滿分150分，考試時間120分鐘.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知命題，，命題，，則（ ）
A.和都是真命題B.和都是真命題
C.和都是真命題D.和都是真命題
3.已知，為全集的非空真子集，且，不相等，若，則（ ）
A.B.C.D.
4.已知為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A.B.C.D.
5.法國當?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說過，奧運會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚奧運精神，某學(xué)校組織高一年級學(xué)生進行奧運專題的答題活動.為了調(diào)查男生和女生對奧運會的關(guān)注程度，在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：
則下列說法錯誤的是（ ）
A.男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86
B.男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)
C.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變
D.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變
6.已知是所在平面內(nèi)一點，且，若，則（ ）
A.B.C.D.
7.已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為.則該正四棱錐體積是（ ）
A.B.C.D.
8.已知雙曲線，在雙曲線上任意一點處作雙曲線的切線，交在第一、四象限的漸近線分別干，兩點.當時.該雙曲線的離心率為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知數(shù)列的通項公式為，則下列說法正確的是（ ）
A.是數(shù)列的最小項B.是數(shù)列的最大項
C.是數(shù)列的最大項D.當時，數(shù)列單調(diào)遞減
10.已知拋物線的焦點為，其準線與軸交于點，過點作斜率為的直線與交于，兩點.若直線經(jīng)過點，則（ ）
A.B.
C.D.的取值范圍是
11.若函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則函數(shù)的最大值為2
B.若，則函數(shù)為奇函數(shù)
C.存在，使得
D.若，則，
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知，，則________.
13.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則________.
14.以表示數(shù)集中最大（?。┑臄?shù).設(shè)，，，已知，則________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，.
（1）求角的大??；
（2）為的重心，的延長線交于點，且，求的面積.
16.（15分）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，其中，.是的中點，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角余弦值.
17.（15分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，，過點作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別交于不同的兩點，.
（1）求的標準方程；
（2）證明：直線的斜率為定值，并求出該值.
18.（17分）已知函數(shù).
（1）函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱，求的解析式；
（2）在定義域內(nèi)恒成立，求的值；
（3）求證：，.
19.（17分）有編號為的個空盒子（，），另有編號為的個球（，）將個球分別放入個盒子中，每個盒子最多放入一個球.放球時，先將1號球隨機放入個盒子中的其中一個，剩下的球按照球編號從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號對應(yīng)的盒子為空，則將該球放入對應(yīng)編號的盒子中；若球的編號對應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機放入剩余空盒子中的其中一個.記號球能放入號盒子的概率為.
（1）求；
（2）當時，求；
（3）求.
大市聯(lián)考卷（三）
數(shù)學(xué)答案
1.A[命題立意]本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運算，復(fù)數(shù)的除法運算，共軛復(fù)數(shù)的概念及計算，意在考查數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]，故選A.
2.C[命題立意]本題考查判斷全稱量詞命題的真假，判斷存在量詞命題的真假，全稱量詞命題的否定及其真假判斷，存在量詞命題的否定及其真假判斷，意在考查邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]對于命題，因為，所以，所以命題為真命題，為假命題；對于命題，當時，，，不成立，所以命題為假命題，為真命題.故選C.
3.B[命題立意]本題考查判斷兩個集合的包含關(guān)系，交并補混合運算，利用Venn圖求集合，意在考查數(shù)形結(jié)合等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]因為，等價于，等價于，且，不相等，可知集合是集合的真子集，故A錯誤；且，故B正確；據(jù)此作出韋恩圖，
可知，，故CD錯誤.
故選B.
4.D[命題立意]本題考查求在曲線上一點處的切線方程（斜率），基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運算法則，由奇偶性求參數(shù)，意在考查數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]因為為奇函數(shù)，且定義域為，所以，即，所以，經(jīng)檢驗符合題意，則，曲線在點處的切線斜率為，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選D.
5.D[命題立意]本題考查計算幾個數(shù)的中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差，總體百分位數(shù)的估計，意在考查數(shù)據(jù)分析等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86，故A正確；男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90，故B正確；女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.故選D.
6.C[命題立意]本題考查平面向量的混合運算，利用平面向量基本定理求參數(shù)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]因為，所以，即，即，又，，不共線，所以所以.故選C.
7.A[命題立意]本題考查球的體積的有關(guān)計算，多面體與球體內(nèi)切外接問題，意在考查數(shù)形結(jié)合、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點，連接，，設(shè)點在側(cè)面上的投影為點，則點在上，且，，設(shè)球心到四棱錐頂點的距離為，所以，，解得，所以.故選A.
8.A[命題立意]本題考查求直線交點坐標，已知雙曲線的方程求雙曲線的漸近線，求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍，意在考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]如圖，設(shè)雙曲線在點處的切線為，切線與軸交于點，
根據(jù)題意點在雙曲線第一象限，由，得，所以，則在點的切線斜率為，所以在點的切線方程為，令，得，所以點，設(shè)點，，漸近線方程為，聯(lián)立解得所以點，同理可得，又，，所以點是線段的中點，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選A.
9.BCD[命題立意]本題考查判斷數(shù)列的增減性，確定數(shù)列中的最大（?。╉棧庠诳疾閿?shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]設(shè)第項為的最大項，則
即
所以
又，所以或，
故數(shù)列中與均為最大項，且，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，故BCD正確；
當趨向正無窮大時，無限趨向于0且大于0，且，所以不是數(shù)列的最小項，且數(shù)列無最小值，故A錯誤.故選BCD.
10.ABD[命題立意]本題考查拋物線中的參數(shù)范圍問題，直線與拋物線交點相關(guān)問題，根據(jù)韋達定理求參數(shù)，意在考查數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]因為拋物線的焦點為，且直線經(jīng)過點，所以，則，解得：，故A正確；
所以拋物線方程為：，則，設(shè)過點作斜率為的直線的方程為：，聯(lián)立消去可得：，顯然，，解得或，故C錯誤；由韋達定理可得：，，故B正確；因為，，所以，令，則，則，所以的取值范圍是，故D正確.故選ABD.
11.ACD[命題立意]本題考查已知求解析式，函數(shù)奇偶性的定義與判斷，求含（型）函數(shù)的值域和最值，三角恒等變換的化簡問題.意在考查轉(zhuǎn)化與化歸、知識遷移與創(chuàng)新應(yīng)用等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]因為，可知的定義域為，當時，，可得，，當且僅當時，等號成立，所以函數(shù)的最大值為2，故A正確；當時，則，令，則，可得，所以函數(shù)不為奇函數(shù)，故B錯誤；當時，，則，，且對任意，，所以，故C正確；因為，若，可得，，則，，解得，，故D正確.故選ACD.
12.[命題立意]本題考查三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系，用和、差角的正弦公式化簡、求值，意在考查數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]由，
得
解得，，
所以.
[答案]
13.[命題立意]本題考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算，等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，求等比數(shù)列前項和，意在考查數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]因為，所以，又因為，所以，，從而，又，所以，所以.
[答案]
14.[命題立意]本題考查基本不等式求和的最小值，意在考查邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸等學(xué)科素養(yǎng).
[解題思路]由，得，設(shè)，則，，，由，當且僅當時，取等號，所以.
[答案]
15.[命題立意]本題考查二倍角的正弦公式，正弦定理邊角互化的應(yīng)用，三角形面積公式及其應(yīng)用，余弦定理解三角形，意在考查數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解]（1）在中，因為，由正弦定理可得，，，即，所以，，，故，即.
（2）因為為的重心，的延長線交于點，且，所以點為中點，且，在中，，，即，在和中，，化簡得，所以，故，所以的面積為.
16.[命題立意]本題考查證明線面平行，面面角的向量求法，意在考查數(shù)形結(jié)合、直觀想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).
[解]（1）證明：取的中點，連接，，由是的中點，得，且，由是的中點，得，且，則有，，四邊形是平行四邊形，于是，又平面，平面，所以平面.
（2）四棱柱中，平面，，則直線，，，兩兩垂直，以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖，
有，，，，，，則有，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，則有令，得，
令，得，
因此.所以平面與平面的夾角余弦值為.
17.[命題立意]本題考查根據(jù)，，求橢圓標準方程，橢圓中的直線過定點問題，意在考查數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng).
[解]（1）設(shè)，，且，因為，，又，所以，解得，又點在上，所以①，又②，聯(lián)立①②，解得，，所以的標準方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
由消得到，
所以，得到，所以，同理可得，，所以為定值，即直線的斜率為定值，定值為.
18.[命題立意]本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，意在考查數(shù)學(xué)運算、轉(zhuǎn)化與化歸、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).
[解]（1）依題意，設(shè)圖象上任意一點坐標為，則其關(guān)于對稱的點在圖象上，則，則，，故，.
（2）令，，則在恒成立，又，且在上是連續(xù)函數(shù)，則為的一個極大值點，
，，
下證當時，在恒成立，令，，當，，在上單調(diào)遞增，
當，，在上單調(diào)遞減，
故，在上恒成立，又，
則時，恒成立，
綜上，.
（3）證明：由（2）可知：，則，即，則.又由（2）可知：在上恒成立，則在上恒成立且當且僅當時取等，令，，則，即，則，綜上，，得證.
19.[命題立意]本題考查計算古典概型問題的概率，利用全概率公式求概率，意在考查知識遷移與創(chuàng)新應(yīng)用、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸等學(xué)科素養(yǎng).
[解]（1）1號球放入1號盒中的概率為，此時2，3號球分別放入2，3號盒中；1號球放入2號盒中的概率為，欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號盒中，概率為，1號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中.綜上所述，.
（2）1號球放入1號，4號，5號，…，號盒中的概率為，此時3號球可放入3號盒中；1號球放入2號盒中的概率為，欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號，4號，5號，…，號盒中，概率為，1號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中；綜上所述，.
（3）1號球放入1號，號，號，號，…，號盒中的概率為，此時號球可放入號盒中；1號球放入號盒中的概率為，此時2號，3號，…，號球都可以放入對應(yīng)編號的盒中，剩下編號為的球和編號為1，的空盒，此時號盒非空，號球在所有空盒中隨機選擇一個放入，此時要讓號球放入號盒中的放法總數(shù)等效于將編號為的球，按照題設(shè)規(guī)則放入編號為的盒中（1號球仍然隨機選擇一個盒子放入），所以概率為.1號球放入號盒中時，此時號球不能放入號盒中：所以，整理得①，分別用和替換和，可得②，由①②式相減，整理得：，從而，等于1號球不放在2號盒的概率，即.所以.男生
82
85
86
87
88
90
90
92
94
96
女生
82
84
85
87
87
87
88
88
90
92

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