A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】使用除法法則，分母實(shí)數(shù)化可得結(jié)果．
【分析】.
故選：B.
2. 在中，，則中最大角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得，設(shè)，，，
中最大角為，由余弦定理得：
，
故選：C
3. 棱長(zhǎng)都是1的三棱錐的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】棱長(zhǎng)都是1的三棱錐，四個(gè)面是全等的正三角形，求出一個(gè)面積即可求得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)樗膫€(gè)面是全等的正三角形，
，
則表面積
故選：A.
4. 已知平面向量的夾角為，且，則（）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解的平方，因?yàn)椋闷矫嫦蛄肯嚓P(guān)的運(yùn)算法則求解出結(jié)果，開方后求得
【詳解】
因?yàn)橄蛄康膴A角為，且，
所以，
故選：B
5. 如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，則平面圖形的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原四邊形，由梯形面積公式求解．
【詳解】如圖，作平面直角坐標(biāo)系，
使與重合，在軸上，且，在軸上，且，
過作，且，連接，則直角梯形為原平面圖形，
其面積為．
故選：C
6. 已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出正四棱錐的高后可求其體積.
【詳解】正四棱錐底面的對(duì)角線的長(zhǎng)度為，
故正四棱錐的高為，所以體積為，
故選D.
【點(diǎn)睛】正棱錐中，棱錐的高、斜高、側(cè)棱和底面外接圓的半徑可構(gòu)成四個(gè)直角三角形，它們溝通了棱錐各個(gè)幾何量之間的關(guān)系，解題中注意利用它們實(shí)現(xiàn)不同幾何量之間的聯(lián)系.
7. 設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，，若三點(diǎn)A，B，D共線，則k的值為（）
A. －8B. 8C. 6D. －6
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，然后利用存在實(shí)數(shù)使，列方程求k的值.
【詳解】由已知得，
三點(diǎn)A，B，D共線
存在實(shí)數(shù)使
，
，解得.
故選：A.
8. 如圖，已知圓的半徑為2，是圓的一條直徑，是圓的一條弦，且，點(diǎn)在線段上，則的最小值是（ ）
A. 1B. -2C. -3D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】連接，利用平面向量的運(yùn)算法則得到，連接，在中，當(dāng)時(shí)，最小，求出的值即可得到結(jié)果.
【詳解】連接，
由題可知，
，
連接，
在中，當(dāng)時(shí)，最小，
由于，
所以的最小值為，
因此的最小值為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把求最小值問題轉(zhuǎn)化為求解點(diǎn)到線的最短距離問題是解決本題的關(guān)鍵.
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是
A. 圓錐B. 圓柱C. 三棱錐D. 正方體
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)物體特征分析截面可能的情況即可得解.
【詳解】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形，
三棱錐平行于底面的截面是三角形，
正方體的截面可能是三角形，如圖：
故選：ACD
【點(diǎn)睛】此題考查物體截面辨析，關(guān)鍵在于熟悉常見幾何體的幾何特征，分析截面可能的情況.
10. 下列向量中與共線是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以與共線，因此選項(xiàng)A正確；
因?yàn)?，所以與不共線，因此選項(xiàng)B不正確；
因?yàn)?，所以與共線，因此選項(xiàng)C正確；
因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量平行，因此選項(xiàng)D正確，
故選：ACD
11. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則為銳角三角形
D. 若，則為直角三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A：大角對(duì)大邊，然后根據(jù)正弦定理把邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦之間的關(guān)系；
選項(xiàng)B：在內(nèi)，角的正弦相等，這兩個(gè)角可能相等，也可能互補(bǔ)，由此可以得到角之間的關(guān)系；
選項(xiàng)C：由余弦定理能得到為銳角，但一個(gè)角為銳角不一定是銳角三角形；
選項(xiàng)D：利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件即可得到命題正確.
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，由正弦定理，得，?所以選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：在中，因?yàn)?，所以或?br>即或，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，所以為銳角，但不一定是銳角三角形，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以?br>即，又因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以為直角三角形，所以選項(xiàng)正確.
故選：AD
12. 如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（）
A. 圓柱的側(cè)面積為
B. 圓錐的側(cè)面積為
C. 圓柱的側(cè)面積與球面面積相等
D. 圓柱、圓錐、球的體積之比為
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)圓柱、圓錐的側(cè)面積公式，結(jié)合圓柱、圓錐、球的體積公式逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)閳A柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，
則圓柱的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；
圓錐的母線長(zhǎng)，側(cè)面積為，B錯(cuò)誤；
球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，C正確；
，，
，D正確．
故選：CD．
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 已知點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為________.
【答案】
【解析】
【分析】直接由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.
【詳解】由題意知：中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.
故答案為：.
14. 復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)實(shí)部的定義求解.
【詳解】，則的實(shí)部是，
故答案為：．
15. 已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，根據(jù)圓錐的表面積為，得到，再由圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，得到，聯(lián)立求解.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，
因?yàn)閳A錐表面積為，
所以，即，
又圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，
所以，即，
所以，
所以這個(gè)圓錐的體積為.
故答案為：
16. 在中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，，且，則外接圓的面積為_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理及降冪角公式可求得角的余弦值，進(jìn)而求得角的正弦值以及外接圓半徑，故可得解.
【詳解】由正弦定理得：則
設(shè)外接圓的半徑為，則
外接圓的面積為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 已知向量，滿足.
（I）求向量與的夾角；
（II）求向量在向量上的投影向量；
（III）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【解析】
【分析】（I）根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式計(jì)算即可；
（II）根據(jù)投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可；
（III）根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示列式求解即可.
【詳解】解：（I）因?yàn)椋?br>所以，.
根據(jù)向量夾角的公式得，
因?yàn)?，所以?br>（II）由投影向量的定義得向量在向量上的投影向量為
；
（III）由題知，
因?yàn)橄蛄颗c垂直，
所以，解得.
18. 已知是關(guān)于的方程R的一個(gè)根．
（1）求，的值
（2）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值和．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的條件求解；
（2）利用純虛數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)模的定義求解.
【小問1詳解】
因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，
所以，
即，
由，解得，
【小問2詳解】
由知，，
因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得，
所以，
所以.
19. 已知在中，， ，解三角形．
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和正弦公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】已知，，
由正弦定理得
解得，因?yàn)椋?br>或，
當(dāng)時(shí)，，
由正弦定理解得，
當(dāng)時(shí)，，
由正弦定理解得
綜上所述，結(jié)論：當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
20. 如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.
【答案】，.
【解析】
【分析】先確定旋轉(zhuǎn)后的幾何體的幾何特征，然后用補(bǔ)形法將所求幾何體轉(zhuǎn)化為圓臺(tái)和圓錐再求其體積和表面積.
【詳解】由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺(tái)上面挖去一個(gè)圓錐的組合體.如圖：過作交的延長(zhǎng)線于，
則,,，,,.
故圓臺(tái)的上底面半徑，下底面半徑，高，母線長(zhǎng).
圓錐底面半徑，高，母線長(zhǎng).
所以圓臺(tái)側(cè)面積，
圓錐側(cè)面積，
圓臺(tái)底面積
故該幾何體的表面積
又∵圓臺(tái)的體積，
圓錐的體積，
所以四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體體積
21. 某海域的東西方向上分別有A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（如圖），它們相距海里．現(xiàn)有一艘輪船在D點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào)，經(jīng)探測(cè)得知D點(diǎn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°，這時(shí)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)有一救援船，其航行速度為30海里/小時(shí)．
(1)求B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離BD；
(2)若命令C處的救援船立即前往D點(diǎn)營(yíng)救，求該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）在△DAB中利用正弦定理，求出BD；
（2）在△DCB中，利用余弦定理求出CD，根據(jù)速度求出時(shí)間．
【詳解】(1)由題意知AB=5（3+）海里，
∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，
∴∠ADB=180°﹣（45°+30）°=105°，
在△DAB中，由正弦定理得=，
∴DB==
=
==10（海里）
(2)在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°，
BC=20（海里），由余弦定理得
CD2=BD2+BC2﹣2BD?BC?cs∠DBC
=300+1200﹣2×10×20×=900，
∴CD=30（海里），則需要的時(shí)間t==1（小時(shí)）．
答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．
【點(diǎn)睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟
(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型．
(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．
(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等.
22. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為 .已知
（1）求的值
（2）若，求的面積.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）正弦定理得邊化角整理可得，化簡(jiǎn)即得答案．
（2）由（1）知，結(jié)合題意由余弦定理可解得，，從而計(jì)算出面積．
【詳解】（1）由正弦定理得，
所以
即
即有，即
所以
（2）由（1）知，即，
又因?yàn)?，所以由余弦定理得?br>，即，解得,
所以，又因?yàn)?，所以?br>故的面積為=.
【點(diǎn)睛】正弦定理與余弦定理是高考的重要考點(diǎn)，本題主要考查由正余弦定理解三角形，屬于一般題．

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