試卷滿分：150分
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式可得集合，根據(jù)集合的并集運(yùn)算即得答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的定義，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，
所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：A.
3. 在中，，則（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】將平方，再結(jié)合模長運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，又，所以，
所以.
故選：C.
4. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到一個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，則的一個(gè)可能取值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，再由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得到，求得，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，
可得，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，即，
解得，即，
當(dāng)時(shí)，可得，所以B項(xiàng)符合.
故選：B.
5. 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的最小值是（）
A. 12B. 18C. 24D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式即可求解.
【詳解】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是24.
故選：C.
6. 如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為3和6，則該圓臺(tái)的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出圓臺(tái)上下底面半徑，圓臺(tái)的高，代入圓臺(tái)的體積計(jì)算公式即可求解.
【詳解】圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為，
則其面積為，解得，
所以扇環(huán)的兩個(gè)圓弧長分別為和，
設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，高為，所以，解得，
，解得，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：
圖中，，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，
所以圓臺(tái)的高，則上底面面積，，
由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：.
故選：A.
7. 北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中大于0的常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓.聲壓級(jí)的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)比人正常說話時(shí)的聲壓級(jí)約大，則火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的模型，列出火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)和人正常說話時(shí)的聲壓級(jí)表達(dá)式，聯(lián)立求解即可.
【詳解】令人正常說話時(shí)的聲壓級(jí)為，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)為，則，
而人正常說話的聲壓，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓為，
于是，，兩式相減得，解得，
所以火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為.
故選：D
8. 在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且的面積，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由三角形面積公式求出，然后引入?yún)?shù)，將所求表示為的函數(shù)，再根據(jù)正弦定理邊化角、誘導(dǎo)公式、兩角和差得，注意到在銳角中，有，從而可以求出的范圍，由此即可得解
【詳解】由三角形面積公式結(jié)合，可知，即，
又由平方關(guān)系，所以，即，
解得或（舍去），
由余弦定理有，所以，
令，所以，故只需求出的范圍即可，
由正弦定理邊化角得，
注意到在銳角中，有，簡(jiǎn)單說明如下：
若，則，即不是銳角，但這與是銳角三角形矛盾，
所以在銳角中，有，
所以在銳角中，有，
因?yàn)檎泻瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
從而，
而函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以.
綜上所述：的取值范圍為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了正余弦定理綜合應(yīng)用，以及誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式等來化簡(jiǎn)表達(dá)式，關(guān)鍵就是將所求化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知，并且注意銳角三角形的特殊性，即注意到在銳角中，有，結(jié)合以上關(guān)鍵點(diǎn)即可順利求解.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分、在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知互不相同的20個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)：去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，若，則（）
A. 剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變
B.
C. 剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)20個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、第22百分位數(shù)與方差的定義與公式推導(dǎo)即可.
【詳解】設(shè)20個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)為，
對(duì)于A：原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A正確；
對(duì)于B，依題意，，，，
由，得，即，
于是，因此，即，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，
又，則原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，則，，，
于是，，
因此，即，D正確.
故選：ABD
10. 某高中一年級(jí)有3個(gè)班級(jí)，（1）班、（2）班、（3）班的學(xué)生人數(shù)之比為.在某次數(shù)學(xué)考試中，（1）班的及格率為，（2）班的及格率為，（3）班的及格率為，從該校隨機(jī)抽取一名高一學(xué)生.記事件“該學(xué)生本次數(shù)學(xué)為試及格”，事件“該學(xué)生在高一（i）班”，則（）
A.
B. 與均不相互獨(dú)立
C.
D. 若從這次高一年級(jí)數(shù)學(xué)考試及格的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則該同學(xué)來自（1）班的概率最大
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算判斷A，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算判斷B，根據(jù)條件概率公式計(jì)算判斷C，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算判斷D.
【詳解】由題意，，
，
則，故A正確；
由，則，所以與相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，所以，故C正確；
由題意這次高一年級(jí)數(shù)學(xué)考試中，（1）班、（2）班、（3）班學(xué)生中及格人數(shù)之比為，
所以從這次高一年級(jí)數(shù)學(xué)考試及格的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則該同學(xué)來自（1）班的概率為，
該同學(xué)來自（2）班的概率為，該同學(xué)來自（3）班的概率為，
所以該同學(xué)來自（3）班的概率最大，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 已知函數(shù)定義域?yàn)?，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說法正確的是（）
A. 為奇函數(shù)B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性可推出函數(shù)的周期以及對(duì)稱軸，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，可得，
即，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；
由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，
即，以2x代換x，則，
所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，即，
結(jié)合可得，
所以，故選項(xiàng)B正確.
所以是周期函數(shù)，且周期為4，其圖象不僅關(guān)于直線對(duì)稱還關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以不關(guān)于點(diǎn)和對(duì)稱，所以不是奇函數(shù)，，故選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤；
故選：BC
12. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說法中正確的有（）
A. 若，則面積的最大值為
B. 若，則面積的最大值為
C. 若角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，且，則面積的最大值為3
D. 若為的中點(diǎn)，且，則面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面積公式可判斷AB；根據(jù)角平分線的性質(zhì)及余弦定理，結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷C，根據(jù)余弦定理結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可得，
即，
由基本不等式可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由余弦定理可得，
所以，
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即面積的最大值為，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，，則，，
在和中，分別運(yùn)用正弦定理，得和.
因?yàn)?，所以，即，所以?br>由余弦定理可得，所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值為3，所以C正確；
對(duì)于D，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，解得，則，
所以，
所以當(dāng)即時(shí)，，D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題以三角形中的邊角關(guān)系為背景設(shè)置了求三角形面積的最大值問題．求解時(shí)，先運(yùn)用余弦定理求得邊角關(guān)系，再建立三角形的面積函數(shù)，進(jìn)而借助基本不等式或二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析探求出其最大值使得問題獲解.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 寫出一個(gè)滿足條件“函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱”的冪函數(shù)：________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)奇偶性即可得到答案.
【詳解】舉例，令，無實(shí)數(shù)解，且定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，
，且定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則為偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于軸對(duì)稱.
故答案為：.
14. 的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為________.
【答案】
【解析】
【分析】先對(duì)第一個(gè)括號(hào)中選取單項(xiàng)式進(jìn)行分類，然后再在每一類中分步，結(jié)合計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)即可求解.
【詳解】要得到的展開式中含有的項(xiàng)，分以下兩種情形：
情形一：先在第一個(gè)括號(hào)中選取“”，然后在后面四個(gè)括號(hào)中選取3個(gè)“”和1個(gè)“”，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知此時(shí)“”的系數(shù)為；
情形二：先在第一個(gè)括號(hào)中選取“”，然后在后面四個(gè)括號(hào)中選取2個(gè)“”和2個(gè)“”，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知此時(shí)“”的系數(shù)為.
綜上所述：由分類加法計(jì)數(shù)原理可知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：.
15. 在等比數(shù)列中，，則________.
【答案】
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程組求出首項(xiàng)和公比，然后根據(jù)定義可判斷為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列求和公式可得.
【詳解】記等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，
記，
因?yàn)?，所以?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：.
16. 已知，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于另外的點(diǎn)，．若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為________．
【答案】
【解析】
【分析】由直線斜率公式結(jié)合點(diǎn)在曲線上可得，從而求得，進(jìn)而結(jié)合正切的定義即可求解．
【詳解】由題意可知，，
設(shè)，可得直線的斜率分別為，，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，整理得，所以，
設(shè)點(diǎn)，可得直線，的斜率，，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，
所以，即，
則，所以直線與關(guān)于軸對(duì)稱，
又因?yàn)闄E圓也關(guān)于軸對(duì)稱，且，過焦點(diǎn)，則軸，
又，則，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以橢圓的離心率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：
定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；
齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；
特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 數(shù)列的滿足，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來的順序組成數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）1473
【解析】
【分析】（1）由，，得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）首先得出的通項(xiàng)公式，由，可知中要去掉數(shù)列的項(xiàng)有5項(xiàng)，代入計(jì)算即可．
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以，，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則，即．
【小問2詳解】
由得，，
因?yàn)椋?br>所以中要去掉數(shù)列的項(xiàng)有5項(xiàng)，
所以
．
18. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.
（1）求角大?。?br>（2）為邊上一點(diǎn)，，求邊的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理再根據(jù)輔助角公式得，最后結(jié)合角的范圍即可求解；
（2）根據(jù)面積關(guān)系化簡(jiǎn)求值即得.
【小問1詳解】
，
由正弦定理可得，
即，
，
又.
又.
【小問2詳解】
即，解得
19. 如圖1，為等邊三角形，邊長為4，分別為的中點(diǎn)，以為折痕，將折起，使點(diǎn)到的位置，且，如圖2.
圖1 圖2
（1）設(shè)平面與平面的交線為，證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）延長交于點(diǎn)，連接，根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定推理得解.
（2）作出二面角的平面角，再利用余弦定理求解即可.
【小問1詳解】
延長交于點(diǎn)，連接，如圖，
依題意，分別為的中點(diǎn)，則，
因此分別是以為斜邊的直角三角形，
即，又，平面平面，
于是平面，而平面平面，顯然直線與重合，
所以平面.
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連接，
由為等邊三角形，得，則為二面角的平面角，
，在中，，則，
由平面，平面，得，又，于是，
在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值為.
20. 2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，
（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)？
（2）將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生，設(shè)其中了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生的人數(shù)為，求使得取得最大值時(shí)的值.
附：
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，不能
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件概率求得人數(shù)填寫列聯(lián)表，代入公式求出觀測(cè)值，將其余臨界值比較即可求解；
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布求出概率，根據(jù)單調(diào)性列不等式組求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解的女生為，了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生為，結(jié)合男生和女生各50名，填寫列聯(lián)表為：
零假設(shè)：該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目了解情況與性別無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷成立，
即該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無關(guān).
【小問2詳解】
由（1）知，了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的頻率，所以隨機(jī)變量，
，
令，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.
21. 已知函數(shù)，其中.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)得，然后令導(dǎo)函數(shù)為0可得，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及對(duì)參數(shù)分類討論即可.
（2）由（1）中結(jié)論，先分和兩種情況，然后在討論的時(shí)候又要分和兩種情況，結(jié)合不等式恒成立的條件列出不等式，即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得
令，得.
①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
在區(qū)間上恒成立，
在區(qū)間上的最大值小于等于1，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，
又，
所以，即，
所以此時(shí)解得；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，分以下兩種情形討論：
情形一：當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，解得滿足題意；
情形二：當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為或，
此時(shí)，則，且，
由（2）①可知，，所以此時(shí)解得.
結(jié)合以上兩種情形可知，當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間上恒成立.
結(jié)合①②，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第一問的關(guān)鍵是含參分類討論，第二問的關(guān)鍵是結(jié)合第一問的結(jié)論且也要分類討論,在分類討論時(shí)要做到不重不漏，且要有扎實(shí)的計(jì)算功底.
22. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為上點(diǎn)滿足.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知正方形有三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求該正方形面積的最小值.
【答案】（1）
（2）32
【解析】
【分析】（1）由焦半徑公式結(jié)合點(diǎn)在上，列出方程組求解即可.
（2）畫出圖形，直線的斜率為，，另一方面由兩點(diǎn)也可以得到直線的斜率，結(jié)合，，即可列出方程組，從而把都用含有的式子表示，即正方形的面積也可以表示為的函數(shù)，最終根據(jù)的范圍并求導(dǎo)即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以①，
因?yàn)?，所以由焦半徑公式得②?br>由①②解得，故拋物線的方程為.
【小問2詳解】
如圖所示：
依題意，不妨令正方形的頂點(diǎn)在拋物線上，且，
設(shè)拋物線上的三點(diǎn)為，
顯然直線的斜率均存在且不為0，
又由拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)直線的斜率大于0，且點(diǎn)都不在軸下方，
結(jié)合圖形知，設(shè)直線斜率為，
則直線的斜率，①
同理由得，，即，②
由得：，
即，化簡(jiǎn)得，③
由①②③得，
則正方形的面積為
令，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時(shí)，該正方形的面積的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問的關(guān)鍵是根據(jù)焦半徑公式結(jié)合點(diǎn)在拋物線上，從而求解；第二問的關(guān)鍵是要先設(shè)參、設(shè)點(diǎn)，然后根據(jù)正方形鄰邊相等且互相垂直從而將各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都用參數(shù)來表示，從而即可求得面積的表達(dá)式，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)即可求解，本題綜合性比較強(qiáng)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，平時(shí)可以多鞏固計(jì)算.
了解
不了解
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合計(jì)
男生
15
35
50
女生
30
20
50
合計(jì)
45
55
100

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