數(shù)學(xué)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分?考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效?考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回?
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在相應(yīng)位置?
2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚?
3.請按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效?
4.保持卡面清潔，不折疊，不破損?
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1.已知向量，，若，則m等于（ ）
A.B.C.2D.4
2.已知，，，經(jīng)過點(diǎn)C作直線l，若直線l與線段AB沒有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
3.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計(jì)算器產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時(shí)，表示設(shè)備一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺(tái)設(shè)備，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺(tái)設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：
412451312533224344151254424142
435414335132123233314232353442
據(jù)此估計(jì)一年內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備都不需要維修的概率為（ ）
A.0.4D.0.6
4.口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個(gè)小球，小球上面分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，3，3，從中任取兩個(gè)小球，則兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（ ）
A.B.C.D.
5.曲線C：的周長為（ ）
A.B.C.D.
6.某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.假設(shè)某新生通過考核選拔進(jìn)入“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為，m，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，則（ ）
A.，B.，C.，D.，
7.在長方體中，與平面ABCD所成的角為，與所成的角為，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）
A.B.C.D.
8.已知圓C：，P為直線l：上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，當(dāng)四邊形PACB的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（ ）
A.A與B不互斥且相互獨(dú)立B.A與D互斥且不相互獨(dú)立
C.B與D互斥且不相互獨(dú)立D.A與C不互斥且相互獨(dú)立
10.已知圓O：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的切線PM，PN（M，N為切點(diǎn)），則下列說法正確的有（ ）
A.直線AB的方程為B.線段AB的長為
C.直線MN過定點(diǎn)D.的最小值是1
11.在三棱錐P-ABC中，平面ABC，，平面ABC內(nèi)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是集合.已知，且在棱AB所在直線上，，2，則（ ）
A.動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是圓B.平面平面
C.三棱錐P-ABC體積的最大值為3D.三棱錐外接球的半徑不是定值
第Ⅱ卷
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知空間內(nèi)A，B，C，D四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若P為該平面外一點(diǎn)，，則 .
13.已知事件A與事件B相互獨(dú)立，若，，則 .
14.若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知圓C的圓心在直線上，且與y軸相切于點(diǎn).
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線l：交于A，B兩點(diǎn)，且 ，求m的值.
從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：
①；②.
注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
16.（本小題滿分15分）
某校田徑隊(duì)有3名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)的訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)：甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員100m跑（互不影響）的成績在13s內(nèi)（稱為合格）的概率分別是，，.若對這3名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m跑的成績進(jìn)行一次檢測.
（1）3名運(yùn)動(dòng)員都合格的概率與3名運(yùn)動(dòng)員都不合格的概率分別是多少？
（2）出現(xiàn)幾名運(yùn)動(dòng)員合格的概率最大？
17.（本小題滿分15分）
如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，為等邊三角形，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，且.
（1）證明：平面平面PBC.
（2）若F為AC的中點(diǎn)，求點(diǎn)C的平面BEF的距離.
18.（本小題滿分17分）
在梯形ABCD中，，，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，，，，如圖，以EF為軸將平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.
（1）若M為EC的中點(diǎn)，證明：平面ABC；
（2）證明：平面平面BCD；
（3）若N是線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，平面BNE與平面ABF夾角的余弦值為，求DN的長.
19.（本小題滿分17分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O為的內(nèi)切圓，其中，，.
（1）求圓O的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在直線AO上是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)Q，使得對圓O上任意一點(diǎn)P，都有（為常數(shù)）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及的值；若不存在，請說明理由.
2024-2025學(xué)年普通高中高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢
測數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
1.B
【解析】由，，，得.解得.
2.C
【解析】直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為，根據(jù)傾斜角定義，故選C.
3.C
【解析】由題意可知，代表事件“一年內(nèi)3臺(tái)設(shè)備都不需要維修”的數(shù)組有533，224，344，254，424，435，335，233，232，353，442，共11組.所以一年內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備都不需要維修的概率為.
4.A
【解析】記兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字1的小球分別為A，a，兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的小球分別為B，b，兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字3的小球分別為C，c.從中任取兩個(gè)小球的所有可能結(jié)果有Aa，AB，Ab，AC，Ac，aB，ab，aC，ac，Bb，BC，Bc，bC，bc，Cc，共15種情況，其中滿足兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的有BC，Bc，bC，bc，Cc，共5種情況.所以兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的概率為.
5.C
【解析】由，得，即，即或.所以曲線C表示兩個(gè)同心圓，且這兩個(gè)圓的半徑分別為，.所以曲線C的周長為.
6.A
【解析】依題意，得，解得.
7.D
【解析】因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.易知，則，，.因?yàn)?，的大小關(guān)系不確定，所以無法確定，的大小關(guān)系，則，的大小不確定，A錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所?因?yàn)?，均為銳角，所以也是銳角，則，即.
8.A
【解析】由，得圓C的圓心，半徑.因?yàn)椋运倪呅蜳ACB的面積.所以當(dāng)最小時(shí)，S也最小，此時(shí)，.故PC的方程為，即.聯(lián)立，，解得，，即.所以直線AB的方程為，化簡，得.
二、選擇題
9.ABD
【解析】因?yàn)锳與B可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不互斥，且兩者發(fā)生的概率互不影響，所以A與B不互斥且相互獨(dú)立，A正確.因?yàn)楫?dāng)A發(fā)生時(shí)，兩次點(diǎn)數(shù)之和不超過8，所以D不可能發(fā)生，即A與D不可能同時(shí)發(fā)生.所以A與D互斥.又因?yàn)锳不發(fā)生時(shí)，D有可能發(fā)生，所以A發(fā)生與否影響D發(fā)生的概率.所以A與D不相互獨(dú)立，B正確.同理可得，B與D也不相互獨(dú)立.因?yàn)锽與D可能同時(shí)發(fā)生（如第一次拋出5點(diǎn)，第二次拋出4點(diǎn)），所以它們不互斥，C錯(cuò)誤.顯然A與C可能同時(shí)發(fā)生，所以兩者不互斥.因?yàn)锳發(fā)生與否都有，所以A與C相互獨(dú)立，D正確.
10.BCD
【解析】聯(lián)立，兩式相減，得即為直線AB的方程，A錯(cuò)誤.聯(lián)立，得或，則，B正確.設(shè)，.因?yàn)镸，N為圓O的切點(diǎn)，所以直線PM的方程為，直線PN的方程為.設(shè)，則，所以直線MN的方程為.又因?yàn)?，所?由，得，即直線MN過定點(diǎn)，C正確.因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小，且的最小值為，所以此時(shí)，D正確.
11.ABC
【解析】對于A，在平面ABC內(nèi)，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，則，.又，所以，即，則點(diǎn)D的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，A正確.
圖1
對于B，由A的分析可知，為圓的直徑，又點(diǎn)C在圓上，所以.如圖2，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面，B正確.
圖2
對于C，點(diǎn)P到平面ABC的距離確定了，AB的長度確定了，所以當(dāng)點(diǎn)C到直線AB的距離最大時(shí)，三棱錐P-ABC的體積最大.顯然點(diǎn)C到直線AB的距離的最大值為2，此時(shí)三棱錐P-ABC的體積，C正確.
對于D，因?yàn)槠矫妫矫?，平面兩兩相互垂直，所以可以將三棱錐補(bǔ)成直四棱柱，易知直四棱柱的外接球即三棱錐的外接球，直四棱柱的外接球直徑等于.因?yàn)?，，所以三棱錐外接球的半徑是定值，D錯(cuò)誤.
三、填空題
12.
【解析】由，解得.
【解析】因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，所以事件與事件B相互獨(dú)立.因?yàn)?，，所?所以.
14.
【解析】圓半徑，圓心到直線的距離為.因?yàn)橹本€與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，解得.所以.
四、解答題
15.
（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為r.
由圓C的圓心在直線上，得.
因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)，所以，，則.
所以圓C的圓心坐標(biāo)為，則圓C的方程為.
（2）如果選擇條件①：，而，
所以圓心C到直線l的距離.解得或.
如果選擇條件②：，而，
所以圓心C到直線l的距離，則.解得或.
16.設(shè)甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員100m跑合格分別為事件A，B，C，顯然A，B，C相互獨(dú)立，且，，，，，.
設(shè)恰有k名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為（，1，2，3）.
（1）3名運(yùn)動(dòng)員都合格的概率為
.
3名運(yùn)動(dòng)員都不合格的概率為
.
（2）2名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為
.
1名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為
.
因?yàn)椋?br>所以出現(xiàn)2名運(yùn)動(dòng)員合格的概率最大.
17.
（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，D，O分別是BP，BC的中點(diǎn)，且，所以，.
又，所以，即.
又因?yàn)椋?，所以平面PBC.
又平面ABC，所以平面平面PBC.
（2）連接PO，則P.由（1）可知，平面平面PBC.
所以平面ABC.
因?yàn)镕為AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離等于點(diǎn)A到平面BEF的距離.
在直角中，可知，
在直角中，可知，
因?yàn)镋F是的中位線，
所以，
的面積.
設(shè)點(diǎn)A到平面BEF的距離為d，則三棱錐A-BEF的體積.
又的面積，點(diǎn)E到平面ABF的距離為，
所以三棱錐E-ABF的體積.
由，得.
所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為.
18.
（1）由，，得，.因?yàn)镸為EC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，，所以，且.所以四邊形BCMF為平行四邊形.所以.
而平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.
（2）因?yàn)槠矫嫫矫鍮CEF，平面平面，
，所以平面BCEF.
又平面BCEF，所以.
由，，，得.
又，所以平面DEB.
又平面BCD，
所以平面平面BCD.
（3）由（2），得EF，EC，ED兩兩相互垂直，則可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
則.
設(shè)（），則.
設(shè)平面BNE的法向量為.
由，
令，得.
易知平面ABF的法向量為.
所以，
解得，此時(shí)，
所以，即DN的長為.
19.
（1）由，，
得直線BC的方程為.
因?yàn)閳AO與線段BC相切，
所以圓O的半徑，則圓O的方程為.
由與線段AC相切，
得線段AC的方程為，即.
又與線段AB也相切，
所以線段AB的方程為，即.
所以.
（2）設(shè)，，
則，.
假設(shè)在直線AO上存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)Q，使得對圓O上任意一點(diǎn)P，都有（為常數(shù)），等價(jià)于對圓O上任意點(diǎn)恒成立，即.
整理，得
.
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線AO上，所以.
因?yàn)镻在圓O上，所以.
所以對任意恒成立.
所以，.
顯然，所以，則.
因?yàn)?，所以?
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)Q，A重合，舍去.
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述，存在滿足條件的定點(diǎn)，
此時(shí).

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