九年級數(shù)學(xué)
一、選擇題（每小題3分，30分）
1．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．從，，3三個數(shù)中隨機取一個數(shù)作為a，則使拋物線的開口向下的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．拋物線與x軸有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（ ）
A．且B．
C．且D．
4．下列各組條件中，不能判定三角形與三角形相似的是（ ）
A．，B．，
C．，D．
5．拋物線先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，所得拋物線是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，，為二次函數(shù)圖象上的三點，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
7．若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為 （ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
8．如圖，從圓外一點引圓的兩條切線，，切點分別為，，如果， ，那么弦AB的長是（ ）
A．B．C．D．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則AC=（）
A．5B．C．D．6
10．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，點P是△ABC邊上一動點，沿B→A→C的路徑移動，過點P作PD⊥BC于點D，設(shè)BD=x，△BDP的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（每小題3分，24分）
11．拋物線的對稱軸是直線 ．
12．若點與點關(guān)于原點對稱，則的值為 ．
13．若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)解，則的取值范圍是 ．
14．如圖，是的內(nèi)切圓，，且，，則圖中陰影部分的面積是 ．

15．如圖所示，P是等邊△ABC內(nèi)一點，△BCM是由△BAP旋轉(zhuǎn)所得，則∠PBM＝ ．
16．若，則 ．
17．在一個不透明的袋子里裝有5個紅球和若干個白球，它們除顏色外其余完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則估計袋中的白球大約有 個．
18．二次函數(shù)的圖象如圖，給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中結(jié)論正確的個數(shù)是 ．
三、解答題（66分）
19．計算與解方程：
(1)；
(2)．
20．已知關(guān)于x的方程．
(1)若此方程的一個根為1，求m的值；
(2)求證：不論m取何實數(shù)，此方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，已知三個頂點坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫出關(guān)于x軸對稱的，點A，B，C的對稱點分別是點，，，直接寫出點的坐標(biāo)：____________；
(2)畫出繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并求出所掃過的面積是_____．
22．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會勝利召開，是具有里程碑意義的大會，必將對中國和世界產(chǎn)生深遠影響，某校積極組織學(xué)生學(xué)習(xí)二十大相關(guān)會議精神，并組織了二十大知識問答賽，將比賽結(jié)果分為A，B，C，D四個等級，根據(jù)如下不完整的統(tǒng)計圖解答下列問題：
(1)求該校參加知識問答賽的學(xué)生人數(shù)；
(2)現(xiàn)準備從結(jié)果為A級的4人（兩男兩女）中隨機抽取兩名同學(xué)參加二十大宜講，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生參加宣講活動的概率．
23．2023年清明節(jié)來臨之際，某電影院開展“清明祭英烈，共鑄中華魂”系列活動，對團體購買《長津湖》電影票實行優(yōu)惠，決定在原定零售票價基礎(chǔ)上每張降價16元，這樣按原定零售票價需花費2000元購買的門票，現(xiàn)在只花費了1200元．
(1)求每張電影票的原定零售票價；
(2)為了弘揚愛國主義精神，該影院決定對網(wǎng)上購票的個人也采取優(yōu)惠，原定零售票價經(jīng)過連續(xù)兩次降價后票價為每張32.4元，求平均每次降價的百分率．
24．如圖，在△ABC中， 點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，，．
(1)求證：；
(2)若，△EFC的面積為20， 求△ABC的面積．
25．如圖，為的直徑，過圓上一點作的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接．
(1)求證：與相切；
(2)若，，求的長．
26．某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點是底邊上一點，連接，以為腰作等腰，且，連接、則和的數(shù)量關(guān)系是___________；
(2)變式探究：如圖2，中，，．點是腰上一點，連接，以為底邊作等腰，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)問題解決；如圖3，正方形的邊長為10，點是邊上一點，以為對角線作正方形，連接．若設(shè)正方形的面積為，．求與的函數(shù)關(guān)系式．
27．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若直線經(jīng)過，兩點，求直線的函數(shù)表達式；
(3)在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求點的坐標(biāo)；
(4)設(shè)點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點的坐標(biāo)．
參考答案與解析
1．B
【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的判斷是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意；
B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；
C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；
故選：B．
2．C
【分析】本題主要考查了概率公式和二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次函數(shù)開口方向向下時，再根據(jù)概率計算公式計算即可；
【詳解】∵拋物線開口向下，
∴，
∴在，，3中符合條件的是，，有2種情況，
∴使拋物線的開口向下的概率是．
故選C．
3．A
【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．根據(jù)拋物線與x軸有兩個不同的交點，得到對應(yīng)的方程有兩個不相等的實數(shù)根，利用判別式求出a的取值范圍即可，注意二次函數(shù)的二次項系數(shù)不能為0．
【詳解】解：由題意，得：且，
∴且；
故選A．
4．B
【分析】本題考查了相似三角形的判定．根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似對A進行判斷；根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似對B進行判斷；根據(jù)直角三角形相似的判定方法對C進行判斷；根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似對D進行判斷．
【詳解】解：A、，，能判定，本選項不符合題意；
B、，，不能判定，本選項符合題意；
C、，，能判定，本選項不符合題意；
D、，能判定，本選項不符合題意；
故選：B．
5．B
【分析】先求出平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)，再利用頂點式拋物線解析式寫出即可．
【詳解】解：拋物線y=－2x2的頂點坐標(biāo)為（0，0），
向左平移1個單位，再向下平移3個單位后的拋物線的頂點坐標(biāo)為（－1，－3），
∴平移后的拋物線的解析式為y=－2（x+1）2－3．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用根據(jù)規(guī)律利用頂點的變化確定函數(shù)解析式．
6．B
【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)開口向上的二次函數(shù)，離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，只需要比較出A、B、C三點離對稱軸距離的大小即可得到答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，，
∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，
∴離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，
∵，，為二次函數(shù)圖象上的三點，，
∴．
故選：B．
7．B
【詳解】試題分析：設(shè)母線長為R，底面半徑為r，
∴底面周長=2πr，底面面積=πr2，側(cè)面面積=πrR，
∵側(cè)面積是底面積的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
設(shè)圓心角為n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故選B．
考點：圓錐的計算
8．C
【分析】先利用切線長定理得到，再利用可判斷為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】解：，PB為的切線，
，
，
為等邊三角形，
．
故選C．
【點睛】本題考查切線長定理，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．
9．C
【詳解】解：如圖，連接CD，
∵∠C=90°，D為AB的中點，
∴CD=DA=DB．
而CD=CB，
∴CD=CB=DB，即△CDB為等邊三角形．
∴∠B=60°．
∵AB=10，
∴．
故選C．
10．B
【分析】過A點作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分類討論：當(dāng)0≤x≤2時，如圖1，易得PD=BD=x，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=x2；當(dāng)2＜x≤4時，如圖2，易得PD=CD=4-x，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=-x2+2x，于是可判斷當(dāng)0≤x≤2時，y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象為開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)2＜x≤4時，y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象為開口向下的拋物線的一部分，然后利用此特征可對四個選項進行判斷．
【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，
當(dāng)0≤x≤2時，如圖1，∵∠B=45°，
∴PD=BD=x，
∴y=?x?x=；
當(dāng)2＜x≤4時，如圖2，∵∠C=45°，
∴PD=CD=4﹣x，
∴y=?（4﹣x）?x=，
故選B．
11．
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，直接利用對稱軸的計算方法求解即可．
【詳解】解：拋物線的對稱軸是直線；
故答案為：．
12．
【分析】直接利用兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點關(guān)于原點的對稱點是，即可得出答案．
【詳解】解：點與點關(guān)于原點對稱，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)符號是解題的關(guān)鍵．
13．且
【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍．
【詳解】∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)解，
∴，
解得：且，
故答案為：且
【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式，找出關(guān)于的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
14．##
【分析】此題主要考查了直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及半徑的求法，勾股定理．根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．
設(shè)、、與的切點分別為、、，證得四邊形是正方形，然后根據(jù)切線長定理可得：，由此可求出半徑的長，然后利用圖中陰影部分的面積代數(shù)求解即可．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)、、與的切點分別為、、

在，，，，
∴，
四邊形中，，，
四邊形是正方形，
由切線長定理，得：，，，
，
∴．
∴圖中陰影部分的面積．
故答案為：．
15．60°
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，
∵△BCM是由△BAP旋轉(zhuǎn)所得，∴旋轉(zhuǎn)中心是點B，旋轉(zhuǎn)角為∠ABC=60°，
∴∠PBM=∠ABC=60°.
故答案為60°.
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度不大，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16．4
【分析】直接開平方求出的值，即可得到的值，舍去負數(shù)解即可．
【詳解】解：，
∴或者，
∴，或者，
∵，
∴，
故答案為：4．
【點睛】本題考查開平方的運算，一個正數(shù)的有兩個平方根，互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根，解題的關(guān)鍵是注意，舍去負數(shù)解．
17．20
【分析】設(shè)白球個數(shù)為x個，由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近得出口袋中得到紅色球的概率，然后根據(jù)概率公式列方程求解即可．
【詳解】結(jié)：設(shè)白球個數(shù)為x個，
∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，
∴口袋中得到紅色球的概率為0.2，
∴，解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的根，
故白球的個數(shù)為20個．
故答案為20．
【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關(guān)鍵．
18．①②④⑤
【分析】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸、與軸交點可判斷①；根據(jù)拋物線與軸交點個數(shù)可判斷②；根據(jù)與關(guān)于對稱軸對稱，且時，可判斷③；根據(jù)時，，且對稱軸為可判斷④；由拋物線在時有最大值，可判斷⑤．
【詳解】解：①由拋物線圖象得：；，，即，
，選項①正確；
②拋物線圖象與軸有兩個交點，
△，即，選項②正確；
③拋物線對稱軸為，且時，，
當(dāng)時，，即，選項③錯誤；
④拋物線對稱軸，即，
，
由圖象可知，當(dāng)時，，
故，選項④正確；
⑤由圖象可知，當(dāng)時取得最大值，
，
，即，
，選項⑤正確；
故正確的有：①②④⑤，
故答案為：①②④⑤．
19．(1)
(2)，
【分析】（1）首先計算算術(shù)平方根，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，絕對值，然后計算加減；
（2）利用因式分解法解一元二次方程 ．
【詳解】（1）
；
（2）
或
解得，．
【點睛】此題考查了算術(shù)平方根，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，絕對值的混合運算，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上運算法則．
20．（1）；（2）證明見解析
【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值；
（2）計算出根的判別式，進一步利用配方法和非負數(shù)的性質(zhì)證得結(jié)論即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，將x=1代入方程，
得：，
解得：m=．
（2）∵，
∴不論m取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
【點睛】本題考查根的判別式，一元二次方程的解，熟記根的判別式與一元二次方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
21．(1)圖見解析，
(2)圖見解析，
【分析】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，作圖軸對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意．
（1）利用軸對稱的性質(zhì)，分別作出、、關(guān)于軸對稱點、、，順次連接即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分別作出、、的對應(yīng)點、、，順次連接，求得的長，利用扇形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，
，
故答案為：；
（2）解：如圖所示；
，
∴所掃過的面積是．
故答案為：．
22．(1)40
(2)
【分析】本題考查了統(tǒng)計和隨機抽樣的概率；根據(jù)題意求出總?cè)藬?shù)、正確畫出樹狀圖并按照公式求解是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)A在頻數(shù)統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)除以扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)即可；
（2）畫樹狀圖，求出所有可能和符合條件數(shù)，根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】（1）解：總?cè)藬?shù)為：（人）；
（2）畫樹狀圖如下：
從兩男兩女中隨機抽取兩名同學(xué)共有種可能，恰好抽到一名男生和一名女生有種可能，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率為：．
23．(1)每張門票的原定票價為40元
(2)原定票價平均每次的降價率為
【分析】本題主要考查了一元二次方程和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，注意要對分式方程的解進行檢驗．
（1）設(shè)每張門票的原定票價為元，則降價后的價格為元，根據(jù)按原定零售票價需花費2000元購買的門票，現(xiàn)在只花費了1200元，列出方程，解方程即可；
（2）設(shè)原定票價平均每次的降價率為，根據(jù)原定零售票價經(jīng)過連續(xù)兩次降價后票價為每張32.4元，列出方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：設(shè)每張門票的原定票價為元，則降價后的價格為元，
依題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．
答：每張門票的原定票價為40元．
（2）解：設(shè)原定票價平均每次的降價率為，
依題意，得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：原定票價平均每次的降價率為．
24．(1)見解析
(2)
【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得出，，即可證得結(jié)論；
(2)由平行線的性質(zhì)得出，易證△EFC∽△BAC，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：，
，
（2）解：



【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，證明，得出，即可得出直線與相切；
（2）設(shè)半徑為r，根據(jù)勾股定理得出，求出，根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理得出，求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：
∵為切線，
∴，
又∵，
∴，，
，
∴，
在與中；
∵，
∴，
∴，
∴直線與相切．
（2）解：設(shè)半徑為r，
在中，，
即，
解得；
，
，
在中，，
，
解得：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定方法．
26．(1)
(2)，見解析
(3)，
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到和的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊成比例且夾角相等的判定定理證明，之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到和的數(shù)量關(guān)系；
（3）連接，先由正方形的性質(zhì)判斷出和都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出，由相似比求出，再由勾股定理求得，則可列出關(guān)系式．
【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，，在中，，，
，，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
是等腰直角三角形，中，，，
，．
，
，
，
，
；
（3）解：連接，
四邊形是正方形，四邊形是正方形，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，，
在中，，即，
是正方形的對角線，正方形的面積為，
，
，
，，
．
【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進行證明是解題的關(guān)鍵．
27．(1)
(2)的函數(shù)表達式為
(3)
(4)的坐標(biāo)為或或或
【分析】本題考查待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理；
（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）根據(jù)對稱性求得點的坐標(biāo)，進而根據(jù)待定系數(shù)法求直線的解析式即可求解；
（3）設(shè)直線與對稱軸的交點為，則此時的值最小，把代入直線即可求解；
（4）設(shè)，分別求得，進而分類討論，根據(jù)勾股定理建立方程，即可求解．
【詳解】（1）∵拋物線對稱軸為，拋物線經(jīng)過點，，
∴可得
解得：
∴拋物線解析式為．
（2）∵拋物線的對稱軸為，且拋物線經(jīng)過，
∴點的坐標(biāo)為
∴把，分別代入直線，
得
解得：
∴直線的函數(shù)表達式為．
（3）設(shè)直線與對稱軸的交點為，則此時的值最小
把代入直線得，
，
∴，
（4）設(shè)，
又∵，
∴，
，
，
①若點為直角頂點，則，
即：，
解之得：；
②若點為直角頂點，則，
即：，
解之得：，
③若點為直角頂點，則，
即：，
解之得：，
綜上所述的坐標(biāo)為或或或

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