第五單元專練篇·05：半徑直徑與周長面積的三種關(guān)系問題2024-2025學年六年級數(shù)學上冊典型例題系列（原卷版+解析版）人教版-試卷下載-教習網(wǎng)

專項練習一：比例關(guān)系
1．小圓直徑8厘米，大圓半徑6厘米，小圓和大圓直徑之比是( )；小圓和大圓周長比是( )；小圓和大圓的面積比是( )。
【答案】 2∶3 2∶3 4∶9
【分析】根據(jù)d＝2r，先求出大圓的直徑，然后寫出比，化簡比即可；根據(jù)兩個圓的直徑比＝周長比，面積比＝直徑比的平方，據(jù)此直接寫出比即可。
【詳解】根據(jù)分析：
直徑比和周長比：8∶（6×2）＝8∶12＝2∶3
面積比：（2×2）∶（3×3）＝4∶9
所以，小圓直徑8厘米，大圓半徑6厘米，小圓和大圓直徑之比是（2∶3）；小圓和大圓周長比是（2∶3）；小圓和大圓的面積比是（4∶9）。
【點睛】此題考查了圓的周長以及面積計算，關(guān)鍵熟記：兩個圓的直徑比＝周長比，面積比＝直徑平方的比。
2．兩圓的半徑之比，它們的面積之比是( )，周長之比是( )。
【答案】 9∶25 3∶5
【分析】圓的周長，圓的面積，根據(jù)圓的周長和面積公式可知，兩圓的面積之比等于半徑的平方之比，兩圓的周長之比等于半徑之比，據(jù)此解答即可。
【詳解】兩圓的半徑之比 3:5 ，它們的面積之比是9∶25，周長之比是3∶5。
【點睛】本題考查比、圓的周長和面積，解答本題的關(guān)鍵是掌握圓的周長和面積計算公式。
3．大圓與小圓的半徑之比是5∶3，則大圓與小圓的周長比是( )，小圓與大圓的面積比是( )。
【答案】 5∶3 9∶25
【分析】已知大圓與小圓的半徑之比是5∶3，可以把大圓和小圓的半徑分別看作5和3，然后根據(jù)圓的周長公式C＝2πr，圓的面積公式S＝πr2，分別求出大圓和小圓的周長和面積，再根據(jù)比的意義，寫出它們的周長比、面積比，并化簡。
【詳解】設(shè)大圓的半徑為5，小圓的半徑為3；
大圓與小圓的周長比是：
（2π×5）∶（2π×3）＝5∶3
小圓與大圓的面積比是：
（π×32）∶（π×52）＝9∶25
所以，大圓與小圓的周長比是5∶3，小圓與大圓的面積比是9∶25。
【點睛】本題考查比的意義以及圓的周長、圓的面積公式的運用，明確兩個圓的周長比等于它們的半徑比，兩個圓的面積比等于它們半徑的平方比。
4．有A、B兩個圓，A圓的半徑是，B圓的半徑是，A、B兩圓的周長之比是( )，面積之比是( )。
【答案】 5∶3 25∶9
【分析】分別計算二者的周長和面積，然后求出周長比和面積比。
【詳解】A圓周長：
B圓周長：
周長比：
A圓面積：
B圓面積：
面積比：
【點睛】兩個圓的半徑比、直徑比、周長比相等，面積比是半徑的平方比。
5．大圓的半徑與小圓的半徑之比是3：2，那么大圓周長與小圓周長的比是( )，小圓面積與大圓面積之比是( )。
【答案】 3：2 4：9
【解析】略
6．大圓與小圓的半徑之比是5∶2，它們的周長之比是( )，面積之比是( )。
【答案】 5∶2 25∶4
【分析】大圓小圓的周長比等于半徑之比；面積之比等于半徑之比的平方。
【詳解】由分析得：
周長之比＝5∶2；
面積之比＝52∶22＝25∶4
【點睛】如果對于分析中的結(jié)論有疑問，可依據(jù)圓的周長公式、面積公式，將半徑之比代入，就能夠推導(dǎo)出正確的結(jié)論。
7．兩個圓的半徑之比是1︰4，那么它們的直徑之比是( )，周長之比是( )，面積之比是( )。
【答案】 1∶4 1∶4 1∶16
【分析】設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為4r，分別代入圓的直徑、周長和面積公式，表示出各自的直徑、周長和面積，即可求解。
【詳解】設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為4r
小圓的直徑2r
大圓的直徑2×4r＝8r
直徑比：2r∶8r＝1∶4
小圓的周長＝2πr
大圓的周長＝2π×4r＝8πr
周長比：2πr∶8πr＝1∶4
小圓的面積＝πr2
大圓的面積＝π（4r）2＝16πr2
面積比：πr2∶16πr2＝1∶16
那么它們的直徑之比是1∶4，周長之比是1∶4，面積之比是1∶16。
【點睛】此題主要考查圓的直徑、周長和面積的計算方法的靈活應(yīng)用。
8．下圖中大圓和小圓的半徑之比是( )，陰影部分和空白部分的面積之比是( )。
【答案】 2∶1 3∶1
【分析】假設(shè)出小圓的半徑，大圓的半徑等于小圓的直徑，根據(jù)比的意義求出大圓和小圓的半徑之比，利用“”求出大圓和小圓的面積，陰影部分的面積＝大圓的面積－小圓的面積，最后根據(jù)比的意義求出陰影部分和空白部分的面積比，據(jù)此解答。
【詳解】假設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為2r。
大圓的半徑∶小圓的半徑＝2r∶r＝2∶1
陰影部分的面積：×（2r）2－r2
＝4r2－r2
＝3r2
空白部分的面積：r2
陰影部分的面積∶空白部分的面積＝3r2∶r2＝3∶1
所以，大圓和小圓的半徑之比是2∶1，陰影部分和空白部分的面積之比是3∶1。
【點睛】掌握比的意義和圓的面積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。
9．如果大圓的直徑是3厘米，小圓的直徑是1厘米，那么小圓與大圓的半徑之比是( )；直徑之比是( )；周長之比是( )；面積之比是( )。
【答案】 1∶3 1∶3 1∶3 1∶9
【分析】根據(jù)圓的半徑＝圓的直徑÷2，分別求出小圓和大圓的半徑，進而求出它們的比；用小圓的直徑比上大圓的直徑即可；再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，圓的周長公式：C＝πd，據(jù)此求出圓的面積和周長，進而求出它們的周長之比和面積之比。
【詳解】（1÷2）∶（3÷2）
＝0.5∶1.5
＝（0.5×10）∶（1.5×10）
＝5∶15
＝（5÷5）∶（15÷5）
＝1∶3
π∶3π
＝（π÷π）∶（3π÷π）
＝1∶3
12π∶32π
＝π∶9π
＝（π÷π）∶（9π÷π）
＝1∶9
則小圓與大圓的半徑之比是1∶3；直徑之比是1∶3；周長之比是1∶3；面積之比是1∶9。
【點睛】本題考查圓的周長和面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。
10．甲、乙兩個圓的面積之和是500平方厘米，甲、乙兩個圓的半徑之比是4∶3，甲的面積是( )，乙的面積是( )。
【答案】 320 180
【分析】根據(jù)題意，甲、乙兩個圓的半徑之比是4∶3，根據(jù)圓的面積公式可知：兩個圓的半徑平方比等于圓的面積比，則是（42）∶（32）＝16∶9；即把圓的面積分成16＋9＝25份，用甲、乙兩個圓的面積之和除以總份數(shù)，求出1份，進而求出甲圓的面積和乙圓的面積。
【詳解】（42）∶（32）＝16∶9
16＋9＝25（份）
500÷25×16
＝20×16
＝320（平方厘米）
500÷25×9
＝20×9
＝180（平方厘米）
甲、乙兩個圓的面積之和是500平方厘米，甲、乙兩個圓的半徑之比是4∶3，甲的面積是320平方厘米，乙的面積是180平方厘米。
【點睛】解答本題的關(guān)鍵是求出兩個圓半徑的平方比，進而利用按比例分配的計算方法進行解答。
專項練習二：倍數(shù)關(guān)系
11．如圖大圓的半徑等于小圓的直徑，那么，大圓的周長是小圓的( )倍，而小圓的面積又是大圓的．
【答案】2；
【解析】略
12．小圓直徑為6厘米，大圓半徑為6厘米，大圓面積是小圓面積的( )倍。
【答案】4
【解析】略
13．一個圓的周長擴大5倍，直徑擴大( )倍，面積擴大( )。
【答案】 5 25
【詳解】略
14．下圖中，大圓周長是小圓周長的（）倍，小圓面積是大圓面積的。
【答案】2；
【分析】假設(shè)小圓的直徑為2d，則大圓的直徑為4d，再根據(jù)“C＝πd”、“S＝πr2”分別求出兩個圓的周長和面積，進而解答即可。
【詳解】假設(shè)小圓的直徑為2d，則大圓的直徑為4d；
小圓周長：2dπ；
大圓周長：4dπ；
4dπ÷2dπ＝2；
小圓面積：π（2d÷2）2＝πd2；
大圓面積：π（4d÷2）2＝4πd2；
πd2÷4πd2＝
【點睛】本題采用了假設(shè)法，假設(shè)法使題目變得具體化，簡單化。一定要熟練掌握圓的周長和面積公式。
15．一個圓的直徑是16厘米，如果把它的直徑擴大到原來的3倍，面積會擴大到原來的( )倍。
【答案】9
【分析】依據(jù)S＝πr2，分別求出原來圓的面積和擴大后圓的面積，再相除即可解答。
【詳解】原來圓的面積π×2＝64π
擴大后圓的面積π×2＝576π
576π÷64π＝9
面積會擴大到原來的9倍。
【點睛】一個圓，如果把它的直徑（半徑）擴大到原來的a倍，面積會擴大到原來的a2倍。
16．圓的周長是直徑的( )倍．一個圓的半徑擴大2倍，周長擴大( )倍，面積擴大( )倍．
【答案】 π 2 4
【解析】略
17．甲圓的半徑是乙圓半徑的，那么甲圓的周長是乙圓的，乙圓面積是甲圓的________倍。
【答案】 16
【詳解】根據(jù)圓的周長和面積公式可知，圓的周長公式：C=2πr，圓的面積公式：S=πr2 ，甲、乙兩個圓的半徑之比是x：y，則甲、乙兩個圓周長的最簡整數(shù)比是x：y，甲、乙兩個圓的面積的最簡整數(shù)比是x2：y2 ，據(jù)此解答。
18．如果大圓的半徑等于小圓的直徑，則大圓半徑是小圓半徑的倍。小圓的面積是大圓面積的。
【答案】2；
【詳解】設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為2r，
2r÷r＝2
小圓面積：大圓面積
＝πr2∶[π×（2r）2]
＝πr2∶[4πr2]
＝1∶4；
如果大圓的半徑等于小圓的直徑，則大圓半徑是小圓半徑的2倍，小圓的面積是大圓面積的。
故答案為2、。
19．一個圓的直徑擴大到原來的4倍，它的周長擴大到原來的( )倍，它的面積擴大到原來的( )倍。
【答案】 4 16
【分析】假設(shè)出原來圓的直徑，利用“”表示出原來和現(xiàn)在圓的周長，利用“”表示出原來和現(xiàn)在圓的面積，最后求出圓的周長和面積擴大的倍數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】假設(shè)原來圓的直徑是4厘米。
4×4＝16（厘米）
周長：＝4
面積：
＝
＝
＝16
所以，一個圓的直徑擴大到原來的4倍，它的周長擴大到原來的4倍，它的面積擴大到原來的16倍。
【點睛】掌握圓的周長和面積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。
20．用圓規(guī)畫一個周長31.4厘米的圓，圓規(guī)兩腳尖之間的距離是( )厘米。如果這個圓的半徑擴大到原來的2倍，那么它的周長擴大到原來的( )倍，面積擴大到原來的( )倍。
【答案】 5 2 4
【分析】半徑?jīng)Q定圓的大小，根據(jù)圓的周長公式：C＝2，那么r＝C÷÷2，據(jù)此求出半徑，因為圓周率一定，所以圓的周長與半徑成正比例，圓的半徑擴大到原來的幾倍，圓的周長就擴大到原來的幾倍；圓的面積的比等于半徑平方的比。據(jù)此解答。
【詳解】31.4÷3.14÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
根據(jù)分析得，如果這個圓的半徑擴大到原來的2倍，那么它的周長擴大到原來的2倍，面積擴大到原來的2×2＝4倍。
【點睛】此題主要考查圓的周長公式、面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。
專項練習三：增長變化關(guān)系
21．用籬笆圍一塊半徑4m的圓形地，這塊地的面積是( )m2；如果把這塊地的半徑增加1m，需要增加籬笆長( )m。
【答案】 50.24 6.28
【分析】由題可知，籬笆圍了一塊圓形地，根據(jù)圓的面積＝πr2，代入數(shù)據(jù)，求出面積即可；再根據(jù)圓的周長＝2πd，計算半徑增加1m后圓的周長，求出大圓和小圓的周長之差即可。
【詳解】3.14×4×4
＝12.56×4
＝50.24（m2）
這塊地的面積是50.24m2；
3.14×4×2
＝12.56×2
＝25.12（m）
3.14×（4＋1）×2
＝3.14×5×2
＝15.7×2
＝31.4（m）
31.4－25.12＝6.28（m）
需要增加籬笆長6.28m。
【點睛】熟練掌握圓的面積和周長計算公式是解題的關(guān)鍵。
22．一個圓形游樂園的直徑是12米。后來對游樂園進行擴建，半徑增加1米，面積增加了( )平方米。
【答案】40.82
【分析】先用直徑12米，根據(jù)公式：S＝（d÷2）2π，計算出原來面積；再求出擴建后的半徑長度，再根據(jù)面積積公式：S＝πr2，計算出新的面積，最后用兩個面積相減即可求出增加的面積；據(jù)此解答。
【詳解】12÷2＝6（米）
62×3.14
＝36×3.14
＝113.04（平方米）
6＋1＝7（米）
72×3.14－113.04
＝153.86－113.04
＝40.82（平方米）
所以，面積增加了40.82平方米。
【點睛】此題考查了圓的面積計算，關(guān)鍵熟記計算公式。
23．一個圓的半徑是6厘米，它的周長增加18.84厘米后，面積增加了( )平方厘米。
【答案】141.3
【分析】根據(jù)圓的半徑計算出原來圓的周長，現(xiàn)在圓的周長＝原來圓的周長＋18.84厘米，求出現(xiàn)在圓的半徑，最后利用求出增加部分的面積，據(jù)此解答。
【詳解】（3.14×6×2＋18.84）÷3.14÷2
＝（18.84×2＋18.84）÷3.14÷2
＝（37.68＋18.84）÷3.14÷2
＝56.52÷3.14÷2
＝18÷2
＝9（厘米）
3.14×（92－62）
＝3.14×（81－36）
＝3.14×45
＝141.3（平方厘米）
所以，面積增加了141.3平方厘米。
【點睛】掌握圓的周長和環(huán)形的面積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。
24．一個圓形花圃周長是18.84米，現(xiàn)在要擴建，將半徑增加2米，花圃的面積增加( )m2。
【答案】50.24
【分析】先求出內(nèi)圓的半徑，加上環(huán)寬，就是外圓的半徑，再利用圓環(huán)的面積公式：即可得解。
【詳解】（米），3＋2＝5（米）
（平方米）
【點睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握圓環(huán)的面積計算方法。
25．一個半徑是3m的圓形花壇，改造后半徑增加1m，那么花壇面積增加( )。
【答案】21.98
【分析】圓的面積計算公式：S＝。改造后半徑為4m，改造后的面積減去原面積就是增加的面積。
【詳解】3＋1＝4（m）
3.14×42－3.14×32
＝3.14×16－3.14×9
＝50.24－28.26
＝21.98（m2）
【點睛】本題關(guān)鍵要掌握外圓的面積減去內(nèi)圓的就是圓環(huán)的面積，也就是增加的面積。
26．一個圓的半徑由2cm增加到3cm，周長增加( )cm，面積增加( )cm2。
【答案】 6.28 15.7
【分析】圓的面積＝，圓的周長＝，據(jù)此解答即可。
【詳解】周長增加：2×3.14×（3－2）
＝6.28×1
＝6.28（厘米）
面積增加：3.14×（32－22）
＝3.14×5
＝15.7（平方厘米）
【點睛】本題考查圓的周長、面積，解答本題的關(guān)鍵是掌握圓的面積和周長計算公式。
27．一個圓形花壇的周長是18.84米，現(xiàn)在把它的半徑增加1倍，這個花壇面積增加( )平方米。
【答案】84.78
【分析】根據(jù)“r＝c÷π÷2”求出原來的半徑，進而求出增加1倍后的半徑，再根據(jù)“s＝πr2”求出圓的前后面積，再相減。
【詳解】18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
3.14×（3＋3）2－3.14×32
＝3.14×36－3.14×9
＝84.78（平方米）
【點睛】熟練掌握圓的周長和面積公式是解答本題的關(guān)鍵。
28．兩個大小不一的圓，直徑都增加1，他們周長和面積的比始終不變。( )
【答案】×
【分析】假設(shè)兩個圓的直徑分別為2和3，變化后直徑分別為3和4，分別求出前后的周長和面積比，進行判斷。
【詳解】假設(shè)兩個圓的直徑分別為2和3，變化后直徑分別為3和4；
原來兩個圓的周長比為：2π∶3π＝2∶3；
后來兩個圓的周長比為：3π∶4π＝3∶4，周長比發(fā)生變化；
原來兩個圓的面積比為（2÷2）2π∶（3÷2）2π＝4∶9；
后來兩個圓的面積比為（3÷2）2π∶（4÷2）2π＝9∶16，面積比也發(fā)生變化；
故答案為：×。
【點睛】本題采用了假設(shè)法，使題目具體化，簡單化，熟記圓的周長和面積公式。
29．一個圓直徑由5厘米增加到10厘米，周長增加( )厘米，面積增加( )厘米2。
【答案】 15.7 235.5
【分析】（1）圓的周長計算公式是C＝2πr，如果半徑增加n厘米，根據(jù)周長的計算公式可知周長增加2nπ，列式進行計算即可；
（2）根據(jù)題意可知，增加的部分是環(huán)形，由環(huán)形的面積＝外圓面積－內(nèi)圓面積．把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】（1）3.14×2×（10－5）
＝3.14×5
＝15.7（厘米）
（2）3.14×（102－52）
＝3.14×（100－25）
＝3.14×75
＝235.5（平方厘米）
【點睛】本題考查圓的周長、面積的計算，解答此題應(yīng)注意在圓中，如果是圓的半徑增加n，則其周長增加2nπ，周長增加的值與原來圓的半徑大小無關(guān)。
30．一個圓的半徑是3厘米，它的面積是( )平方厘米，如果它的半徑增加2厘米，那么它的面積增加( )平方厘米。
【答案】 28.26 50.24
【分析】根據(jù)“s＝πr2”求出圓的面積；由題意可知，求面積增加多少平方厘米就是求圓環(huán)的面積，先求出大圓的半徑，即3＋2，再根據(jù)“S環(huán)形＝π（R2－r2）”進行解答即可。
【詳解】3.14×32＝28.26（平方厘米）；
3＋2＝5（厘米）；
3.14×（52－32）
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
【點睛】熟練掌握圓和圓環(huán)的面積公式是解答本題的關(guān)鍵。

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