備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的最值問題5題型分類練習(xí)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；
③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．
2.不等式的恒成立與能成立問題
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對于任意的，總存在，使得；
（6）對于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對于任意的，使得；
（8）若存在，對于任意的，使得；
（9）對于任意的，使得；
（10）對于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
一、單選題
1．（2024·全國）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（）
A．B．C．D．1
2．（2024·全國）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）如果圓柱的軸截面周長l為定值，那么圓柱的體積的最大值是（）
A．B．
C．D．
4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐標(biāo)系中，一個長方形的四個頂點都在橢圓上，將該長方形繞軸旋轉(zhuǎn)，得到一個圓柱體，則該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知不等式有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
7．（2024高三·全國·對口高考）已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
8．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知a，，關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（）
A．B．C．D．
9．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對于實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．C．D．
二、填空題
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，矩形的四個頂點都在橢圓上，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓柱體，當(dāng)該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為
11．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知，則當(dāng)取得最大值時，．
12．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知面積為的銳角其內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則邊c的最小值為．
13．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為 .
14．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為 .
15．（2024·安徽安慶·二模）已知，且，則的最小值為 .
16．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知正實數(shù)，滿足：，則的最小值為 .
17．（2024高三·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為．
18．（2024高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則．
19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為
20．（2024·山西運城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實數(shù)的取值范圍是 .
21．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）若存在實數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是 .
22．（2024高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是 .
三、解答題
23．（2024·北京）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
24．（2004·浙江）設(shè)曲線在點處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為．
(1)求切線l的方程；
(2)求的最大值．
25．（2004·湖南）已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
26．（2024高二下·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù).
(1)若時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求在上的最小值.
27．（2024·江西）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，求在上的最大值和最小值.
28．（2024高二下·山西朔州·階段練習(xí)）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ax3－3x2.
（1）若x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點，求a的值；
（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0處取得最大值，求a的取值范圍
29．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)設(shè)，經(jīng)過點作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；
(2)若函數(shù)有極大值，無最大值，求實數(shù)的取值范圍.
30．（2024高三·廣東中山·階段練習(xí)）用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
31．（2024高二下·廣東汕頭·期中）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為，且，假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米的建造費用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費用為（）萬元，該容器的總建造費用為萬元.
（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該容器的總建造費用最少時的的值.
32．（2023·福建）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為2，寬為1，邊分別在軸、軸的正半軸上，點與坐標(biāo)原點重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點落在線段上．
(1)若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；
(2)求折痕的長的最大值．
33．（2024高二下·廣東揭陽·期末）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸為，短半軸為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．
(Ⅰ)求面積關(guān)于變量的函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；
(Ⅱ)求面積的最大值．
34．（2024·廣東廣州·一模）人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.
該公司為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；
(2)已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個月的月利潤預(yù)報值最大？
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
35．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.
(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？
(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點.
36．（2024·河北·模擬預(yù)測）5G技術(shù)對社會和國家十分重要．從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機革命、電氣革命和計算機革命后的第四次工業(yè)革命．某科技集團生產(chǎn)A，B兩種5G通信基站核心部件，下表統(tǒng)計了該科技集團近幾年來在A部件上的研發(fā)投入（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：
(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)r說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)時，可以認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性）；
(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并利用該方程回答下列問題：
①若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計至少需要投入多少研發(fā)資金？（精確到0.001億元）
②該科技集團計劃用10億元對A，B兩種部件進行投資，對B部件投資元所獲得的收益y近似滿足，則該科技集團針對A，B兩種部件各應(yīng)投入多少研發(fā)資金，能使所獲得的總收益P最大．
附：樣本相關(guān)系數(shù)，
回歸直線方程的斜率，截距．
37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）甲?乙兩人參加一個游戲，該游戲設(shè)有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.記事件A為“游戲繼續(xù)進行下去甲獲得全部獎金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當(dāng)時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機事件為小概率事件）
38．（2024高三上·云南保山·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.
39．（2024·甘肅臨夏·一模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對于任意正實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
40．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求的最小值．
41．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，且為奇函數(shù)．
(1)求a；
(2)求的最小值．
42．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若曲線在點處的切線方程為，求的值；
(2)當(dāng)時，求在上的最大值．
43．（2024高三上·北京東城·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求證：
(3)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值
44．（2024·北京）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
45．（2024高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若的單調(diào)遞增區(qū)間為，求的值．
(2)求在上的最小值．
46．（2024高三上·四川瀘州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，其中，．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于．
47．（2024高三·全國·課后作業(yè)）用鐵皮做一個體積為的正三棱柱形有蓋箱子，問底面邊長為多少時，用料最??？并求出這時所有鐵皮的面積（焊縫、拼縫處所耗材料忽略不計）．
48．（2024高三上·山東煙臺·期末）某工廠擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形，該容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分側(cè)面的建造費用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費用為千元.設(shè)該容器的建造費用為千元.
(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
(2)求該容器的建造費用最小時的.
49．（2024高三上·全國·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且.
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
50．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若存在最大值M，證明：；
(2)在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）
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（一）
求函數(shù)的最值
1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值，與的各極值進行比較得到函數(shù)的最值．
2.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
題型1：求函數(shù)的最值（不含參）
1-1．（2024·全國）函數(shù)的最小值為 .
1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
1-3．（2024·江蘇）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．
1-4．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則的最大值是．
1-5．（2024·全國）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）
A．B．C．D．
題型2：求函數(shù)的最值（含參）
2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；
2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，求在內(nèi)的最大值；
2-3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．
(1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）
2-4．（2024·天津和平·三模）已知函數(shù)，，其中.
(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；
(2)若時，求函數(shù)的最小值；
(3)若的最小值為，證明：當(dāng)時，.
（二）
根據(jù)最值求參數(shù)
已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題．其中注意分類討論思想的應(yīng)用．
題型3：根據(jù)最值求參數(shù)
3-1．（2024高三上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取最大值，則實數(shù)（）
A．B．1C．D．2
3-2．（2024高二下·四川綿陽·期中）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值為，求實數(shù)的值．
3-3．（2024高三上·河南新鄉(xiāng)·周測）若函數(shù)f（x）＝x3﹣3x在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是
3-4．（2024高二·貴州貴陽·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為 .
3-5．（2024·山東·一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是．
3-6．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為 .
3-7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知四棱錐的各個頂點都在同一個球面上．若該球的體積為，則該四棱錐體積的最大值是．
3-8．（2024高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是 .
3-9．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，則．
（三）
函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用
求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：
（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最?。┲迭c，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.
題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用
4-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)；
(3)求在內(nèi)的最值．
4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知．
(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點；
(2)求函數(shù)在上的最值．
4-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在內(nèi)的極值；
(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實數(shù)的取值范圍．
4-4．（2024·天津河北·二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：函數(shù)存在極值點，并求極值點的最小值.
4-5．（四川省宜賓市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理科）試題）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若，的最小值是，求實數(shù)m的所有可能值.
（四）
不等式恒成立與存在性問題
1.求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
2.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項構(gòu)造輔助函數(shù)．
題型5：不等式恒成立與存在性問題
5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為
5-2．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
5-3．（2024高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
5-4．（2024高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.
5-5．（2024高三上·福建莆田·開學(xué)考試）已知函數(shù)，.
(1)若不等式的解集為，求不等式的解集；
(2)若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
5-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，取得極值．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
(2)若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若對任意，，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．
月份x
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銷售量y（萬件）
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收益y（億元）
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專題14 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的最值問題5題型
成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期
1.函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；
③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．
2.不等式的恒成立與能成立問題
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對于任意的，總存在，使得；
（6）對于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對于任意的，使得；
（8）若存在，對于任意的，使得；
（9）對于任意的，使得；
（10）對于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
一、單選題
1．（2024·全國）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
2．（2024·全國）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，
當(dāng)時，得，則
當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）如果圓柱的軸截面周長l為定值，那么圓柱的體積的最大值是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意，，則，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可得最大值
【詳解】
設(shè)底面半徑為，高為，則，即，
所以，
則，
令則，令則；令則,
故當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減,
即時，取得最大值.
故選：A．
4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐標(biāo)系中，一個長方形的四個頂點都在橢圓上，將該長方形繞軸旋轉(zhuǎn)，得到一個圓柱體，則該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點為，即可得圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，可得圓柱體的體積為，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，即可求得答案
【詳解】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點為，
根據(jù)長方形和橢圓的對稱性可得，將該長方形繞軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，
由可得，
所以圓柱體的體積為，
令，則，
令，解得，
所以當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有最大值，即此時圓柱體的體積最大，
所以此時圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，
故圓柱體的側(cè)面積為
故選：C
5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知不等式有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造兩個函數(shù)，先利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，從而得到在處取到最小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)知在處取到最大值，從而可求出結(jié)果.
【詳解】，所以不等式有實數(shù)解，即不等式成立，
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，
又因為，當(dāng)時，，
因為不等式有實數(shù)解，則
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點睛：處理本題的關(guān)鍵在于，通過構(gòu)造兩個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出兩個函數(shù)的最值，兩個函數(shù)均在處取到最值，從而得解.
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】題設(shè)中的不等式等價于，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得的解，從而可求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由有意義可知，.
由，得.
令，即有.
因為，所以，令，
問題轉(zhuǎn)化為存在，使得.
因為，令，即，解得；
令，即，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，所以當(dāng)時，.
因為存在，使得成立，所以只需且，解得.
故選：.
7．（2024高三·全國·對口高考）已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由函數(shù)的極大值與最大值的關(guān)系即可求解.
【詳解】，令，得，
因為在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，
則必有，所以.
故選：C.
8．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知a，，關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】數(shù)形結(jié)合，分類討論不成立，則，要最大，需要，，對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過的切線斜率最大.借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
【詳解】如圖，

由圖象可知，不成立，則，要最大，需要，；
時，時不成立，則；
對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過作的切線，切線斜率即為最大的a.
設(shè)切點，則，.
，,
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以在時，取得最大值.
故選：B.
9．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對于實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再求解的最小值即可.
【詳解】已知，由知.故排除BD.
由得，，
構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，
則由得，即，
令，
，由得，
當(dāng)，則單調(diào)遞減，
當(dāng)，則單調(diào)遞增，
，
則，又，則.
故選：C.
二、填空題
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，矩形的四個頂點都在橢圓上，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓柱體，當(dāng)該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為
【答案】/
【分析】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點為，即可得圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，可得圓柱體的體積為，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，即可求得答案.
【詳解】設(shè)矩形在第一象限的頂點坐標(biāo)為，根據(jù)長方形和橢圓的對稱性可得，
將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱體的母線長，底面圓的半徑，
由，可得，
所以圓柱體的體積，
令，則，令，解得，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有最大值，即此時圓柱體的體積最大，
所以此時圓柱體的母線長，底面圓的半徑，
故圓柱體的側(cè)面積為．
故答案為：.
11．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知，則當(dāng)取得最大值時，．
【答案】
【分析】設(shè)，利用二倍角的正切公式得到，再利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最值時的值，再代入即可得到答案.
【詳解】設(shè)，因為，則，則，
則．
設(shè)函數(shù)，
則．
當(dāng)時，即，，此時單調(diào)遞增；
當(dāng)時，即，，此時單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，即取得最大值，
此時．
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用二倍角公式構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)法求出最值即可.
12．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知面積為的銳角其內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則邊c的最小值為．
【答案】2
【分析】利用正余弦定理化簡可得，再由面積公式化簡得，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.
【詳解】，
,
由正余弦定理可得：，
化簡得，
由余弦定理可得，即，
又，故，
所以，其中，
令，，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，、
所以，所以，
即，當(dāng)時，等號成立.
故答案為：2
13．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】將函數(shù)在內(nèi)有最小值等價轉(zhuǎn)化成函數(shù)在內(nèi)必有極值點，再利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點的范圍即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可得，函數(shù)的定義域為，
易知，
若函數(shù)在內(nèi)有最小值，則函數(shù)在內(nèi)必有極值點，
又，不妨設(shè)為方程的兩個不相等實數(shù)根，
則有，不妨令，因此即可；
令，根據(jù)零點存在定理可得，
解得；
經(jīng)檢驗在內(nèi)有最小值，所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：函數(shù)在某開區(qū)間上有最值問題一般情況下是轉(zhuǎn)化成有極值點，再將極值點問題轉(zhuǎn)化成其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點的問題，利用零點存在定理即可實現(xiàn)問題求解.
14．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為 .
【答案】/0.5
【分析】對求導(dǎo)，然后令，判斷的單調(diào)性，得到的值域，從而判斷的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的最小值.
【詳解】因為，
所以，
記，，
則，因為，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，
故答案為：
15．（2024·安徽安慶·二模）已知，且，則的最小值為 .
【答案】1
【分析】
由，得，構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)得在上為增函數(shù)，可得，即，代入后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出最小值.
【詳解】因為，，所以，所以，且，
所以，
設(shè)，，
則，因為，所以，在上為增函數(shù)，
因為，所以，則，所以，
所以，
令，則，
令，則，則在上為增函數(shù)，
令得，即，
則存在唯一實數(shù)，使得，即，
所以當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將變形為，再利用指對同構(gòu)，設(shè)，，將化為是本題解題關(guān)鍵.
16．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知正實數(shù)，滿足：，則的最小值為 .
【答案】
【分析】將變形為，設(shè)，對求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，令，對求導(dǎo)，即可求出的最小值
【詳解】由可得：,
所以，，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
則，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
故的最小值為.
故答案為：.
17．（2024高三·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為．
【答案】
【分析】把函數(shù)化成分段函數(shù)，按分段討論函數(shù)的取值情況作答.
【詳解】函數(shù)定義域為，，顯然，
當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其取值集合為，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，因此存在，使得，
而，于是，不符合題意，
當(dāng)時，，令，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞增，，，即有，
當(dāng)時，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，
當(dāng)時，，顯然當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，不符合題意，
綜上得，，
所以則a的取值范圍為.
故答案為：
18．（2024高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則．
【答案】
【分析】分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系求解.
【詳解】當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以解得，與矛盾；
當(dāng)時，，
(i)若，即，
則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以解得，與矛盾；
(ii)若，即，
則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以解得，滿足題意；
綜上，，
故答案為:.
19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為
【答案】
【分析】根據(jù)開區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值點必為導(dǎo)函數(shù)的零點，然后求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)零點存在性定理建立不等式即可求解
【詳解】因為，
且函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，
故只需滿足，
所以，
解得．
故答案為：
20．（2024·山西運城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的極值點，建立不等式，即可求出的取值范圍.
【詳解】，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，
∴在處取得極小值，在處取得極大值.
令，解得或，
又∵函數(shù)在上存在最小值，且為開區(qū)間，
所以，解得.
即的取值范圍是.
故答案為：.
21．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）若存在實數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是 .
【答案】
【分析】先考慮恒成立，得到.再考慮恒成立，得到，再解不等式即得解.
【詳解】當(dāng)，且時，由，得.
設(shè)，則.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.
所以，得，
等價于，而，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以，則，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案為：
【點睛】方法點睛：求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.
22．（2024高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】觀察解析式的結(jié)構(gòu)，用同構(gòu)思路構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解.
【詳解】令，則
，
令，，則 ,
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以,當(dāng)x趨近于0時，趨近于，所以，
令，，，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
若恒成立，即恒成立，所以，所以；
故答案為：.
【點睛】觀察函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)是問題的核心，如果是直接求導(dǎo)，則很難計算，一般來說，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜的時候，應(yīng)該考慮是否存在其他方式解決問題.
三、解答題
23．（2024·北京）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.
【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；
（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，，
此時，曲線在點處的切線方程為，即；
（2）因為，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，，.
24．（2004·浙江）設(shè)曲線在點處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為．
(1)求切線l的方程；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；
（2）求出切線與坐標(biāo)的交點坐標(biāo)，計算出三角形面積后，由導(dǎo)數(shù)求得最大值．
【詳解】（1），時，
所以切線方程為，即．
（2）在中，令得，令得，
因為，
所以，
，
所以時，，遞增，時，，遞減，
所以．
25．（2004·湖南）已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
(2)當(dāng)時，最大值是；當(dāng)時，最大值是；
當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是.
【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，討論，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和即可．
（2）欲求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，先求在區(qū)間上的單調(diào)性，討論的值，分別求出最大值．
【詳解】（1），函數(shù)定義域為，．
當(dāng)時，令，得．
若，則，從而在上單調(diào)遞增；
若，則，從而在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，令，得，解得或，有．
若，則或，從而在和上單調(diào)遞減；
若，則，從而在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）中求得單調(diào)性可知，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，最大值是．
26．（2024高二下·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù).
(1)若時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
(2)答案見解析.
【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間作答.
（2）利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)在上的單調(diào)性，再求出最小值作答.
【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域為，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
（2），函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，由，得，由，得，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
由，得，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.
27．（2024·江西）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）由題設(shè)條件可得，求出導(dǎo)數(shù)后就、、、分類討論后可求其范圍.
（2）易得，求出其導(dǎo)數(shù)后就、、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
則，，
依題意須對于任意，有.
當(dāng)時，因為二次函數(shù) 的圖像開口向上，
而，所以須，即.
當(dāng) 時，對任意有，符合條件；
當(dāng)時，對于任意，，符合條件；
當(dāng) 時，因，不符合條件，
故的取值范圍為.
（2）因
（i）當(dāng)時，，
在上取得最小值，在上取得最大值，
（ii）當(dāng) 時，對于任意有.
在取得最大值，在取得最小值.
（iii）當(dāng)時，由得，
① 若，即時，
在上單調(diào)遞增，在得最小值；
在取得最大值.
② 若，即時，
在取得最大值，
在或取得最小值，而，，
則當(dāng) 時，在取得最小值，
當(dāng) 時，在取得最小值.
28．（2024高二下·山西朔州·階段練習(xí)）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ax3－3x2.
（1）若x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點，求a的值；
（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0處取得最大值，求a的取值范圍
【答案】（1）a＝1；（2）.
【分析】（1）根據(jù)＝0，即可求出a的值，然后驗證所求a的值滿足x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點；
（2）利用最大值求出的取值范圍，然后再驗證所求的取值范圍滿足在x＝0處取最大值即可.
【詳解】（1）＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因為x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點，
所以＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
經(jīng)驗證，當(dāng)a＝1時，x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點，所以.
（2）由題意知，，
因為當(dāng)g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為g(0)，所以，即，
故得.
反之，當(dāng)時，對任意x∈[0，2]，
而g(0)＝0，故g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為g(0)．
綜上所述，a的取值范圍為.
29．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)設(shè)，經(jīng)過點作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；
(2)若函數(shù)有極大值，無最大值，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，令，然后分與兩種情況，分別討論，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）時，
設(shè)切點為，則切線斜率為，
切線方程：，
將點帶入得：，
此時斜率，所以切線方程為.
（2）函數(shù)的定義域為，令，則
（1）當(dāng)時在單調(diào)遞增，
注意到時，，注意到時，，
故存在，使得，在時單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值，不符合題意.
（2）當(dāng)時，令，令，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以，
若，則恒成立，在單調(diào)遞減，無極值和最值.
若，即，此時存在，使得，
且在有單調(diào)遞減；在有單調(diào)遞增，此時為的極大值.
注意到時，要使無最大值，則還應(yīng)滿足，
即，同時，
帶入整理得.
由于，且在單調(diào)遞減，故，
即，
綜上實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了求切線方程問題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值，最值的綜合問題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵在于分情況進行討論，將問題合理轉(zhuǎn)化.
30．（2024高三·廣東中山·階段練習(xí)）用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
【答案】長為m，寬為1m，高為m時，體積最大，最大體積為3
【分析】設(shè)出長方體的寬為m，表達(dá)出長方體的長和高，從而體積，并根據(jù)長寬高均大于0，求出，求導(dǎo)后得到的單調(diào)性和極值，最值情況，并確定此時的長、寬、高.
【詳解】設(shè)長方體的寬為m，則長方體的長為m，故長方體的高為m，
由，解得：，
設(shè)長方體的體積為，
故，
則，
令，解得：，
令，解得：，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，最大值為，
此時長為m，寬為1m，高為m.
31．（2024高二下·廣東汕頭·期中）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為，且，假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米的建造費用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費用為（）萬元，該容器的總建造費用為萬元.
（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該容器的總建造費用最少時的的值.
【答案】（1），定義域為；
（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【分析】（1）利用，可得，則可得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，
，代入即得解；
（2）求導(dǎo)，分，兩種情況討論，即得解
【詳解】（1）設(shè)容器的容積為，由題意，知.
又，故.
由于，
解得，
所以，
其定義域為.
（2）由（1）得，.
由于，所以.
當(dāng)時，.令，則，
所以.
①當(dāng)，即時，
若，則；若，則；若，則.
所以是該函數(shù)的極小值點，也是最小值點.
②當(dāng)，即時，若，則（僅當(dāng)時，），所以函數(shù)單調(diào)遞減.
所以是該函數(shù)的最小值點.
綜上所述，當(dāng)時，總建造費用最少時；當(dāng)時，總建造費用最少時.
32．（2023·福建）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為2，寬為1，邊分別在軸、軸的正半軸上，點與坐標(biāo)原點重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點落在線段上．
(1)若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；
(2)求折痕的長的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)分與分類討論，根據(jù)對稱關(guān)系即可求解; (2)根據(jù)折痕在不同的位置分類討論即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，此時點與點重合，折痕所在的直線方程;
②當(dāng)時，將矩形折疊后點落在線段上的點為，所以與關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，故點坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與的交點坐標(biāo)（線段的中點）為.
故折痕所在的直線方程, 即，
由①②得折痕所在的直線方程為；
（2）折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為，
解，得；解，得，
因為在上,所以，
當(dāng)時，直線交于
；
②當(dāng)時，直線與軸、軸的交點落在矩形的邊和上，
，
所以，令，解得，此時取得最大值，且；
③當(dāng)時，直線交于，
所以折痕的長度的最大值為.
33．（2024高二下·廣東揭陽·期末）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸為，短半軸為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．
(Ⅰ)求面積關(guān)于變量的函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；
(Ⅱ)求面積的最大值．
【答案】（I）
，
其定義域為
（II）梯形面積的最大值為
【詳解】試題分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即滿足的方程： (y≥0)，由于，可解得y＝2 (0

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