1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．的虛部為（ ）
A．1B．iC．3D．
2．已知集合，，若，則（）
A．3B．2C．1或2D．1
3．“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．若是函數(shù)的極值點(diǎn)．則（）
A．－4B．－2C．D．
5．盧卡斯數(shù)列滿足，．且的前6項(xiàng)和．則（）
A．29B．47C．76D．123
6．如圖，某圓臺(tái)形臺(tái)燈燈罩的上、下底面圓的半徑分別為5cm，12cm，高為17cm，則該燈罩外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，若直線：上存在點(diǎn)M，使得，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．人均國內(nèi)生產(chǎn)總值是人們了解和把握一個(gè)國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況的有效工具．即“人均GDP”．常作為發(fā)展經(jīng)濟(jì)學(xué)中衡量經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的指標(biāo)．是最重要的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)之一．在國家統(tǒng)計(jì)局的官網(wǎng)上可以查詢到我國2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：元）的數(shù)據(jù)，如圖所示．則（ ）
A．2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增
B．2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為42201
C．這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是71828
D．這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的平均數(shù)不小于59592
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)．B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
11．已知函數(shù)．且，，則下列說法正確的是（ ）
A．在上單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象
D．若，，則
12．已知正方體的棱長為2，P是正方體所在空間內(nèi)一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則的最小值為
B．若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為
C．若，則三棱錐的表面積為
D．若，則直線與BP所成角的最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．從2名男生，4名女生中任選3人參加活動(dòng)，則男生、女生都有人被選中的選法共有______種．（用數(shù)字作答）
14．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為______．
15．已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則______．
16．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于A，B兩點(diǎn)．若的面積是面積的2倍，則的離心率為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）
在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
18．（12分）
如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是菱形，是正三角形，，是AB的中點(diǎn)．
（1）證明：．
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）
的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角的值；
（2）若的面呮為，邊上的中線長為1，求的值．
20．（12分）
某公司有A，B，C，D，E五輛汽車，其中A車的車牌尾號(hào)為1，B車的車牌尾號(hào)為2，C車的車牌尾號(hào)為5，D車的車牌尾號(hào)為9，E車的車牌尾號(hào)為8．已知在車輛限行日，車輛禁止出車，在非車輛限行日，每輛車都有可能出車或不出車，且A，B，C三輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為，D，E兩輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為，且五輛汽車是否出車相互獨(dú)立．該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：
（1）求星期三該公司恰有兩輛車出車的概率；
（2）求星期一該公司出車數(shù)量的分布列和期望．
21．（12分）
已知拋物線：的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，其中，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與相交于P，Q兩點(diǎn)，若，求的值．
22．（12分）
已知函數(shù)，．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
高三數(shù)學(xué)考試卷參考答案
1．C ，虛部為3．
2．D 因?yàn)椋?，或．?dāng)時(shí)，，集合B中的元素滿足互異性，符合條件．當(dāng)時(shí)，，集合B的元素不滿足互異性，不符合條件．當(dāng)時(shí)，，，集合B的元素不滿足互異性，不符合條件．
3．A 若曲線表示雙曲線，則，解得或．故“”是“曲線表示雙曲線”的充分不必要條件．
4．D ，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，知當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)，則．
5．C 設(shè)，則，，，，，則，即，則，，，．
6．B 如圖，燈罩的軸截面為等腰梯形ABCD，其中，分別是燈罩上、下底面圓的圓心，是燈罩外接球的球心，則，，，設(shè)，則，解得，則燈罩外接球的半徑，體積．
7．B 設(shè)，由，可得，整理得，則直線：與圓有公共點(diǎn)，則，即，解得或．
8．A ，則，，則．因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕?，，所以，故?br>9．ABD 由圖可知，2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，A正確．2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為，B正確．因?yàn)?，所以這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的分位數(shù)是，C不正確．由圖中數(shù)據(jù)分析可知，這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的平均數(shù)不小于，D正確．
10．BC ，令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．故．當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．
故選BC．
11．BCD ，其中．因?yàn)椋?，所以，，則，，，．當(dāng)時(shí)，，不單調(diào)，A不正確．
當(dāng)時(shí)，，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確．
，所以將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，C正確．
，則．因?yàn)椋裕?br>由，得，所以，，D正確．
12．ABD 對(duì)于A選項(xiàng)，在AB上取點(diǎn)H（圖略），使得，在CD上取點(diǎn)K，使得，則由，得，即，故P是線段HK上一點(diǎn)．將平面沿HK展開至與平面AHKD共面，此時(shí)，當(dāng)，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，由，可知P是線段BD上一點(diǎn)．連接AC并與BD交于點(diǎn)Z（圖略）．當(dāng)P與D重合時(shí)，平面與平面重合，不符合題意．當(dāng)P在線段DZ（不含點(diǎn)D）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)P與Z重合時(shí)，截面面積最大，最大值為．當(dāng)P在線段BZ（不含點(diǎn)B，Z）上時(shí)，延長AP并與BC交于點(diǎn)W，作并與交于點(diǎn)R（圖略），則截面為等腰梯形，設(shè)，則，．梯形的高，面積為．當(dāng)P與B重合時(shí)，截面為矩形，面積為．
故平面截正方體所得截面積的最大值為，B正確．
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以P為的中點(diǎn)，三棱雉的表面積為，C不正確．對(duì)于D選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，．因?yàn)?，所以，所以直線與BP所成角的最小值為，D正確．
13．16 由題可知，男生、女生都有人被選中的選法共有種．
14．或因?yàn)椋?，則，，則與的夾角為．
15．－1 因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且，所以，故是以8為周期的函數(shù)，則．令，則，則，所以，即．
16．如圖，由的面積是面積的2倍，可得，
不妨設(shè)，，，則，．
在中，由，得，
整理得．
在中，由，
得，整理得，則，
整理得，即．故的離心率為．
17．解：（1）設(shè)的公比為，則．
由，，得，解得．
，則，
故．
（2）由（1）可知，
則是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故．
18．（1）證明：取AD的中點(diǎn)，連接EF，PF，BD，因?yàn)槭钦切?，所以?br>又平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD．
因?yàn)槠矫鍭BCD，所以．
因?yàn)槭茿B的中點(diǎn)，所以．
又底面ABCD是菱形，所以，從而．
因?yàn)?，所以平面PEF．
因?yàn)槠矫鍼EF，所以．
（2）解：連接BF，因?yàn)?，所以是正三角形，所以?br>以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)P所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
令，則，，，
則，．
設(shè)平面CEP的法向量為，則
令，得．
由題可知，是平面ACE的一個(gè)法向量．
，
由圖可知，二面角為銳角，則二面角的余弦值為．
19．解：（1）因?yàn)?，所以?br>又，
所以，
整理得．
因?yàn)椋?，即?br>又，所以．
（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，則．
設(shè)邊BC的中點(diǎn)為D，則，且，
則，
則，則．
在中，，則．
20．解：（1）由題可知，星期三禁止出車的車輛為E，可以出車的車輛為A，B，C，D，
則星期三該公司恰有兩輛車出車的概率．
（2）由題可知，星期一禁止出車的車輛為A，可以出車的車輛為B，C，D，E．
記星期一該公司出車的數(shù)量為X，則X的取值可能為0，1，2，3，4．
，
，
，
，
．
故X的分布列為
．
21．解：（1）由題可知，
解得，或（舍去）．
故拋物線C的方程為．
（2）設(shè)的方程為，，，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，．
，
，，
則，
由，得，
整理得．
因?yàn)?，所以，即?br>22．解：（1）因?yàn)?，所以?br>則．
又，所以曲線在處的切線方程為，
即．
（2）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
令函數(shù)，，
則．
令函數(shù)，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減．
故當(dāng)時(shí)，，
從而在上恒成立，則在上單調(diào)遞減．
汽車車牌尾號(hào)
車輛限行日
1和6
星期一
2和7
星期二
3和8
星期三
4和9
星期四
0和5
星期五
X
0
1
2
3
4
P

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