1. 已知，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意理解集合A，B，進(jìn)而結(jié)合交集的概念分析判斷.
【詳解】因?yàn)榧螦是2的倍數(shù)組成的集合，集合B是3的倍數(shù)組成的集合，
可得集合A與集合B的公共元素為6的倍數(shù)，
所以.
故選：D.
2. 已知命題，命題，則（）
A. “”是假命題B. “”是真命題
C. “”假命題D. “”是真命題
【答案】D
【解析】
【分析】先判斷命題、命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題的真假判定，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.
【詳解】命題，如：當(dāng)時(shí)，
不等式成立，所以為真命題，為假命題；
命題，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，
所以為假命題，為真命題，
故“”是真命題，“”是假命題，
“”是真命題，“”是真命題，
故選：D.
3. 《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問(wèn)題，如圖所示，弧田是由弧AB和弦AB所圍成的圖中陰影部分，若弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，則此弧田的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求得，，分別求得扇形的面積和的面積，結(jié)合，即可求解.
【詳解】解：由弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
可得，
可得扇形的面積為，的面積為，
所以此弧田的面積為.
故選：A.
4. 函數(shù)的圖象大致形狀為（）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，判斷得選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋裕?br>，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，排除C，D，
令，則或，解得，而時(shí)，，，，此時(shí).故排除A.
故選：B．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；
(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.
5. 已知，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)反例可判斷AC，根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷BD.
詳解】對(duì)于A，若，顯然滿足，但不能得到，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由于，所以，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若，顯然滿足，，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
當(dāng)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
當(dāng)，則，綜上可知D正確，
故選：D
6. 如圖的程序框圖的算法思路源于歐幾里得在公元前300年左右提出的“輾轉(zhuǎn)相除法”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入，則輸出的值為（）
A. 4B. 37C. 148D. 333
【答案】B
【解析】
【分析】利用輾轉(zhuǎn)相除法求1813和333的最大公約數(shù).
【詳解】題中程序框圖為輾轉(zhuǎn)相除法求1813和333的最大公約數(shù).
因?yàn)?，，?br>所以1813和333的最大公約數(shù)為37.
故選：B.
7. 已知函數(shù)，若，則（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)每段都是單調(diào)的可知，且，代入解析式求解即可.
【詳解】由可知函數(shù)每段上都為減函數(shù)，
所以由可知，且
所以，
解得.
故選：A
8. 已知命題p：函數(shù)在上單調(diào)遞減；命題，都有．若為真命題，為假，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出為真命題時(shí)的范圍，進(jìn)而根據(jù) 中一真一假分兩類情況討論即可求解.
【詳解】若命題p為真，則，若為真，則 ，
由于為真命題，為假，則 中一真一假
若 真 假，則滿足： ；
若 真 假，則滿足： ，此時(shí) 無(wú)解，
綜上
故選：A
9. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的必要不充分條件是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與充分必要條件的概念判斷，
【詳解】設(shè)．
∵在上單調(diào)遞減，
∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，在上單調(diào)遞減，且在上恒成立．
（注意對(duì)數(shù)的真數(shù)在上大于0）
又在上單調(diào)遞減，（若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則）
∴解得．
則可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件是．
而所求的是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的必要不充分條件，
故只需看是哪一個(gè)的真子集，
故選：C
10. 已知二次函數(shù)，且不等式的解集為.若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式解集端點(diǎn)為對(duì)應(yīng)方程的根求出，由原不等式分離參數(shù)后換元，再由均值不等式求最值即可得解.
【詳解】的解集為，
方程的兩根為1和3，
，解得，
所以由可得，
，
，
設(shè)，則有解，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值.
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B
11. 若函數(shù)滿足，且時(shí)，，已知函數(shù)則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A. 14B. 13C. 12D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】由題設(shè)易知是周期為2函數(shù)，結(jié)合函數(shù)解析式畫出、的函數(shù)圖象，判斷它們?cè)诘慕稽c(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以是周期為2函數(shù)，
因?yàn)闀r(shí)，則、的圖象如下：
時(shí)且遞增，時(shí)且遞減，時(shí)且遞增，
又，，，
由圖知：區(qū)間上函數(shù)交點(diǎn)共有12個(gè)．
故選：C．
12. 已知，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得到；再構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而得到，由此得解.
【詳解】令，，
則，故在上單調(diào)遞減，
所以，即，即，故；
令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
令，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
，
所以，所以；
綜上：.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：
一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理．
第II卷（非選擇題）
二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.
13. 設(shè)函數(shù)________．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)的解析式求出和再相加可得結(jié)果.
【詳解】，
，
，
.
故答案為：.
14. 若，則_________．
【答案】0
【解析】
【詳解】設(shè).
則
.
15. 定義在上的函數(shù)滿足是偶函數(shù)，且，若，則______
【答案】##
【解析】
【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性可求出函數(shù)的周期，然后結(jié)合周期，利用賦值法即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以，
所以的周期為6，
因?yàn)?，，所以?br>所以，所以，
所以，
故答案為：
16. 已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)、、、，且，則以下結(jié)論正確的是_____.
①；
②；
③；
④.
【答案】①②④
【解析】
【分析】設(shè)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷②的正誤；分析可知，結(jié)合基本不等式可判斷①的正誤；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可判斷③④的正誤.
【詳解】設(shè)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，②對(duì)；
因?yàn)?，則，由圖可知，則，
所以，，①對(duì)；
令，其中，由圖可知，
，
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，即，
因?yàn)?，，且函?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，則，故，③錯(cuò)④對(duì).
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問(wèn)題，一般有以下幾種方法：
（1）證明（或）：
①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；
②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；
③再由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；
（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：
①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；
②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；
③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；
（3）應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；
②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.
三?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
（一）必考題：（本大題共5小題，每小題12分，共60分）
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn).
（1）若，求及的值；
（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式直接計(jì)算求解即可；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化求得進(jìn)而求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
若角以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，
若，則，則，
可得
【小問(wèn)2詳解】
由題意知，
又，①
兩邊平方，可得，可得，
可得，②
聯(lián)立①②，可得
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為
18. 已知函數(shù)在處取得極值0.
（1）求；
（2）若過(guò)點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，求買數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根據(jù)題意可得，即可得解；
（2）切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為，從而可得，再根據(jù)過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，等價(jià)于關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知，
因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值0，
所以，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，函數(shù)，所以，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，
所以，即，
令，則，
令，解得，或，
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示，
因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，
當(dāng)時(shí)，有極大值，
過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，
等價(jià)于關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：
（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.
19. “硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技術(shù)，光電芯片，信息技術(shù)，新材料，新能源，智能制造等為代表的高精尖技術(shù)，屬于由科技創(chuàng)新構(gòu)成的物理世界，是需長(zhǎng)期投入，持續(xù)積累才能形成的原創(chuàng)技術(shù)，具有極高技術(shù)門檻和技術(shù)壁壘，難以被復(fù)制和模仿.最近十年，我國(guó)的一大批自主創(chuàng)新的企業(yè)都在打造自己的科技品牌，某高科技企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的高級(jí)設(shè)備，并從2024年起全面發(fā)售，假設(shè)該高級(jí)設(shè)備的年產(chǎn)量為x百臺(tái)，經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該高級(jí)設(shè)備每年需投入固完成本1500萬(wàn)元，最多能夠生產(chǎn)80百臺(tái)，每生產(chǎn)一百臺(tái)臺(tái)高級(jí)設(shè)備需要另投成本萬(wàn)元，且，每臺(tái)高級(jí)設(shè)備售價(jià)為2萬(wàn)元，假設(shè)每年生產(chǎn)的高級(jí)設(shè)備能夠全部售出.
（1）求企業(yè)獲得年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)銷售收入成本）；
（2）當(dāng)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大？并求最大年利潤(rùn).
【答案】（1）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為60百臺(tái)時(shí)，公司獲利最大，且最大利潤(rùn)為1250萬(wàn)元
【解析】
【分析】（1）由條件根據(jù)利潤(rùn)和銷售收入，成本之間的關(guān)系求出年利潤(rùn)與年產(chǎn)量之間的關(guān)系；
（2）分區(qū)間，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求年利潤(rùn)的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
∵，
∴當(dāng)時(shí)，
.
當(dāng)時(shí)，
.
綜上所述，.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得
∴當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）
當(dāng)時(shí)，
（萬(wàn)元）
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
又.
故當(dāng)年產(chǎn)量為60百臺(tái)時(shí)，公司獲利最大，且最大利潤(rùn)為1250萬(wàn)元.
20. 已知函數(shù)=（m）是定義在R上的奇函數(shù)
（1）求m的值
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明在R上單調(diào)遞增（備注：>0）
（3）若對(duì)，不等式)0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值，再驗(yàn)證符合題意即可；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明；
（3）由奇函數(shù)化不等式為，再由增函數(shù)化為，然后由一元二次不等式恒成立得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
是奇函數(shù)，∴，，
時(shí)，，滿足，是奇函數(shù)，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，
則，
∵，∴，，∴，即，
所以在R上為單調(diào)遞增；
【小問(wèn)3詳解】
原不等式化為，
∵是奇函數(shù)，∴不等式化為，
又是增函數(shù)，所以，
∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化，恒成立，
設(shè)，，
，即時(shí)，，．
，即時(shí)，，無(wú)解；
，即時(shí)，，無(wú)解；
綜上，．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于具有奇偶性和單調(diào)性函數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，解題方法是利用奇偶性化不等式為，再由單調(diào)性化去“”，轉(zhuǎn)化為一般的不等式，如一元二次不等式恒成立問(wèn)題，再根據(jù)不等式的知識(shí)求得參數(shù)范圍．
21. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
（2）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，分，和三種情況，求解函數(shù)在上的最大值；
（2）根據(jù)極值點(diǎn)定義得到，要證，只需證，令，得到單調(diào)性，從而求出，分和兩種情況，結(jié)合放縮法，構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行證明.
【小問(wèn)1詳解】
定義域?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，故；
若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故；
若，即時(shí)，則在上單調(diào)遞增，故.
所以，；
【小問(wèn)2詳解】
（），
則，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，
要證，
只需證，即證：，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，即：，
所以，所以，
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所?
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>所以，要證，
只需證，
即證對(duì)任意的恒成立，
令（），則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
即當(dāng)時(shí)，成立.
綜上：原不等式成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：隱零點(diǎn)的處理思路：
第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
（二）選考題（共10分，請(qǐng)?jiān)诘?2?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分）
22. 在極坐標(biāo)系中，是經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求的極坐標(biāo)方程；
（2）若曲線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與和的交點(diǎn)分別為，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程；
（2）通過(guò)聯(lián)立方程組，，由可求值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得的直角坐標(biāo)方程為，即，
化為極坐標(biāo)方程為，化簡(jiǎn)得.
【小問(wèn)2詳解】
曲線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與和的交點(diǎn)分別為，，
由，解得，
由，解得，
所以.
23. 已知函數(shù).
（1）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
（2）若的最小值為1，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）分類討論，可知且當(dāng)時(shí)，恒成立，利用端點(diǎn)值的大小關(guān)系列式可求出結(jié)果；
（2）分類討論，去絕對(duì)值將化為分段函數(shù)，求出其最小值，結(jié)合已知最小值列式，可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，得，，
因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，解得.
【小問(wèn)2詳解】
，
因?yàn)椋?，得；令，得?br>若，則，則，
則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，解得；
若，則，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，則，
則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，解得；
當(dāng)時(shí)，，則，
則在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，不符合題意；
1
-
0
+
0
-
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
0
單調(diào)遞減

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