重慶市楊家坪中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷共6頁(yè)．時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷指定位置，并將姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，然后認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．作答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性以及定義域求出集合B，再根據(jù)兩個(gè)集的交、并運(yùn)算即可求解.
【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，
所以可得，即，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由A選項(xiàng)知道，故C 正確；
對(duì)于D，由A選項(xiàng)知道，故D錯(cuò)誤.
故選：C
2. 復(fù)數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算化簡(jiǎn)得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
故選：D.
3. 已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）
A. 7B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的巧用即可得最值．
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿(mǎn)足，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立．
故選：B．
4. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用時(shí)，，推得，代入，求出答案．
【詳解】由題意可得①，
所以時(shí)，②，
①②得，所以，所以．
故選：C．
5. 在中，“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式，分別從充分性、必要性?xún)煞矫鎭?lái)說(shuō)明即可.
【詳解】一方面：，
另一方面：，但，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
6. 某高校派出5名學(xué)生去三家公司實(shí)習(xí)，每位同學(xué)只能前往一家公司實(shí)習(xí)，并且每個(gè)公司至少有一名同學(xué)前來(lái)實(shí)習(xí)，已知甲乙兩名同學(xué)同時(shí)去同一家公司實(shí)習(xí)，則不同的安排方案有（）
A. 48種B. 36種C. 24種D. 18種
【答案】B
【解析】
【分析】先安排甲乙，共有3種安排，剩下3人分兩類(lèi)：第一類(lèi)三個(gè)人去三個(gè)公司，第二類(lèi)是三個(gè)人去除甲乙去的公司的另外兩個(gè)公司，然后用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.
【詳解】因?yàn)榧滓覂擅瑢W(xué)要求同時(shí)去同一家公司實(shí)習(xí)，先安排甲乙，從三家公司中選一家公司共有3種選法；
剩下的3人分兩類(lèi)：第一類(lèi)三個(gè)人去三個(gè)公司，一家公司一個(gè)人，共有種安排方法；第二類(lèi)三個(gè)人去除甲乙去的公司的另外兩個(gè)公司，必有兩個(gè)人去一家公司，所以共有種安排方法；
所以共有不同的安排方案有種，
故選：B.
7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為始邊，角與的終邊分別與單位圓相交于兩點(diǎn)，且若直線(xiàn)的斜率為，則（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可設(shè)，，結(jié)合直線(xiàn)的斜率公式及和差角公式先求出，然后結(jié)合二倍角公式及同角基本關(guān)系可求．
【詳解】由題意可設(shè)，，
則直線(xiàn)的斜率，
所以，
所以．
故選：A．
8. 若曲線(xiàn)與，恰有2條公切線(xiàn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，求出切線(xiàn)方程，設(shè)該切線(xiàn)方程與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)，由此可得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意即可得出答案．
【詳解】設(shè)在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，
由，可得過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為，
此時(shí)切線(xiàn)方程為，即，
設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于點(diǎn)，，
則，
消去，可得，
依題意，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，
解得或，
令，解得，
則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，且恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，
要使直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則需，解得．
故選：B．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫(xiě)出兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，讓兩切線(xiàn)方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個(gè)變量后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，即可得結(jié)論．
二、選擇題：共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法中正確的有（）
A. 若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則變量與呈正相關(guān)
B. 在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好
C. 響應(yīng)變量是由解釋變量唯一確定的
D. 在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，“認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)”這種判斷犯錯(cuò)誤的概率越大
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)回歸直線(xiàn)和殘差的意義、隨機(jī)誤差的產(chǎn)生和獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，，變量與正相關(guān)，A正確；
對(duì)于B，回歸分析中，殘差分布水平帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，B正確；
對(duì)于C，響應(yīng)變量除了受解釋變量影響外，可能還會(huì)收到其他因素的影響，從而導(dǎo)致隨機(jī)誤差的產(chǎn)生，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，說(shuō)明兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性越小，則“認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)”這種判斷犯錯(cuò)誤的概率越大，D正確.
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)的最大值為1，則有（）
A.
B. 單調(diào)減區(qū)間為
C. 最小正周期為
D. 的解集為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角恒等變換將轉(zhuǎn)化為正弦型三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、三角不等式即可得逐項(xiàng)判斷得結(jié)論.
【詳解】
所以函數(shù)，則，故A正確；
則，所以其最小正周期為，故C正確；
所以單減區(qū)間滿(mǎn)足：
，解得，
即函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，故B正確；
不等式，即，則，
解得，解集為.
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)下列關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說(shuō)法中，正確的是（）
A. 當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)B. 當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，有8個(gè)零點(diǎn)D. 當(dāng)時(shí)，有8個(gè)零點(diǎn)
【答案】BD
【解析】
【分析】設(shè)，即有，選項(xiàng)A和B，當(dāng)和，在上單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解；選項(xiàng)C，取，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得只有個(gè)零點(diǎn)，即可求解；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷得解.
【詳解】令，得，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)，
設(shè)，則，二次函數(shù)，其圖象開(kāi)口向上，過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為，
對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，如圖，
由，得，解得，由，得，解得，
因此函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，如圖，
由，得，解得，由，得，解得，
因此函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖，
由圖象知只有個(gè)根，由，解得，
當(dāng)時(shí)，，若，則，
若，則或，此時(shí)有且只有3個(gè)解，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)圖象如圖，
由圖象知有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得或
當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，此時(shí)共有3個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有個(gè)解，
，即，得到，有個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，得到，有1個(gè)解，
，解得，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是，所以選項(xiàng)D正確，
故選：AD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)的判斷問(wèn)題，首先將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的問(wèn)題；解答時(shí)要采用換元的方法，利用數(shù)形結(jié)合法，先判斷外層函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，繼而求解內(nèi)層函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的解.
二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列．若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1，3，7，13，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為_(kāi)_____．
【答案】91
【解析】
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及累加法即可求解．
【詳解】設(shè)該二階等差數(shù)列為，則，，，，
由二階等差數(shù)列的定義可知，，，，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
即，
所以，，，，，
將所有上式累加可得，
所以．
故答案為：91．
13. 已知平面向量為單位向量，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】由得，計(jì)算在方向上的投影，進(jìn)而得在方向上的投影向量．
【詳解】因?yàn)?，所以，為單位向量，?br>又因?yàn)?，所以?br>即，在方向上的投影為，
所以在方向上的投影向量為．
故答案為：．
14. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為奇函數(shù)，且，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】由條件求得，，，從而求得的值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以有，
因?yàn)?，所以?br>得，
又，
，
即，所以.
故答案為：.
三、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．
15. 在中，角的對(duì)邊分別為．已知，；
（1）求角的值；
（2）的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，可得，結(jié)合角度范圍即可得角的值；
（2）根據(jù)余弦定理與三角形面積關(guān)系求解得長(zhǎng)度，再由計(jì)算可得的長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
由余弦定理得，
則可得，
由，可得，所以，
因?yàn)?，即?br>所以.
16. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．
【答案】（1）極小值為，極大值為
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，再根據(jù)極值定義即可求解；
（2），對(duì)分，和討論單調(diào)性即可.
【小問(wèn)1詳解】
.
所以x2時(shí)，，時(shí)，，
則在上遞減，在遞增，
所以的極小值為，極大值為.
小問(wèn)2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，
當(dāng)時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，
當(dāng)時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，
所以在上遞增；在上遞減．
17. 設(shè)是等比數(shù)列，是遞增的等差數(shù)列，的前項(xiàng)和為，，，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列與數(shù)列的所有項(xiàng)按照從小到大的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列，求此新數(shù)列的前40項(xiàng)和．
【答案】（1），
（2）692
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程求得公差、公比，可得所求；
（2）由數(shù)列的單調(diào)性求得數(shù)列的前5項(xiàng)和、數(shù)列的前35項(xiàng)和，可得所求和；
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為（），
由已知條件得，即，
解得. （舍去）或，
所以，；
【小問(wèn)2詳解】
數(shù)列與數(shù)列bn都是遞增數(shù)列，
，，，，
，，
新數(shù)列的前項(xiàng)和為：.
18. 某工廠生產(chǎn)一批機(jī)器零件，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件對(duì)某一項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，得到一組數(shù)據(jù)，如下表：
（1）求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)的值．若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)近似服從正態(tài)分布其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值．
（2）若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件．
①求這件零件是次品的概率：
②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率；
③若從這批機(jī)器零件中隨機(jī)抽取300件，零件是否為次品與該項(xiàng)性能指標(biāo)相互獨(dú)立，記抽出的零件是次品，且該項(xiàng)性能指標(biāo)恰好在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則，
【答案】（1）80，0.8186
（2）①；②；③4
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出平均數(shù)后可得，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可得解；
（2）①借助全概率公式計(jì)算即可得；②按照條件概率公式計(jì)算即可；③借助二項(xiàng)分布期望公式計(jì)算即可得．
【小問(wèn)1詳解】
，
因?yàn)?，所以?br>則
；
【小問(wèn)2詳解】
①設(shè)“抽取的零件為甲機(jī)床生產(chǎn)”記為事件，
“抽取的零件為乙機(jī)床生產(chǎn)”記為事件，
“抽取的零件為次品”記為事件，
則，，，，
則；
②；
③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標(biāo)在內(nèi)的概率，
且隨機(jī)變量，
所以，
所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為4.
19. 設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；
（2）若與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先將代入，然后求導(dǎo)得到，再求導(dǎo)得到，因?yàn)椋偷玫蕉A導(dǎo)大于等于0恒成立，得到一階導(dǎo)單調(diào)遞增，然后判斷一階導(dǎo)大于等于0恒成立，然后得到原函數(shù)單調(diào)性，求得最小值；
（2）先利用兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱(chēng)得到，然后代入不等式，整理得，構(gòu)造函數(shù)，得到，然后利用端點(diǎn)效應(yīng)得到，最后判斷其充分性即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以，
令，
得，
因?yàn)?，得?br>所以，故在單調(diào)遞增；
所以，
所以在單調(diào)遞增，
故在上的最小值為.
【小問(wèn)2詳解】
由題得，
得當(dāng)時(shí)，恒成立，
整理得恒成立，
令，
顯然，，
要使時(shí)，恒成立，
則，
，
所以有，
驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，
令，
，
令，
，
故在單調(diào)遞增；
所以，
故在單調(diào)遞增；
所以，
故在單調(diào)遞增；
所以，
故符合題意.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：恒成立，顯然，我們由函數(shù)圖像可知，在時(shí)，不可能單調(diào)遞減，所以可知，然后求得，此時(shí)為恒成立的必要條件，我們還需要利用去判斷恒成立，證明為恒成立的充分條件.
性能指標(biāo)X
66
77
80
88
96
產(chǎn)品件數(shù)
10
20
48
19
3

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