值；
（2）令（周期），結(jié)合新定義，即可求證；
（3）根據(jù)定義分別證明充分性和必要性，d為非負(fù)整數(shù)，是公差為d的等差數(shù)列，，易證出充分性，證明必要性先結(jié)合反證法證明數(shù)列不是遞減，再證明是等差數(shù)列.
【小問1詳解】
，，，．
【小問2詳解】
證明：不妨設(shè)的周期為，
記，，
則當(dāng)時，是常數(shù)，
記，使得當(dāng)時，是常數(shù)，結(jié)論正確．
【小問3詳解】
證明：充分性；
若為公差為的等差數(shù)列，則
于是，．
因此，
必要性：因為，
，，
，于是，．
因此．
故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
【點睛】思路點睛：此題考查數(shù)列相關(guān)的新定義問題，涉及求值和證明，證明一個條件是另一個條件的充要條件時一定要考慮完充分性和必要性.
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