黑龍江省佳木斯市四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

這是一份黑龍江省佳木斯市四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題，共4頁。試卷主要包含了圓與圓相交于兩點(diǎn)，則等于，已知，分別是橢圓，已知單位向量，，中，，，則，若，，與的夾角為，則的值為等內(nèi)容，歡迎下載使用。
命題教師： 審題教師： 考試時間：120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．答題前請粘貼好條形碼，填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．
2．本試卷分第I卷 (選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分。
第 I 卷（選擇題）
單選題（每小題 5 分）．
1．在空間中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．＝＋B．＝＋＋
C．＝＋－D．＝＋
2．在直三棱柱中，若，，，則（ ）
A． B． C． D.
3．過直線與的交點(diǎn)，與直線平行的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
4．圓上的點(diǎn)到直線距離的取值范圍是（ ）.
A．B． C．D．
5．已知，兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．圓與圓相交于兩點(diǎn)，則等于（ ）
A． B．C．D．
7．已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則（ ）
A． B．2C．D．
8．已知單位向量，，中，，，則（ ）
A． B．5C．6D．
二、多選題（每小題 5 分）．
9．已知圓M的一般方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓M的圓心為
B．圓M的直徑為10
C．圓M被x軸截得的弦長為8
D．圓M關(guān)于直線對稱的圓的方程是
10．若，，與的夾角為，則的值為（ ）
A．17B．C．D．1
11．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（ ）
A．始終過定點(diǎn) B．若，則或-3
C．若，則或2 D．當(dāng)時，始終不過第三象限
12．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，P是C上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A． B．P到最小的距離是2
C．面積的最大值為6 D．P到最大的距離是9
第 Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（每小題 5 分）.
13．已知空間向量，且與垂直，則等于 ．
14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為A.若為正三角形，則該橢圓的離心率為 .
15．在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為 ．
16．過橢圓上一動點(diǎn)分別向圓：和圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為 .
四、解答題（17題10分，18、19、20、21、22題各12分.）
17．已知為圓上一動點(diǎn)，為直線上一個動點(diǎn)．
(1)求圓心的坐標(biāo)和圓的半徑；
(2)求的最小值．
18．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)F到平面 AEC1的距離；
(2)求平面 AEC1與平面 EFCC1所成銳二面角的余弦值.
19．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，圓．
(1)若直線與圓C相切，求直線的方程；
(2)若直線被圓C截得的弦長為，求直線的方程．
20．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，且橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，求直線的方程
21．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是．
(1)求橢圓的方程；
(2)傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知，求直線的一般式方程．
22．如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：∥平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由.
2023--2024學(xué)年度第一學(xué)期四校聯(lián)考期中考試
高二數(shù)學(xué)試題答案
1．B
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以A錯誤，
對于B，因?yàn)椋訠正確，
對于C，因?yàn)?，所以C錯誤，
對于D，因?yàn)?，所以D錯誤，
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由已知得，
故選：C
3．A
【詳解】由已知，可設(shè)所求直線的方程為：，
即，
又因?yàn)榇酥本€與直線平行，所以：，解得：，
所以所求直線的方程為：，即．故選：A．
4．A
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離為，
所以圓上的點(diǎn)到該直線的距離的取值范圍是，即，故選：A..
5．C
【詳解】由題意，可作圖：
則直線l介于與之間，的斜率，的斜率，
即直線l的斜率，故選：C.
6．B
【詳解】由圓與圓，
將兩圓方程相減整理得直線的方程：，
又，即，
圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，
所以.故選：B.
7．A
【詳解】由橢圓的方程可得，，所以，
設(shè)，則，由在第一象限可得，即，
因?yàn)?，所以，整理可得，解得?（舍，
即，，所以在中，，故選：A．

8．D
【詳解】因?yàn)?，，且，，為單位向量，則.
故選：D
9．BC
【詳解】由題意知圓M的一般方程為，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓心為，半徑為5，則直徑為10，A錯誤，B正確；
圓心到x軸的距離為3，故圓M被x軸截得的弦長為，C正確；
設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得，
而圓M關(guān)于直線對稱的圓的半徑為5，
故圓M關(guān)于直線對稱的圓的方程為，
即，D錯誤，故選：BC
10．AC
【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，
所以，解得或.
故選AC.
11．ACD
【詳解】：過點(diǎn)，A正確；
當(dāng)時，，重合，故B錯誤；
由，得或2，故C正確；
：始終過，斜率為負(fù)，不會過第三象限，故D正確.
故選：ACD
12．AD
【詳解】由橢圓方程可得：，則，
對A：根據(jù)橢圓的定義可得，A正確；
對B：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的左頂點(diǎn)時，P到的距離最小，
最小值為，B錯誤；
對C：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的上頂點(diǎn)時，的面積最大，
最大值為，C錯誤；
對D：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的右頂點(diǎn)時，P到的距離最大，
最小值為，D正確.
故選：AD.
13．5
【詳解】因?yàn)?，且與垂直，
所以，解得．故答案為：5.
/
【詳解】為正三角形，則，則橢圓的離心率故答案為：
15．
【詳解】設(shè)正方體棱長為2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，
為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，則，
設(shè)異面直線與所成角為，
所以，
所以異面直線與所成角的正弦值為:.故答案為：.
16．
【詳解】，，，易知、為橢圓的兩個焦點(diǎn)，
，

根據(jù)橢圓定義，
設(shè)，則，即，
則，
當(dāng)時，取到最小值．
當(dāng)時，取到最大值．
故的取值范圍為：.故答案為：.
17．【詳解】（1）解：由題意，圓的方程可化為，
所以圓心的坐標(biāo)為。。。。。。。。。。。。。2分
圓的半徑為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
解：圓心到直線的距離為。。。。。。。。。。。。。3分
所以，即的最小值為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
18．【詳解】（1）解：以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則，，，，.
∴，，，.。。。。。。。。。。。。。。2分
設(shè)平面的法向量為，則，∴，
∴，取，則，，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
又，
∴點(diǎn)到平面的距離為.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，∴，
∴，取，則，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.
19.【詳解】（1）圓心坐標(biāo)為，半徑為2..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為：，與圓相切，滿足題意；。。。。。。。。。1分
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為：，即，。。。。。。。。。。。。1分
則圓C的圓心到直線l的距離，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
解得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
故直線l的方程為．
綜上，直線l的方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
（2）因?yàn)橹本€l被圓C所截得的弦長為，
所以圓心到直線l的距離為．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
由（1）知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線為：，即，。。1分
則圓心到直線l的距離，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
解得或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
故直線l的方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
20．【詳解】（1）橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，則①，
又橢圓過點(diǎn)，所以②，聯(lián)立①②解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）由題意可知直線的斜率存在，且直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，
則，消去得，所以，
又是弦的中點(diǎn)，所以，解得，
故直線的方程為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
方法二：中點(diǎn)弦（略）
21．【詳解】（1）由橢圓的離心率為，即，可得，
由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是，可得，
解得，，，
所以橢圓的方程．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）解：因?yàn)橹本€的傾斜角為，可設(shè)的方程，
由方程組，整理得，
可得，解得，
設(shè)，，則，，
又由，
解得，滿足，
所以直線的一般式方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
22．【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，。。。。。。。。。1分
所以，設(shè)為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
又，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
因?yàn)槠矫?，所以∥平?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
（2）設(shè)，，則，
設(shè)平面的法向量為，又，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
則，令，則，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
即，解得或（舍去），。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
所以.故存在H，當(dāng)時滿足題意.