出題校：蘆臺(tái)一中寶坻一中
一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）
1.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（ ）.
A.B.C.D.
2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）.
A.B.C.D.
3.方程表示橢圓的充要條件是（ ）.
A.B.或
C.D.
4.若直線與平行，則的值為（ ）.
A.0B.2C.3D.2或3
5.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）.
A.B.
C.D.
6.已知圓，若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）.
A.B.C.D.3
7.如圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，，動(dòng)點(diǎn)在體對角線上，則頂點(diǎn)到平面距離的最大值為（ ）.
A.B.C.D.
8.已知直線與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A.B.2C.D.
9.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)滿足，且，則橢圓的離心率為（ ）
A.B.C.D.
二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）
10.已知，，.則_____.
11.直線過點(diǎn)（－1，2），且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線的方程為_____.
12.若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則_____.
13.點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則_____.
14.已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最小值為_____.
15.已知是橢圓上一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且.則的離心率為_____.
三、解答題（本題共75分）
16.（14分）直線過點(diǎn)且與直線垂直.
（1）求直線的方程；
（2）求圓心在直線上且過點(diǎn)、的圓的方程.
17.（15分）如圖，在四棱錐中，，，平面，底面為正方形，M，N分別為，的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
18.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，原點(diǎn)到直線的距離為2，求的面積的最大值.
19.（15分）如圖，四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.
20.（16分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且面積的最大值為.
（1）求的方程；
（2）直線交于，兩點(diǎn).
（i）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線的斜率為，證明：為定值；
（ii）若上存在點(diǎn)使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線的方程.
2024－2025年度上學(xué)期高一年級期中考試
數(shù)學(xué)參考答案
1.C因?yàn)椋?，所?
2.C因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，得，則，.
3.A由，得或，故“”是“”的充分不必要條件.
4.B設(shè)，則由，得，即，則得則，.
5.D設(shè)每束鮮花的售價(jià)降低元，則花店該品種鮮花的日銷售額，故當(dāng)，即每束鮮花的售價(jià)為34元時(shí)，花店該品種鮮花的日銷售額最大.
6.C由題可知的定義域?yàn)?，且，所以是奇函?shù)，排除A，B.當(dāng)時(shí)，，排除D.故選C.
7.B因?yàn)榈亩x域?yàn)椋栽谥?，，則，則在中，，則.又，所以的定義域?yàn)?
8.A由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
9.ABC空集是任何集合的子集，A正確.“有些三角形是等腰三角形”的否定為“所有的三角形都不是等腰三角形”，B正確.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故“”是“”的一個(gè)充分條件，C正確.取，則，，D不正確.
10.ACD因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為（1，2），所以整理得
則.由，解得
.由，解得，則.故選ACD.
11.AC由，得，則，整理得.令函數(shù)，則由，得，從而在上單調(diào)遞增，則，即，即，A正確，B不正確.因?yàn)?，所以，則，即，C正確.與的大小關(guān)系不確定，D不正確.
12.－2 若則或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，不符合集合元素的互異性.若則不符合集合元素的互異性.
13.（－5，4） 因?yàn)?，所以，則.
14.當(dāng)時(shí)，，.
當(dāng)時(shí)，.故對于任意，都有.
設(shè)，則，則
，從而.
15.解：（1）若，即，則，符合題意.
若，即，則由中恰有一個(gè)元素，得，
解得或.
綜上所述，的值構(gòu)成的集合為.
（2）由，得或，則.
若，符合，
則解得或.
若，則，解得，則，符合.
若，則，解得，則，不符合.
綜上所述，的取值范圍為.
16.（1）證明：.
因?yàn)?，所以?br>則，從而.
（2）解：因?yàn)?，所?br>.
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
17.解：（1）因?yàn)榕c分別是定義在上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，所以，
.
由①，得，
則②.
①－②得，則
從而.
（2）因?yàn)榕c均是增函數(shù)，所以也是增函數(shù).又，所以在上的值域?yàn)?
若，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)榕c在上的值域相同，所以解得
若，則為常數(shù)函數(shù)，顯然不符合題意.
若，則在上單調(diào)遞減.因?yàn)榕c在上的值域相同，所以解得
綜上所述，或
18.解：（1）因?yàn)椋?br>所以是偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，則由，得在上單調(diào)遞增.
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以由，得，
解得，故不等式的解集為.
（2）
若，則，則在（－1，0）和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由在上的最小值大于－3，得
解得；
若，則，，則在上單調(diào)遞增，
由在上的最小值大于－3，得，則.
綜上所述，的取值范圍為.
19.（1）證明：因?yàn)樵谏系钠骄兓蕿?，所以.
由，得，
從而，則.
（2）①證明：因?yàn)?，所?
又，所以，
則，從而.
，
因?yàn)?，所以，則，即.
又，所以，即.
②解：任取，則，即，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，由，得.
因?yàn)?，所以，解得?br>則，
則，
故的取值范圍為.

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