一、單選題
1．下列方程,屬于一元二次方程的是( )
A.B.
C.D.
2．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是( )
A.1,,B.1,,3C.1,2,3D.1,2,
3．若m、n是關于x的方程的兩個根,則的值為( )
A.4B.C.D.
4．電影《志愿軍》不僅講述了中國人民志愿軍抗美援朝的故事，更是通過鮮活生動的人物塑造，讓觀眾體會到歷史事件背后的人性和情感，一上映就獲得全國人民的追捧.某地第一天票房約3億元，若以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達8億元，若把增長率記作x，則方程可以列為( )
A.B.C.D.
5．下列說法正確的是：( )
A.三點確定一個圓
B.平分弦的直徑垂直于弦
C.相等的圓心角所對的弦相等
D.三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.
6．如圖,是的直徑,弦交于點E,,則的度數(shù)為( )
A.B.C.D.
7．如圖圓O的半徑是4,是弦,且A是弧的中點,則弦的長為( )
A.B.C.4D.6
8．如圖,的半徑為4,圓心M的坐標為,點P是上的任意一點,,且、與x軸分別交于A、B兩點,若點A、點B關于原點O對稱,則的最大值為( )
A.13B.14C.12D.28
二、填空題
9．寫一個一元二次方程，使它有兩個相等的實數(shù)根：__________(寫出一個即可)
10．關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根,則k值為______.
11．若m是方程的一個根,則的值為____________.
12．如圖,為的直徑,弦于點E,已知,,則的半徑為______.
13．任意拋擲一枚均勻的骰子,骰子各個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6,則朝上的點數(shù)是奇數(shù)的概率是______.
14．為迎接全市的禁毒知識競賽,某校進行了相關知識測試,經(jīng)過層層預賽,小洋和小亮進入了最后的決賽,如圖,是他們6次的測試成績,若要從中選一名測試成績穩(wěn)定的同學去參加競賽,則應選______.(填“小洋”或“小亮”).
15．如圖，在正六邊形中，，，垂足為點I.若，則________.
16．如圖,,,,D是線段上的一個動點,以為直徑畫分別交、于E、F,連接,則線段長度的最小值為______.
17．如圖有一個三角形點陣,從上向下有無數(shù)多行,其中第一行有1個點,第二行有2個點,,第n行有n個點,容易發(fā)現(xiàn),10是三角點陣中前4行的點數(shù)之和當三角點陣中點數(shù)之和是時,則三角點陣點的行數(shù)為______.
18．如圖,在矩形中,,,點E、F分別是邊、上的動點,且,點G是的中點,連接、,則四邊形面積的最小值為______.
三、解答題
19．解方程：
(1)；
(2).
20．初一某班16名男生在體檢時測量了身高.以為基準,記錄男生們的身高,超過記為正,不足記為負.前15名男生的相對身高(單位：)記錄如表,第16名男生身高為.
(1)表格中______；
(2)該班最高的男生與最矮的男生身高相差______；
(3)計算該班男生的平均身高.
21．如圖,用長為米的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長度為米),圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃.為了方便出人,建造時,在上用其它材料做了寬為2米的兩扇小門,在上用其它材料做了寬為1米的一扇小門.
(1)設花圃的一邊長為x米,請你用含x的代數(shù)式表示另一邊的長為___________米；
(2)若此時花圃的面積剛好為,求此時花圃的長與寬.
22．如圖,在四邊形中,,相交于點E,且,經(jīng)過A,C,D三點的交于點F,連接.
(1)求證：；
(2)若,求證：是的切線.
23．已知,是關于x的一元二次方程的兩實數(shù)根.
(1)求m的取值范圍；
(2)已知等腰的一邊長為7,若,恰好是另外兩邊的邊長,求m的值和的周長.
24．定義：一元二次方程,若根的判別式是一個完全平方數(shù)(式),則此方程叫“完美方程”.
(1)判斷下列方程一定是“完美方程”的是；(直接填序號)
①；②；③；
(2)若關于x的一元二次方程
①證明：此方程一定是“完美方程”；
②設方程的兩個實數(shù)根分別為,,是否存在實數(shù)k,使得始終在函數(shù)的圖像上？若存在,求出k的值；若不存在,請說明理由.
25．某電商銷售一款秋季時裝,進價40元/件,售價110元/件,每天銷售20件.為了慶祝二十大的勝利召開,未來30天,這款時裝將開展“喜迎二十大,每天降1元”的促銷活動,即從第1天起每天的單價均比前一天降1元.通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),該時裝單價每降1元,每天銷量增加4件.
(1)這30天內(nèi)該電商第幾天的利潤最大？最大利潤是多少？
(2)為了回饋社會,在這30天內(nèi),該電商決定每銷售一件時裝,向希望工程捐a元().要使每天捐款后的利潤隨天數(shù)t(t為正整數(shù))的增大而增大,求a的取值范圍.
26．如圖,在中,,以為直徑作,交于點D,交于點E.
(1)求證：點D是邊的中點.
(2)記的度數(shù)為,的度數(shù)為.探究與的數(shù)量關系.
27．如圖①,在四邊形中,,,,,過A,B,C三點的的圓心位置和半徑,隨著m的變化而變化.解決下列問題：
【特殊情形】
(1)如圖②,當時,圓心O在上,求的半徑.
【一般情形】
(2)(Ⅰ)當時,求的半徑；
(Ⅱ)當時,隨著m的增大,點O的運動路徑是；(填寫序號)
①射線；②??；③雙曲線的一部分；④不規(guī)則的曲線
【深入研究】
(3)如圖③,連接,以O為圓心,作出與邊相切的圓,記為小.當小與相交且與相離時,直接寫出m的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：A、含有兩個未知數(shù),不是關于x的一元二次方程,故該選項是錯誤的；
B、,滿足一元二次方程的定義,故該選項是正確的；
C、不是整式方程,則不是關于x的一元二次方程,故該選項是錯誤的；
D、,含有一個未知數(shù)x,未知數(shù)的最高次數(shù)是1,故該選項是錯誤的；
故選：B.
2．答案：A
解析：將化為一般式為,
∴一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1,,,
故選：A.
3．答案：A
解析：∵m,n是關于x的方程的兩個實數(shù)根,
∴,,
∴,
故選：A.
4．答案：D
解析：由題意得.
故選：D.
5．答案：D
解析：A、不在同一直線上的三點確定一個圓,故原說法不正確；
B、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,故原說法不正確；
C、在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,故原說法不正確；
D、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等,故原說法正確.
故選：D.
6．答案：A
解析：如圖所示,連接,
∵是的直徑,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
故選：A.
7．答案：C
解析：連接、、,
∵,
∴,
∵A是弧的中點,
∴,
∵,
∴是等邊三角形,
∴.
故選：C.
8．答案：D
解析：連接,
∵,
∴,
∵點A、點B關于原點O對稱,
∴,即點O為中點,
∴,
若要使取最大值,則需取最大值,
連接,交于點,
當點P位于點時,取得最小值,
過點M作軸于點Q,圓心M的坐標為,
則、,
∴,
又∵,
∴,
∴當點P在的延長線與的交點上時,取最大值,
∴的最大值為,
∴的最大值為.
故選：D.
9．答案：(答案不唯一)
解析：∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
∴符合題意的一元二次方程可以為：，
故答案為：(答案不唯一).
10．答案：
解析：關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根,
,
解得:,
的值為.
故答案為:.
11．答案：2024
解析：由題意知：,即,
∴
.
故答案為：2024.
12．答案：5
解析：如圖,連接,設的半徑為r,則,
,
,
∵為的直徑,弦于點E,
∴,
在中,根據(jù)勾股定理得,
,
解得,
∴的半徑為5.
故答案為：5.
13．答案：
解析：任意拋擲一次骰子,朝上的面的點數(shù)有6種等可能結(jié)果,其中奇數(shù)有1,3,5共3種結(jié)果,
∴朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是.
故答案為：.
14．答案：小亮
解析：由折線統(tǒng)計圖可得,
小洋的波動大,小亮的波動小,
小亮的成績更加穩(wěn)定,
應選小亮.
故答案為：小亮.
15．答案：
解析：六邊形是正六邊形,
,
,
,
,
,
,
,
,
故答案為:.
16．答案：
解析：由垂線段的性質(zhì)可知,當為的邊上的高時,直徑最短,
如圖,連接,,過O點作,
在中,,,
∴,即此時圓的直徑最小為4,
∵,
由等腰三角形的性質(zhì)可得：,
由垂徑定理可得：,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∵
∴最小時,最小,也就是最小,
∵
∴,,
∴,即最小為,
故答案為.
17．答案：24
解析：由于第一行有1個點,第二行有2個點第n行有n個點,
則前五行共有個點,
前10行共有個點,
,
前n行共有個點,
然后求它們的和,
前n行共有個點,
根據(jù)題意,有,
整理這個方程,得：,
解方程得：,(舍去),
故答案為：.
18．答案：
解析：如圖,連接,過B作于H,以B為圓心,為半徑作圓,交于,如圖,
∵四邊形是矩形,
∴,
∵,點G是的中點,
∴,
∴G在以B為圓心,5為半徑的弧上,當G運動到時,最小,此時四邊形面積的最小值,最小值即為四邊形的面積,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,,即四邊形面積的最小值是,
故答案為：.
19．答案：(1),
(2),
解析：(1),
∴,
∴,
解得,；
(2),
∴,
∴或,
解得：,.
20．答案：(1)
(2)25
(3)
解析：(1)由題意得,,
故答案為：；
(2),
即該班最高的男生與最矮的男生身高相差,
故答案為：25；
(3)
答：該班男生的平均身高為.
21．答案：(1)
(2)長為9米,寬為6米
解析：(1)由題意可得,
長為米的籬笆做3寬1長的墻,其中上用其它材料做了寬為2米兩扇小門,上用其它材料做了寬為1米的一扇小門,
∴總共長寬為,
∴的長為米,
故答案為：；
(2)由(1)得,
長為米,寬為x米,
∴,
即,
解得,,
當時,不合題意,舍去,
當時,,
答：此時花圃的長為9米,寬為6米.
22．答案：(1)見解析
(2)見解析
解析：(1)證明：,
,
,
,
又,
,
,即：,
；
(2)證明：連接并延長交于G點,再連接,
為O直徑,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
是的切線.
23．答案：(1)
(2)m的值是9,5,,,這個三角形的周長為或或
解析：(1)根據(jù)題意得,解得；
(2)當腰長為7時,則是一元二次方程的一個解,
把代入方程得,
整理得,解得,,
當時,,解得,則三角形周長為；
當時,,解得,則三角形周長為；
當7為等腰三角形的底邊時,則,所以,方程化為,解得,三邊長為,,7,其周長為,
綜上所述,m的值是9,5,,,這個三角形的周長為或或.
24．答案：(1)③
(2)①證明見解析；②存在,k的值為1
解析：(1)①,
,不是完全平方數(shù),
不是“完美方程”；
②,
,不是完全平方式,
不是“完美方程”；
③,
,是完全平方式,
是“完美方程”；
故答案為：③；
(2)①證明：
,且4是完全平方數(shù),
此方程一定是“完美方程”；
②存在,理由如下：
,
,
或,
或,
設方程的兩個實數(shù)根分別為、,
,,
始終在函數(shù)的圖像上,
,
,
即存在實數(shù)k,使得始終在函數(shù)的圖像上,k的值為1.
25．答案：(1)第30天的利潤最大,最大利潤是5600元
(2)
解析：(1)設銷售利潤為w元,銷售時間為x天,
由題意可知,,
,
,
∵,
∴函數(shù)有最大值,
∴當時,w取最大值為元,
∴第30天的利潤最大,最大利潤是5600元；
(2)設未來30天每天獲得的利潤為y,時間為t天,根據(jù)題意,
得,
化簡,得,
每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數(shù)t(t為正整數(shù))的增大而增大,
∴,
解得,,
又∵,
即a的取值范圍是：.
26．答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)證明：如圖,連接,
∵為的直徑,
∴,即,
∵,
∴,
即點D是邊的中點；
(2)證明：,理由如下,
如圖,連接,
∵的度數(shù)為,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,則,
∴,
即.
27．答案：(1)
(2)(Ⅰ)；(Ⅱ)①
(3)
解析：(1)連接,在中,設,則.
在中,,
∴,即.解得.
(2)(I)過點O分別作,,連接,,
∵過圓心,,
∴.
∵,
∴四邊形是矩形.
∴.
∴.
設,則,
在中,
在中,
∴,即.
解得,
∴,即.
(II)過點O分別作,,連接,,如圖：
由(I)知：,,
設,則,
∵,
∴,
即,
整理得：,
∵,O到的距離,
類比平面直角坐標系內(nèi)的幾何意義,
∴O的軌跡是一條射線,
故答案為：①；
(3)過O作,交于E,交于F,過O作于M,作于N,連接,,過B作于G,如圖：
由(II)知,,
,,
,
,
,,,
四邊形是矩形,
,,
,
,
小與相交且與相離,
,
,
即,
解得：.
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
相對身高
0
序號
9
10
11
12
13
14
15
16
相對身高
m

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