1．（4分）第33屆夏季奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，中國取得金牌榜第一名的好成績，如圖所示巴黎奧運會項目圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．3，8，4B．2，2，4C．6，2，3D．5，10，6
3．（4分）等腰三角形的頂角為80°，則它的底角是（ ）
A．20°B．50°C．60°D．80°
4．（4分）正八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)是（ ）
A．150°B．135°C．108°D．60°
5．（4分）如圖，△ABC≌△AEF，點F在BC上，AB交EF于點D．若∠B＝30°，∠EAF＝80°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
6．（4分）根據(jù)下列條件能畫出唯一確定的△ABC的是（ ）
A．AB＝4，BC＝5
B．AB＝4，BC＝5，∠BAC＝60°
C．AB＝4，BC＝5，∠ABC＝70°
D．∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°
7．（4分）如圖，AB＝BC＝4，DA＝DC，若∠ACB＝60°，則OC的長度為（ ）
A．1B．C．2D．
8．（4分）某地地震過后，河沿村中學(xué)的同學(xué)用下面的方法檢測教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜邊中點栓一條線繩，線繩的另一端掛一個鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結(jié)果線繩經(jīng)過三角尺的直角頂點，同學(xué)們由此確信房梁是水平的．他們判定的依據(jù)是（ ）
A．等邊對等角
B．等角對等邊
C．等腰三角形底邊上的中線和底邊上的高重合
D．等腰三角形頂角平分線與底邊上的中線重合
9．（4分）已知△ABC，下列尺規(guī)作圖能確定∠BAD＝∠ABD的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）在△ABC中，∠C＝2∠A＝2α，點D為AC上一點，∠ADB＝180°﹣4α，將△ABD沿BD折疊得到△A′BD，A′B與CD相交于點E，點E不與點C重合，則α的值可以是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）修理一把搖晃的椅子，我們可以斜著釘上一塊木條（如圖），其中所涉及的數(shù)學(xué)原理是 ．
12．（4分）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交AC于E，若AE＝12，則BE的長為 ．
13．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣1，4）和B（﹣1，﹣4）關(guān)于 軸對稱．
14．（4分）如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是 ．
15．（4分）如圖，△ABC為等邊三角形，BC＝2，AD為BC邊上的中線，點P、E分別為AD、AB上的動點．當(dāng)BP+PE最小時，則BE的長為 ．
16．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，點D、E分別在BC、AC上，且AD＝BD，DE＝EC．若△ADE為等腰三角形，則∠BAC的度數(shù)為 ．
三、解答題（本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多180°，求這個多邊形的邊數(shù)．
18．（8分）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE與BA的延長線交于點E．若∠B＝40°，∠ACB＝30°，求∠E的度數(shù)．
19．（8分）如圖，B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：∠A＝∠D．
20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B，C均為格點（網(wǎng)格線的交點）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出A1，B1，C1的坐標(biāo)；
（2）在BC上找一點D，連接AD，使得AD平分△ABC的面積．
21．（8分）如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線．
（1）尺規(guī)作圖：過點A作AE//BC交BD的延長線于點E；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）找出圖中一定與AE相等的線段，并說明理由．
22．（10分）求證：等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等．
已知：在△ABC中， ；
求證： ；
證明：
23．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（a，0），C（0，a），a＞0，點B在線段OC上，連接AB，點D（1，1）在AB上，連接OD，CD．
（1）求證：OD垂直平分AC；
（2）若BD＝BC，求OB長．（用含a的式子表示）
24．（12分）實驗與探究：
材料：如圖1，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，可以作∠DCB＝∠B，CD交AB于D，
則CD＝BD．（依據(jù)1）
∵AD+DC＞AC（依據(jù)2），
∴AB＞AC．
這說明，在一個三角形中，如果兩角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較長．
任務(wù)一：上述材料中，依據(jù)1與依據(jù)2分別是什么？
依據(jù)1： ；
依據(jù)2： ．
任務(wù)二：逆向思考：如圖2，在△ABC中，AB＞AC，那么它們所對的角大小關(guān)系是什么？并給予證明．
任務(wù)三：如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB，O為CD上一點，連接OB．若∠ACD＞30°，試?yán)貌牧现械闹R，比較OB與CD的大小關(guān)系，并說明理由．
25．（14分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為AC上一點，連接BD，點E在BD上，連接AE并延長交BC于F．
（1）如圖1，若AE⊥BD．
①求證：∠ABD＝∠FAC；
②連接DF，若∠BDA＝∠FDC，求證：點D為AC中點；
（2）如圖2，若∠BAF＝∠DBC，BE＝a，BD＝b，求△BDC的面積．（用含a，b的式子表示）
2024-2025學(xué)年福建省福州市福清市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A．該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．該圖形是軸對稱稱圖形，故此選項符合題意；
D．該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：C．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．【分析】在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形，由此即可判斷．
【解答】解：A、3+4＝7＜8，不能組成三角形，故A不符合題意；
B、2+2＝4，不能組成三角形，故B不符合題意；
C、3+2＜6，不能組成三角形，故C不符合題意；
D、6+5＞10，能組成三角形，故D符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．
3．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可以求得其底角的度數(shù)．
【解答】解：∵等腰三角形的一個頂角為80°
∴底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°．
故選：B．
【點評】考查三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)的運用，比較簡單．
4．【分析】根據(jù)正多邊形的每一個內(nèi)角相等，則對應(yīng)的外角也相等，根據(jù)多邊形的外角和為360°，進而求得一個外角的度數(shù)，即可求得正八邊形每個內(nèi)角度數(shù)．
【解答】解：∵正多邊形的每一個內(nèi)角相等，則對應(yīng)的外角也相等，
∴正八邊形的一個外角等于360÷8＝45°，
∴正八邊形的一個內(nèi)角為180°﹣45°＝135°．
故選：B．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，掌握正多邊形的每一個內(nèi)角相等，外角也相等是解題的關(guān)鍵．
5．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF＝80°，
∵∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝70°，
故選：D．
【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
6．【分析】只有符合全等三角形的判定條件的三角形能畫出唯一確定的三角形，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．
【解答】解：A．由“AB＝4，BC＝5”不能唯一確定△ABC，所以A選項不符合題意；
B．由“AB＝4，BC＝5，∠BAC＝60°”不能唯一確定△ABC，所以B選項不符合題意；
C．由“AB＝4，BC＝5，∠ABC＝70°”可以唯一確定△ABC，所以C選項符合題意；
D．由“∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°”不能唯一確定△ABC，所以D選項不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．
7．【分析】先證明BD是線段AC的垂直平分線上得BD⊥AC，OA＝OC＝AC，再證明△ABC是等邊三角形得AC＝AB＝4，由此可得出OC的長．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴點B在線段AC的垂直平分線上，
∵DA＝DC，
∴點D在線段AC的垂直平分線上，
∴BD是線段AC的垂直平分線上，
∵BD⊥AC，OA＝OC＝AC，
又∴AB＝BC＝4，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OC＝AC＝2．
故選：C．
【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
8．【分析】根據(jù)題意可知AC＝BC，再根據(jù)點O是AB的中點，即可得出OC⊥AB；由OC既是AB邊上的中線，又是AB邊上的高，據(jù)此即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，
∴AC＝BC．
∵點O是AB的中點，
∴AO＝BO，
∴OC⊥AB，
即等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高重合．
故選：C．
【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，此題與實際生活聯(lián)系密切，讀懂題意，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．【分析】判斷出DB＝DA即可．
【解答】解：選項B中，由作圖可知點D在線段AB的垂直平分線上，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
故選項B符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
10．【分析】首先用α表示出∠ABC，∠ABD，∠ABA'，根據(jù)題意，得∠ABD＞0°，∠ABA'＜∠ABC，由此列出關(guān)于α的不等式，再求出α的取值范圍，即可作出判斷．
【解答】解：如圖，
∵∠C＝2∠A＝2α，∠ADB＝180°﹣4α，
∴∠A＝α，
∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣α﹣2α＝180°﹣3α，
∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣α﹣（180°﹣4α）＝3α，
∵△ABD沿BD折疊得到△A′BD，
∴∠ABD＝∠A'BD＝3α，∠ABA'＝6α，
∵′B與CD相交于點E，點E不與點C重合，
∴∠ABD＞0°，∠ABA'＜∠ABC，
即3α＞0°，6α＜180°﹣3α，
解得0°＜α＜20°，
∴α的值可以是15°，
故選：A．
【點評】本題考查翻折變換，解答中涉及軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解一元一次不等式，理解題意，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．
【解答】解：所涉及的數(shù)學(xué)原理是三角形具有穩(wěn)定性，
故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．
【點評】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．
12．【分析】直接由線段垂直平分線的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴BE＝AE＝12．
故答案為：12．
【點評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．
13．【分析】關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可得答案．
【解答】解：點A（﹣1，4）和B（﹣1，﹣4）關(guān)于x軸對稱．
故答案為：x．
【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣對稱、關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵．
14．【分析】根據(jù)垂直定義得出∠ABD＝∠CDB＝90°，根據(jù)圖形可知BD是公共直角邊，根據(jù)直角三角形全等的判定HL得出需要添加的條件是斜邊相等．
【解答】解：需要添加的條件是AD＝CB．
理由是：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°．
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故答案為：AD＝CB．
【點評】本題考查了直角三角形全等的判定定理的應(yīng)用，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
15．【分析】根據(jù)軸對稱的最短路徑問題，作E的對稱點E'，連接PE'，BE'，過點B作BH⊥AC于點H，推出當(dāng)BP+PE最小時，點E'在點H處，此時BE＝AB﹣AH，再求出AH的長即可解決問題．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，AD為BC邊上的中線，
∴直線AD是△ABC的對稱軸，
如圖，在AC上取一點E'使AE'＝AE，則點E'與點E關(guān)于直線AD對稱，連接PE'，BE'，過點B作BH⊥AC于點H，
則PE'＝PE，
∴BP+PE＝BP+PE'≥BE'≥BH，
∴當(dāng)BP+PE最小時，點E'在點H處，此時BE＝AB﹣AH，
∵△ABC為等邊三角形，BC＝2，
∴AC＝BC＝2，
又∵BH⊥AC，
∴AH＝AC＝1，
∴BE＝2﹣1＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線問題，解答中涉及軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，垂線段最短等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
16．【分析】設(shè)∠C＝x°，分三種情況進行討論：
①當(dāng)AD＝AE時，如圖1，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)列方程：2x+x＝30°+30°，可得x的值，即可求解；
②當(dāng)AD＝DE時，如圖2，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程：30°+30°+2x+x＝180°，可得x的值，即可求解；
③當(dāng)EA＝DE時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程：90﹣x+30°+30°+x＝180°，無解，x不存在．
【解答】解：設(shè)∠C＝x°，
①當(dāng)AD＝AE時，如圖1，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∵DE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝x°
∴∠AED＝2x°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x°，
∴2x+x＝30°+30°，
∴x＝20°．
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣20°＝130°；
②當(dāng)AD＝DE時，如圖2，
同理：∠B＝∠BAD＝27°，∠C＝∠EDC＝x°，∠DAE＝∠AED＝2x°，
∴30°+30°+2x+x＝180°，
∴x＝40°．
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
③當(dāng)EA＝DE時，
∵90﹣x+30°+30°+x＝180°，
∴x不存在，應(yīng)舍去．
綜合上述：滿足條件的∠C的度數(shù)為20°或40°．
故答案為：130°或110°．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，理解優(yōu)美線的定義是解決問題的關(guān)鍵，并注意分類討論的思想，不要丟解．
三、解答題（本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的計算方法以及多邊形外角和是360°列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)這個多邊形為n邊形，由題意得，
（n﹣2）×180°＝360°+180°，
解得n＝5，
即這個多邊形是五邊形．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和的計算方法以及多邊形外角和是360°是正確解答的關(guān)鍵．
18．【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ACD，即可求出∠ACE和∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠E即可．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝180°﹣30°＝150°，
∵∠B＝40°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，
∴∠ACE＝75°，
∴∠E＝180°﹣75°﹣70°＝35°．
【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
19．【分析】欲證明∠A＝∠D，只要證明△ABC≌△DEF（SSS）即可．
【解答】證明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考常考題型．
20．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
（2）取BC的中點D，則點D即為所求．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
由圖可得，A1（﹣1，3），B1（2，﹣1），C1（﹣3，1）．
（2）如圖，取BC的中點D，連接AD，
則AD平分△ABC的面積，
則點D即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21．【分析】（1）在BD的延長線上截取DE＝BD，連接AE，則AE∥BC；
（2）證明△CDB≌△ADE（SAS），得出CB＝AE．
【解答】解：（1）如圖，
在BD的延長線上截取DE＝BD，連接AE，則AE∥BC；
（2）AE＝BC．
理由：∵BD是AC邊上的中線，
∴AD＝CD，
又∵∠CDB＝∠ADE，BD＝DE，
∴△CDB≌△ADE（SAS），
∴CB＝AE．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
22．【分析】根據(jù)文字?jǐn)⑹鰧懗鲆阎?，求證，然后根據(jù)等腰三角形三線合一可得∠ACD＝∠BCD，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等證明．
【解答】已知：在△ABC中，AC＝BC，AD＝BD，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，
求證：DE＝DF，
證明：∵AC＝BC，AD＝BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF．
故答案為：AC＝BC，AD＝BD，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F；DE＝DF．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．【分析】（1）延長OD交AC于H，過點D作DE⊥OA，DF⊥OC，則OE＝OF＝1，進而得OD是∠AOC的平分線，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先證明∠DAO＝∠DCB，在根據(jù)BD＝BC得∠DCB＝∠CDB，則∠OBA＝2∠DCB，由此得∠DCB＝30°，然后再利用含有30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OB的長．
【解答】（1）證明：延長OD交AC于H，過點D作DE⊥OA，DF⊥OC，如圖所示：
∵點D（1，1），
∴OE＝OF＝1，
∴點D在∠AOC的平分線上，
∴OD是∠AOC的平分線，
∵點A（a，0），C（0，a），a＞0，
∴OA＝OC＝a，
∴OD⊥AC，AH＝CH，
∴OD垂直平分AC；
（2）解：∵OA＝OC＝a，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵OD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠OAC﹣∠DAC＝∠OCA﹣∠DCA，
即∠DAO＝∠DCB，
∵BD＝BC，
∴∠DCB＝∠CDB，
∴∠OBA＝∠DCB+∠CDB＝2∠DCB，
∵∠OBA+∠DAO＝90°，
∴2∠DCB+∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝30°，
∴∠DAO＝∠DCB＝30°，
在Rt△OAB中，∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB，
由勾股定理得：OA＝＝OB，
∴OB＝a，
∴OB＝．
【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，含有30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解線段垂直平分線的定義，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用含有30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理進行計算是解決問題的關(guān)鍵．
24．【分析】任務(wù)一：根據(jù)等腰三角形的判定和三角形的三邊關(guān)系可解答；
任務(wù)二：如圖2，在AB上截取AD＝AC，連接CD，得∠ADC＝∠ACD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角的和差可得結(jié)論：∠ACB＞∠B；
任務(wù)三：如圖3，OB＞CD，先根據(jù)角平分線定義得：∠ACD＝∠BCD，根據(jù)材料中：在同一個三角形中大角對大邊，從而可以解答即可．
【解答】解：任務(wù)一：
依據(jù)1：等角對等邊；
依據(jù)2：三角形的兩邊之和大于第三邊；
故答案為：等角對等邊；三角形的兩邊之和大于第三邊；
任務(wù)二：
∠ACB＞∠B，證明如下：
∵AB＞AC，
如圖2，在AB上截取AD＝AC，連接CD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠ADC＝∠B+∠DCB，
∴∠ADC＞∠B，
∵∠ACB＞∠ACD，
∴∠ACB＞∠B；
任務(wù)三：
如圖3，OB＞CD，理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＞30°，
∴∠ACB＞60°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC＜30°，
∴∠DCB＞∠CBD，
∴BD＞CD，
△BOD中，∠BDO＝90°+∠ACD＞90°，
∠BOD＜90°，
∴∠BDO＞∠BOD，
∴OB＞BD，
∴OB＞CD．
【點評】此題是三角形的綜合題，主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，角平分線的定義，等邊對等角等知識，正確理解并運用在一個三角形中，大角對大邊，大邊對大角，運用類比的方法解決問題是解本題的關(guān)鍵．
25．【分析】（1）①根據(jù)同角的余角可得結(jié)論；
②如圖1，過點C作CG⊥AC于C，交AF的延長線于點G，根據(jù)ASA證明△BAD≌△ACG，則AD＝CG，∠G＝∠BDA，再證明△FCD≌△FCG（AAS），從而解答即可；
（2）如圖2，過點A作AM⊥AF于A，交BD的延長線于M，連接CM，證明△BAE≌△CAM（SAS），得BE＝CM，∠AMC＝∠AEB＝135°，從而得∠DMC＝135°﹣45°＝90°，最后根據(jù)三角形的面積公式可解答．
【解答】（1）①證明：∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠ABD＝∠FAC；
②證明：如圖1，過點C作CG⊥AC于C，交AF的延長線于點G，
∴∠ACG＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，∠FAC＝∠ABD，
∴△BAD≌△ACG（ASA），
∴AD＝CG，∠G＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠G，
∵∠BCA＝45°，∠ACG＝90°，
∴∠FCG＝45°＝∠DCF，
∵CF＝CF，
∴△FCD≌△FCG（AAS），
∴CG＝CD，
∴CD＝AD，
∴點D為AC中點；
（2）解：如圖2，過點A作AM⊥AF于A，交BD的延長線于M，連接CM，
∴∠FAM＝90°＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAM，
∵∠DBC＝∠BAF，∠AED＝∠BAE+∠ABE，
∴∠AED＝∠ABE+∠DBC＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AE＝AM，∠AME＝45°，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△CAM（SAS），
∴BE＝CM，∠AMC＝∠AEB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DMC＝135°﹣45°＝90°，
∴CM⊥BD，
∴S△BDC＝?BD?CM＝?BD?BE，
∵BE＝a，BD＝b，
∴S△BDC＝ab．
【點評】本題是三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識點．熟練掌握常用幾何定理和模型是解決問題的關(guān)鍵．

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