本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法，求得集合，再根據(jù)集合的交集的概念及運(yùn)算，即可求解．
【詳解】由，解得，可得集合，
又由，
根據(jù)集合的交集的概念及運(yùn)算，可得．
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集的概念及運(yùn)算，以及一元二次不等式的計(jì)算，其中正確求解集合，熟練應(yīng)用集合的交集的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.
2. 已知命題：，，則命題否定為（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷，注意既要否定結(jié)論，也要轉(zhuǎn)化量詞.
【詳解】因?yàn)槊}：，，
根據(jù)命題的否定的定義，
所以命題的否定:，.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定的定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.
3. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可判斷A；由含絕對(duì)值的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷B；由二次函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可判斷C；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義可判斷D.
【詳解】解：對(duì)于A，定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，為偶函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，為偶函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問(wèn)題：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2或是定義域上的恒等式．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡(jiǎn)化一些函數(shù)圖象的畫(huà)法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性．
4. 設(shè)函數(shù)，則
A. B. 5C. 6D. 11
【答案】B
【解析】
【詳解】分析：先確定的符號(hào)，再求的值.
詳解：∵＜0，
∴=故選B.
點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)求值和對(duì)數(shù)指數(shù)運(yùn)算，意在考查學(xué)生分段函數(shù)和對(duì)數(shù)指數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)掌握能力和基本運(yùn)算能力.
5. 已知，且在第三象限，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可推得，根據(jù)正余弦的關(guān)系結(jié)合的象限，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，.
因?yàn)樵诘谌笙蓿?br>所以，.
故選：A.
6. 函數(shù)的最大值為（）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方關(guān)系將函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
故選：D.
7. 函數(shù)的圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性定義、的范圍，應(yīng)用排除法即可得答案.
【詳解】由且定義域?yàn)镽，即為偶函數(shù)，排除A；
由，排除B、C；
故選：D
8. 已知角的終邊過(guò)點(diǎn).則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)角的終邊過(guò)點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義得到，然后利用兩角差的正弦公式求解.
【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，
所以，
所以，
，
故選：C
9. 一空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖均為邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，則此空間幾何體的表面積是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先還原幾何體，再根據(jù)各表面形狀求表面積.
【詳解】幾何體為如圖四面體，其中所以表面積為，選D.
【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及四面體表面積，考查空間想象能力與綜合分析求解能力，屬中檔題.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，圖中函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，則下列代數(shù)式中為定值的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖象，由求出，再由M，N點(diǎn)的坐標(biāo)求出為定值.
【詳解】由圖象可得，，且，
所以，
令，則，所以，
則.
故選：D
11. 已知函數(shù)，則滿足的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)為，即，從而得到答案.
【詳解】由，知是偶函數(shù)，
不等式等價(jià)為，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
解得：.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為自變量大小關(guān)系，從而解出不等式，屬于中檔題.
12. 已知正四面體外接球的體積為，則這個(gè)四面體的表面積為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R，將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出正方體的棱長(zhǎng)，從而得出正四面體的棱長(zhǎng)，最后可求出正四面體的表面積．
【詳解】將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，如圖所示，
設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則，得．因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的外接球是同一個(gè)球，則有，∴ ．而正四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)均為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，所以，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，因此，這個(gè)正四面體的表面積為．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問(wèn)題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
第II卷非選擇題
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點(diǎn)，求得，進(jìn)而可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，
因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，解得，
即，所以.
故答案為：.
14. 已知，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
15. 已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由分段函數(shù)兩段都遞增，且在分界處函數(shù)值左側(cè)不比右側(cè)大可得參數(shù)范圍，
【詳解】時(shí)，設(shè)，所以，是增函數(shù)，
所以由題意得，解得．
故答案為：．
16. 已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，且單調(diào)遞減，由此列出不等式，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，故?br>由于在區(qū)間上有最大值，
且在上單調(diào)遞減，
故需滿足在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，故，
即，解得，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于判斷出導(dǎo)數(shù)在在上單調(diào)遞減，則需在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，由此列不等式求解即可.
三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第 17～21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共 60 分.
17. 已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．
（1）求與的解析式；
（2）令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)圖象可得即周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，即可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移變換的原則即可求得函數(shù)的解析式；
（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
由圖可知，，
函數(shù)的周期，所以，
所以，
又，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，
因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
，
由，
得，
因，所以，
所以或或或，
所以或或或，
所以方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和為
．
18. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；
（2）若直線是曲線的一條切線，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可確定在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定最值點(diǎn)并求得最值；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合切線斜率可構(gòu)造方程組求得和的值.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
又，，.
【小問(wèn)2詳解】
由題意知：，
設(shè)直線與相切于點(diǎn)，
則，消去得：，解得：，
則，解得：.
19. 在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若csB，△ABC面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．
【答案】（1）2（2）5
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式即可求解；
（2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，結(jié)合三角形的面積公式可求，聯(lián)立解得，的值，根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解三角形的周長(zhǎng)．
【詳解】（1）∵，
∴sinBcsA﹣2sinBcsC＝2sinCcsB﹣sinAcsB，sinBcsA+sinAcsB＝2sinCcsB+2sinBcsC，
可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA，
∴2．
（2）∵由（1）可得sinC＝2sinA，
∴由正弦定理可得c＝2a，①
∵csB，△ABC的面積為，
∴sinB，由acsinBac?，解得ac＝2，②
∴由①②可得a＝1，c＝2，
∴由余弦定理可得b2，
∴△ABC的周長(zhǎng)a+b+c＝1+2+2＝5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、兩角和的正弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了三角形的面積公式、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
20. 如圖，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通過(guò)直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到．
（1）求證：平面平面；
（2）若二面角的大小為，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）通過(guò)證明、證明平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理完成證明；
（2）先根據(jù)垂直關(guān)系判斷出二面角的平面角為，然后根據(jù)三棱錐的體積公式求解出三棱錐的體積.
【詳解】解：（1）∵
∴
∵直角梯形繞轉(zhuǎn)到
∴
又∵
∴平面
∵平面
∴平面平面
（2）∵直角梯形繞轉(zhuǎn)到
∴
∵且
∴平面
且為二面角平面角
∴
又∵
∴為等邊三角形
∴
∴.
21. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而就可以求函數(shù)的最小值；
（2）先將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，也是從單調(diào)性出發(fā)，通過(guò)求最小值大于0，從而實(shí)現(xiàn)不等式的證明.
【詳解】（1），
令，解得，令，解得，
∴函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴的最小值為；
（2）證明：要證，即證，即證，
∵，
∴，
∴只需證明對(duì)任意恒成立，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
∴在為增函數(shù)，
又，
∴存在，使得，
由，得，即，即，
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
∴，
令，則，
∴在上單增，故，
∴，即．
綜上，當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題關(guān)鍵是“隱零點(diǎn)”的使用，本題中的“隱零點(diǎn)”在后面處理最值中取到一個(gè)替換性的作用也是本題的關(guān)鍵.
（二）選考題：共 10 分.請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心在極軸上，半徑為2，且圓C經(jīng)過(guò)極點(diǎn)．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線的垂線，垂足分別為A，B，求面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)為圓C上一點(diǎn)，再根據(jù)圓的性質(zhì)與三角函數(shù)關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化可得圓C的直角坐標(biāo)方程，再設(shè)，進(jìn)而表達(dá)出面積，結(jié)合二次函數(shù)與三角函數(shù)的值域求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
如圖，設(shè)為圓C上一點(diǎn)，O為極點(diǎn)，為圓C的直徑，
連接，則，
則．
故圓C的極坐標(biāo)方程為．
【小問(wèn)2詳解】
極坐標(biāo)中的直線對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為．
因?yàn)閳AC的直角坐標(biāo)方程為，設(shè)，
所以，，
則的面積；
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，S取得最大值．
[選修 4-5：不等式選講]（10 分）
23. 已知函數(shù).
（1）求證：；
（2）若，證明：.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用絕對(duì)值三角不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）利用基本不等式證明即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，，且?br>又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

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