考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分
命題校：瓦房店市高級(jí)中學(xué)、葫蘆島一高中
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
2.若，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A.B.C.D.
3.由一組樣本數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，那么下列說法正確的是（ ）
A.若相關(guān)系數(shù)越小，則兩組變量的相關(guān)性越弱
B.若越大，則兩組變量的相關(guān)性越強(qiáng)
C.回歸直線方程至少經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)
D.在回歸直線方程中，當(dāng)變量每增加1個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)的觀測(cè)值約增加個(gè)單位
4.已知，則（ ）
A.B.C.D.
5.數(shù)列中，已知對(duì)任意自然數(shù)，則等于（ ）
A.B.C.D.
6.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A.B.C.[0，1]D.
7.已知為的外心，，則的面積為（ ）
A.5B.C.D.6
8.已知函數(shù)的表達(dá)式為，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（ ）
A.不共線，且，則.
B.若向量，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C.已知，則在上的投影的坐標(biāo)為
D.已知點(diǎn)為的垂心，則
10.為加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，某中學(xué)積極組織學(xué)生參加課外體育活動(dòng).現(xiàn)操場(chǎng)上甲、乙兩人玩投籃游戲，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則繼續(xù)投籃，若未投中，則換另一人投籃.假設(shè)甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由擲兩枚硬幣的方式確定第一次投籃的人選（一正一反向上是甲投籃，同正或同反是乙投籃），以下選項(xiàng)正確的是（ ）
A.第一次投籃的人是甲的概率為
B.已知第二次投籃的人是乙的情況下，第一次投籃的人是甲的概率為
C.第二次投籃的人是甲的概率為
D.設(shè)第次投籃的人是甲的概率為，則
11.已知，則（ ）
A.的最大值是B.的最小值是
C.的最大值是-1D.的最小值是-2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：90，88，87，83，81，80，78，72，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是_____________.
13.已知，且，則_____________.
14.設(shè)，若時(shí)均有，則_____________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）
已知函數(shù).
（1）化簡(jiǎn):；
（2）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱中心;
（3）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
16.（15分）
在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是已知向量，，滿足.
（1）求;
（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍;
（3）若角的平分線交邊BC于點(diǎn)，求面積的最小值.
17.（15分）
中國(guó)共產(chǎn)黨第二十屆中央委員會(huì)第三次全體會(huì)議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會(huì)提出，中國(guó)式現(xiàn)代化是物質(zhì)文明和精神文明相協(xié)調(diào)的現(xiàn)代化.必須增強(qiáng)文化自信，發(fā)展社會(huì)主義先進(jìn)文化，弘揚(yáng)革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加快適應(yīng)信息技術(shù)迅猛發(fā)展新形勢(shì)，培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊(duì)伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學(xué)校舉辦了“傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”宣傳活動(dòng)，學(xué)校從全體學(xué)生中抽取了100人對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（2）是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別有關(guān);
（3）若把上表中的頻率視作概率，現(xiàn)從了解該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽.記抽取的3人中女生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差.
附:，其中
18.（17分）
已知函數(shù)，數(shù)列滿足
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求;
（3）對(duì)于（2）中的，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
19.（17分）
法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個(gè)定理，具體如下.如果函數(shù)滿足如下條件：①在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)的；②在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo).則在開區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，人們稱此定理為“拉格朗日中值定理”.
（1）已知且，
（i）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（ii）當(dāng)時(shí)，求證：.
（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，記作，若，證明：
2024-2025學(xué)年度（上）七校協(xié)作體11月高三聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案
一、單選：ABDACBCB
二、多選：9.BD10.BCD11.AD
三、填空：12.87.513.2或6414.
四、解答：
15.（1）
.……………………（4分）
，
所以的最小正周期；…………………………（7分）
令，得，即圖象的對(duì)稱中心為.
………………………………………………………………………………（9分）
（3）令，得，
令，得；令，得，
所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.
16.解：（1）由得：
，
再由正弦定理角化邊得:，
再由余弦定理得:，
又因?yàn)?，所?……………………………………………………………………（3分）
（2）由正弦定理及（1）得，
.
因此，周長(zhǎng)的取值范圍是.…………………………………………（9分）
（3）由，又因?yàn)?，角的平分線交邊BC于點(diǎn)，
所以有:，整理得:，
由基本不等式得:，所以有:，且時(shí)取等號(hào)，
即，
即面積的最小值為.………………………………………………（15分）
17.解：（1）由題得列聯(lián)表如下：
………………………………………………………………………………………（3分）
（2）由（1）可得，
所以沒有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別有關(guān).………………（8分）
（3）由（1）可知抽取的100名學(xué)生中了解該活動(dòng)的學(xué)生男生和女生分別為40人和20人，所以從了解該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽，抽取的是女生的概率為，……（9分）
則由題意可知，且，
所以，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為
……………………………………………………………………………………………………（13分）
所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.………………………………………（14分）
隨機(jī)變量的方差為……………………………………（15分）
18.解:（1）因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則有；……………………………………（4分）
（2）由（1）可知:，
所以;……（8分）
（3）由（2）可知:，
所以由，
因?yàn)椋?br>所以由，……………………………………………………（11分）
設(shè)，由，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，………………（14分）
，
于是有時(shí)，，
所以，因此，
存在，使得成立，則有，
因此實(shí)數(shù)的最大值為.……………………………………………………………………（17分）
19.（1）（i）解:法一:由，且化簡(jiǎn)得，即，
令，可知在上單調(diào)遞增，
則在上恒成立，即在上恒成立，
令，顯然在上單調(diào)遞減，
所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.……………………………（4分）
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故問題轉(zhuǎn)化為恒成立.
又，則恒成立，即恒成立，
因?yàn)椋?br>故令，顯然在上單調(diào)遞減，
所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為……（4分）
（ii）證明：要證，即證，
即證，
又，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
，
.
由題意知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，故，
即，所以命題得證.…………………………（8分）
（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，即方程有2個(gè)根.
令，
所以在上單調(diào)遞增，且，即方程有2個(gè)根，且這兩根即為方程的根，…………………………………………（11分）
所以，則，則由，得，所以，則，
要證，即證，…………………………………………（12分）
又，令，
令，
又，所以，故在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，故在上單調(diào)遞減，所以，
即，
即，所以不等式得證.………………………………………………（17分）男
女
合計(jì)
了解
20
不了解
20
40
合計(jì)
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男
女
合計(jì)
了解
40
20
60
不了解
20
20
40
合計(jì)
60
40
100
0
1
2
3

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